MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq2 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq2 22126
Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq2  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgeq2
StepHypRef Expression
1 breq2 4441 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( C  <_  A  <->  C  <_  B ) )
2 oveq2 6289 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( C (,) A )  =  ( C (,) B
) )
3 itgeq1 22052 . . . 4  |-  ( ( C (,) A )  =  ( C (,) B )  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
5 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
6 itgeq1 22052 . . . . 5  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
87negeqd 9819 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) C ) D  _d x  = 
-u S. ( B (,) C ) D  _d x )
91, 4, 8ifbieq12d 3953 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B ) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
10 df-ditg 22124 . 2  |-  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )
11 df-ditg 22124 . 2  |-  S__ [ C  ->  B ] D  _d x  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C ) D  _d x )
129, 10, 113eqtr4g 2509 1  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383   ifcif 3926   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281    <_ cle 9632   -ucneg 9811   (,)cioo 11538   S.citg 21900   S__cdit 22123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-sum 13488  df-itg 21905  df-ditg 22124
This theorem is referenced by:  ditgneg  22134  itgsubstlem  22322  itgsubst  22323
  Copyright terms: Public domain W3C validator