MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ditgneg 22891
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ditgneg.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ditgneg.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ditgneg  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
21biantrurd 516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
3 ditgneg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ditgneg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
53, 4letri3d 9794 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
62, 5bitr4d 264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  A  =  B ) )
7 ditg0 22887 . . . . 5  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  0
8 neg0 9940 . . . . 5  |-  -u 0  =  0
97, 8eqtr4i 2496 . . . 4  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  -u 0
10 ditgeq2 22883 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  S__
[ B  ->  B ] C  _d x
)
11 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
12 iooid 11689 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) B )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
14 itgeq1 22809 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
16 itg0 22816 . . . . . 6  |-  S. (/) C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  0 )
1817negeqd 9889 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) B ) C  _d x  = 
-u 0 )
199, 10, 183eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B
) C  _d x )
206, 19syl6bi 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x ) )
21 df-ditg 22881 . . 3  |-  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A
) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
22 iffalse 3881 . . 3  |-  ( -.  B  <_  A  ->  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A ) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2321, 22syl5eq 2517 . 2  |-  ( -.  B  <_  A  ->  S__
[ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2420, 23pm2.61d1 164 1  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557    <_ cle 9694   -ucneg 9881   (,)cioo 11660   S.citg 22655   S__cdit 22880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-itg 22660  df-0p 22707  df-ditg 22881
This theorem is referenced by:  ditgcl  22892  ditgswap  22893
  Copyright terms: Public domain W3C validator