MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq2 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq2 21299
Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq2  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgeq2
StepHypRef Expression
1 breq2 4291 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( C  <_  A  <->  C  <_  B ) )
2 oveq2 6094 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( C (,) A )  =  ( C (,) B
) )
3 itgeq1 21225 . . . 4  |-  ( ( C (,) A )  =  ( C (,) B )  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
5 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
6 itgeq1 21225 . . . . 5  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
87negeqd 9596 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) C ) D  _d x  = 
-u S. ( B (,) C ) D  _d x )
91, 4, 8ifbieq12d 3811 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B ) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
10 df-ditg 21297 . 2  |-  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  if ( C  <_  A ,  S. ( C (,) A
) D  _d x ,  -u S. ( A (,) C ) D  _d x )
11 df-ditg 21297 . 2  |-  S__ [ C  ->  B ] D  _d x  =  if ( C  <_  B ,  S. ( C (,) B
) D  _d x ,  -u S. ( B (,) C ) D  _d x )
129, 10, 113eqtr4g 2495 1  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ C  ->  A ] D  _d x  =  S__
[ C  ->  B ] D  _d x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369   ifcif 3786   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086    <_ cle 9411   -ucneg 9588   (,)cioo 11292   S.citg 21073   S__cdit 21296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-sum 13156  df-itg 21078  df-ditg 21297
This theorem is referenced by:  ditgneg  21307  itgsubstlem  21495  itgsubst  21496
  Copyright terms: Public domain W3C validator