MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Unicode version

Theorem ditgsplitlem 22430
Description: Lemma for ditgsplit 22431. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgsplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
ditgsplit.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L^1 )
ditgsplit.1  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x    ps, x    th, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 11592 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 1006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  e.  RR )
9 ditgsplit.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
10 elicc2 11592 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
112, 3, 10syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
129, 11mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) )
1312simp1d 1006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1413adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  C  e.  RR )
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
16 elicc2 11592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
172, 3, 16syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
1815, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1918simp1d 1006 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  RR )
21 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( ps  /\  th ) )
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2423simpld 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  B )
2523simprd 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  <_  C )
26 elicc2 11592 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
277, 13, 26syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2827adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
302rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
316simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
32 iooss1 11567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
3330, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
343rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
3512simp3d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
36 iooss2 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  C  <_  Y )  ->  ( X (,) C )  C_  ( X (,) Y ) )
3734, 35, 36syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3833, 37sstrd 3499 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3938sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L^1 )
41 iblmbf 22340 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
43 ditgsplit.d . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
4442, 43mbfmptcl 22210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
4539, 44syldan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
4645adantlr 712 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  /\  th ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
47 iooss1 11567 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
4830, 31, 47syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
4918simp3d 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
50 iooss2 11568 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
5134, 49, 50syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
5248, 51sstrd 3499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
53 ioombl 22141 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5453a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
5552, 54, 43, 40iblss 22377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
5655adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
5718simp2d 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
58 iooss1 11567 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
5930, 57, 58syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
6059, 37sstrd 3499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
61 ioombl 22141 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
6360, 62, 43, 40iblss 22377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
6463adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 22410 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
668, 20, 14, 24, 25letrd 9728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  C )
6766ditgpos 22426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
6824ditgpos 22426 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
6925ditgpos 22426 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ B  ->  C ] D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
7068, 69oveq12d 6288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
7165, 67, 703eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
7271anassrs 646 1  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193   S__cdit 22416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cmp 20054  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243  df-ditg 22417
This theorem is referenced by:  ditgsplit  22431
  Copyright terms: Public domain W3C validator