Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplit Structured version   Unicode version

Theorem ditgsplit 22000
 Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 21978, there is no constraint on the ordering of the points in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x
ditgsplit.y
ditgsplit.a
ditgsplit.b
ditgsplit.c
ditgsplit.d
ditgsplit.i
Assertion
Ref Expression
ditgsplit _ _ _
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4
2 ditgsplit.x . . . . 5
3 ditgsplit.y . . . . 5
4 elicc2 11585 . . . . 5
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4
61, 5mpbid 210 . . 3
76simp1d 1008 . 2
8 ditgsplit.b . . . 4
9 elicc2 11585 . . . . 5
102, 3, 9syl2anc 661 . . . 4
118, 10mpbid 210 . . 3
1211simp1d 1008 . 2
14 ditgsplit.c . . . . . 6
15 elicc2 11585 . . . . . . 7
162, 3, 15syl2anc 661 . . . . . 6
1714, 16mpbid 210 . . . . 5
1817simp1d 1008 . . . 4
2012ad2antrr 725 . . . 4
2118ad2antrr 725 . . . 4
22 ditgsplit.d . . . . . 6
23 ditgsplit.i . . . . . 6
24 biid 236 . . . . . 6
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 21999 . . . . 5 _ _ _
2625adantlr 714 . . . 4 _ _ _
27 biid 236 . . . . . . . 8
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 21999 . . . . . . 7 _ _ _
2928oveq1d 6297 . . . . . 6 _ _ _ _ _
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . . . 9 _
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . . . 9 _
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . . . 9 _
3330, 31, 32addassd 9614 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _ _
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 21998 . . . . . . . . . . 11 _ _
3534oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
3631negidd 9916 . . . . . . . . . 10 _ _
3735, 36eqtrd 2508 . . . . . . . . 9 _ _
3837oveq2d 6298 . . . . . . . 8 _ _ _ _
3930addid1d 9775 . . . . . . . 8 _ _
4033, 38, 393eqtrd 2512 . . . . . . 7 _ _ _ _
4140ad2antrr 725 . . . . . 6 _ _ _ _
4229, 41eqtr2d 2509 . . . . 5 _ _ _
4342adantllr 718 . . . 4 _ _ _
4420, 21, 26, 43lecasei 9686 . . 3 _ _ _
4540ad2antrr 725 . . . 4 _ _ _ _
46 ancom 450 . . . . . . . 8
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 21999 . . . . . . 7 _ _ _
4847oveq2d 6298 . . . . . 6 _ _ _ _ _
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 21998 . . . . . . . . . . 11 _ _
5049oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
5130negidd 9916 . . . . . . . . . 10 _ _
5250, 51eqtrd 2508 . . . . . . . . 9 _ _
5352oveq1d 6297 . . . . . . . 8 _ _ _ _
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . . . 9 _
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . . . 9 _
5630, 54, 55addassd 9614 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _ _
5755addid2d 9776 . . . . . . . 8 _ _
5853, 56, 573eqtr3d 2516 . . . . . . 7 _ _ _ _
5958ad2antrr 725 . . . . . 6 _ _ _ _
6048, 59eqtrd 2508 . . . . 5 _ _ _
6160oveq1d 6297 . . . 4 _ _ _ _ _
6245, 61eqtr3d 2510 . . 3 _ _ _
6313, 19, 44, 62lecasei 9686 . 2 _ _ _
66 biid 236 . . . . . 6
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 21999 . . . . 5 _ _ _
6867oveq2d 6298 . . . 4 _ _ _ _ _
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 21998 . . . . . . . . 9 _ _
7069oveq2d 6298 . . . . . . . 8 _ _ _ _
7155negidd 9916 . . . . . . . 8 _ _
7270, 71eqtrd 2508 . . . . . . 7 _ _
7372oveq1d 6297 . . . . . 6 _ _ _ _
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 21997 . . . . . . 7 _
7555, 74, 30addassd 9614 . . . . . 6 _ _ _ _ _ _
7630addid2d 9776 . . . . . 6 _ _
7773, 75, 763eqtr3d 2516 . . . . 5 _ _ _ _
7877ad2antrr 725 . . . 4 _ _ _ _
7968, 78eqtr2d 2509 . . 3 _ _ _
8012ad2antrr 725 . . . 4
8118ad2antrr 725 . . . 4
82 ancom 450 . . . . . . . . . 10
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 21999 . . . . . . . . 9 _ _ _
8483oveq1d 6297 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _
8532, 54, 30addassd 9614 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _ _ _
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 21998 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
8786oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _
8854negidd 9916 . . . . . . . . . . . 12 _ _
8987, 88eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 _ _
9089oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
9132addid1d 9775 . . . . . . . . . 10 _ _
9285, 90, 913eqtrd 2512 . . . . . . . . 9 _ _ _ _
9392ad2antrr 725 . . . . . . . 8 _ _ _ _
9484, 93eqtr2d 2509 . . . . . . 7 _ _ _
9594oveq2d 6298 . . . . . 6 _ _ _ _ _
9677ad2antrr 725 . . . . . 6 _ _ _ _
9795, 96eqtr2d 2509 . . . . 5 _ _ _
9897adantllr 718 . . . 4 _ _ _
99 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 21999 . . . . . . . . . . 11 _ _ _
101100oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _ _
10231, 74, 55addassd 9614 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _ _ _
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 21998 . . . . . . . . . . . . . . 15 _ _
104103oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _ _ _
10574negidd 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
106104, 105eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
107106oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _
10831addid1d 9775 . . . . . . . . . . . 12 _ _
109102, 107, 1083eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11 _ _ _ _
110109ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
111101, 110eqtr2d 2509 . . . . . . . . 9 _ _ _
112111oveq2d 6298 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _
11358ad2antrr 725 . . . . . . . 8 _ _ _ _
114112, 113eqtr2d 2509 . . . . . . 7 _ _ _
115114oveq1d 6297 . . . . . 6 _ _ _ _ _
11640ad2antrr 725 . . . . . 6 _ _ _ _
117115, 116eqtr2d 2509 . . . . 5 _ _ _
118117adantlr 714 . . . 4 _ _ _
11980, 81, 98, 118lecasei 9686 . . 3 _ _ _
12064, 65, 79, 119lecasei 9686 . 2 _ _ _
1217, 12, 63, 120lecasei 9686 1 _ _ _
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4447   cmpt 4505  (class class class)co 6282  cr 9487  cc0 9488   caddc 9491   cle 9625  cneg 9802  cioo 11525  cicc 11528  cibl 21761  _cdit 21985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-ditg 21986 This theorem is referenced by:  itgsubstlem  22184
 Copyright terms: Public domain W3C validator