MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq2 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq2 21981
Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq2  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgeq2
StepHypRef Expression
1 breq2 4444 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( C  <_  A  <->  C  <_  B ) )
2 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( C (,) A )  =  ( C (,) B
) )
3 itgeq1 21907 . . . 4  |-  ( ( C (,) A )  =  ( C (,) B )  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
5 oveq1 6282 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
6 itgeq1 21907 . . . . 5  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
87negeqd 9803 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) C ) D  _d x  = 
-u S. ( B (,) C ) D  _d x )
91, 4, 8ifbieq12d 3959 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B ) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
10 df-ditg 21979 . 2  |-  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )
11 df-ditg 21979 . 2  |-  S__ [ C  ->  B ] D  _d x  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C ) D  _d x )
129, 10, 113eqtr4g 2526 1  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374   ifcif 3932   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275    <_ cle 9618   -ucneg 9795   (,)cioo 11518   S.citg 21755   S__cdit 21978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-sum 13458  df-itg 21760  df-ditg 21979
This theorem is referenced by:  ditgneg  21989  itgsubstlem  22177  itgsubst  22178
  Copyright terms: Public domain W3C validator