MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0d Structured version   Unicode version

Theorem div0d 10319
Description: Division into zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
reccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
div0d  |-  ( ph  ->  ( 0  /  A
)  =  0 )

Proof of Theorem div0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 reccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 div0 10235 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 0  /  A
)  =  0 )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 0  /  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    / cdiv 10206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207
This theorem is referenced by:  bcval5  12364  ef0lem  13676  phiprmpw  14165  pceulem  14228  pcqmul  14236  pcqcl  14239  pcaddlem  14266  pcadd  14267  prmreclem4  14296  nmoleub2lem2  21362  mbfi1fseqlem3  21887  itgz  21950  ibl0  21956  iblss2  21975  itgss  21981  dvconst  22083  dvcobr  22112  plyeq0lem  22370  elqaalem3  22479  aareccl  22484  birthdaylem3  23039  basellem4  23113  logexprlim  23256  chpo1ubb  23422  rpvmasumlem  23428  logb1  27687  cndprobnul  28044  cvmliftlem7  28404  cvmliftlem10  28407  cvmliftlem13  28409  faclim  28776  areacirclem4  29715  pellexlem6  30402  reglog1  30464  stoweidlem36  31364  fourierdlem30  31465  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  sqwvfoura  31557  sqwvfourb  31558
  Copyright terms: Public domain W3C validator