MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ditgneg 22812
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ditgneg.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ditgneg.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ditgneg  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
21biantrurd 511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
3 ditgneg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ditgneg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
53, 4letri3d 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
62, 5bitr4d 260 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  A  =  B ) )
7 ditg0 22808 . . . . 5  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  0
8 neg0 9920 . . . . 5  |-  -u 0  =  0
97, 8eqtr4i 2476 . . . 4  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  -u 0
10 ditgeq2 22804 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  S__
[ B  ->  B ] C  _d x
)
11 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
12 iooid 11664 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) B )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
14 itgeq1 22730 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
16 itg0 22737 . . . . . 6  |-  S. (/) C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  0 )
1817negeqd 9869 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) B ) C  _d x  = 
-u 0 )
199, 10, 183eqtr4a 2511 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B
) C  _d x )
206, 19syl6bi 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x ) )
21 df-ditg 22802 . . 3  |-  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A
) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
22 iffalse 3890 . . 3  |-  ( -.  B  <_  A  ->  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A ) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2321, 22syl5eq 2497 . 2  |-  ( -.  B  <_  A  ->  S__
[ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2420, 23pm2.61d1 163 1  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    <_ cle 9676   -ucneg 9861   (,)cioo 11635   S.citg 22576   S__cdit 22801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802
This theorem is referenced by:  ditgcl  22813  ditgswap  22814
  Copyright terms: Public domain W3C validator