MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0d Structured version   Unicode version

Theorem div0d 10383
Description: Division into zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
reccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
div0d  |-  ( ph  ->  ( 0  /  A
)  =  0 )

Proof of Theorem div0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 reccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 div0 10299 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 0  /  A
)  =  0 )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( 0  /  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540    / cdiv 10270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  11399  bcval5  12503  ef0lem  14121  phiprmpw  14712  pceulem  14783  pcqmul  14791  pcqcl  14794  pcaddlem  14821  pcadd  14822  prmreclem4  14851  nmoleub2lem2  22117  mbfi1fseqlem3  22662  itgz  22725  ibl0  22731  iblss2  22750  itgss  22756  dvconst  22858  dvcobr  22887  plyeq0lem  23151  elqaalem3  23261  elqaalem3OLD  23264  aareccl  23269  logb1  23693  birthdaylem3  23866  basellem4  23997  logexprlim  24140  chpo1ubb  24306  rpvmasumlem  24312  cndprobnul  29266  cvmliftlem7  30010  cvmliftlem10  30013  cvmliftlem13  30015  faclim  30377  poimirlem29  31883  poimirlem31  31885  areacirclem4  31949  pellexlem6  35598  reglog1  35664  stoweidlem36  37717  fourierdlem30  37819  fourierdlem103  37893  fourierdlem104  37894  sqwvfoura  37912  sqwvfourb  37913  elaa2lem  37917  elaa2lemOLD  37918  etransclem24  37943
  Copyright terms: Public domain W3C validator