MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgswap Structured version   Unicode version

Theorem ditgswap 21998
Description: Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
ditgcl.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ditgswap  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgswap
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 11585 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 1008 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 ditgcl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
9 elicc2 11585 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
118, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1211simp1d 1008 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
147adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
1512adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
1613, 14, 15ditgneg 21996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
1713ditgpos 21995 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  S. ( A (,) B ) C  _d x )
1817negeqd 9810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
1916, 18eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
202rexrd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
2111simp2d 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
22 iooss1 11560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) A )  C_  ( X (,) A ) )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) A ) )
243rexrd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
256simp3d 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  Y )
26 iooss2 11561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  A  <_  Y )  ->  ( X (,) A )  C_  ( X (,) Y ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
2823, 27sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
2928sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
30 ditgcl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
31 iblmbf 21909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e. MblFn )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e. MblFn )
33 ditgcl.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
3432, 33mbfmptcl 21779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  CC )
3529, 34syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  C  e.  CC )
36 ioombl 21710 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) A )  e. 
dom  vol
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  e.  dom  vol )
3828, 37, 33, 30iblss 21946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) A ) 
|->  C )  e.  L^1 )
3935, 38itgcl 21925 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
4039adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
4140negnegd 9917 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u -u S. ( B (,) A ) C  _d x  =  S. ( B (,) A ) C  _d x )
42 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
4312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR )
447adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR )
4542, 43, 44ditgneg 21996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
4645negeqd 9810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
4742ditgpos 21995 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  S. ( B (,) A ) C  _d x )
4841, 46, 473eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
497, 12, 19, 48lecasei 9686 1  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S__ [ A  ->  B ] C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   -ucneg 9802   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   L^1cibl 21761   S.citg 21762   S__cdit 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-ditg 21986
This theorem is referenced by:  ditgsplit  22000  ftc2ditg  22182
  Copyright terms: Public domain W3C validator