MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgswap Structured version   Unicode version

Theorem ditgswap 22557
Description: Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
ditgcl.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ditgswap  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgswap
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 11645 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 1011 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 ditgcl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
9 elicc2 11645 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
118, 10mpbid 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1211simp1d 1011 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
147adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
1512adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
1613, 14, 15ditgneg 22555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
1713ditgpos 22554 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  S. ( A (,) B ) C  _d x )
1817negeqd 9852 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
1916, 18eqtr4d 2448 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
202rexrd 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
2111simp2d 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
22 iooss1 11619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) A )  C_  ( X (,) A ) )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) A ) )
243rexrd 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
256simp3d 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  Y )
26 iooss2 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  A  <_  Y )  ->  ( X (,) A )  C_  ( X (,) Y ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
2823, 27sstrd 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
2928sselda 3444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
30 ditgcl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
31 iblmbf 22468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e. MblFn )
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e. MblFn )
33 ditgcl.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
3432, 33mbfmptcl 22338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  CC )
3529, 34syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  C  e.  CC )
36 ioombl 22269 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) A )  e. 
dom  vol
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  e.  dom  vol )
3828, 37, 33, 30iblss 22505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) A ) 
|->  C )  e.  L^1 )
3935, 38itgcl 22484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
4039adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
4140negnegd 9960 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u -u S. ( B (,) A ) C  _d x  =  S. ( B (,) A ) C  _d x )
42 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
4312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR )
447adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR )
4542, 43, 44ditgneg 22555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
4645negeqd 9852 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
4742ditgpos 22554 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  S. ( B (,) A ) C  _d x )
4841, 46, 473eqtr4rd 2456 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
497, 12, 19, 48lecasei 9724 1  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   RR*cxr 9659    <_ cle 9661   -ucneg 9844   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587   volcvol 22169  MblFncmbf 22317   L^1cibl 22320   S.citg 22321   S__cdit 22544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xadd 11374  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-xmet 18734  df-met 18735  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324  df-ibl 22325  df-itg 22326  df-0p 22371  df-ditg 22545
This theorem is referenced by:  ditgsplit  22559  ftc2ditg  22741
  Copyright terms: Public domain W3C validator