MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0 Structured version   Unicode version

Theorem div0 10234
Description: Division into zero is zero. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
div0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 0  /  A
)  =  0 )

Proof of Theorem div0
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
21mul01d 9777 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  0 )  =  0 )
3 0cn 9587 . . 3  |-  0  e.  CC
4 divmul 10209 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( 0  /  A )  =  0  <-> 
( A  x.  0 )  =  0 ) )
53, 3, 4mp3an12 1314 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 0  /  A )  =  0  <-> 
( A  x.  0 )  =  0 ) )
62, 5mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 0  /  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491    x. cmul 9496    / cdiv 10205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206
This theorem is referenced by:  div0i  10277  div0d  10318  gt0div  10407  ge0div  10408  rplogsumlem2  23414  dchrisum0fno1  23440  rplogsum  23456  pntrmax  23493  mul2lt0rlt0  27249  xdiv0  27309  fourierdlem103  31526  fourierdlem104  31527  fouriersw  31548
  Copyright terms: Public domain W3C validator