MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq1 Structured version   Unicode version

Theorem ditgeq1 22003
Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq1  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S__
[ B  ->  C ] D  _d x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgeq1
StepHypRef Expression
1 breq1 4450 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  C  <->  B  <_  C ) )
2 oveq1 6290 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
3 itgeq1 21930 . . . 4  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5 oveq2 6291 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( C (,) A )  =  ( C (,) B
) )
6 itgeq1 21930 . . . . 5  |-  ( ( C (,) A )  =  ( C (,) B )  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S. ( C (,) A ) D  _d x  =  S. ( C (,) B ) D  _d x )
87negeqd 9813 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( C (,) A ) D  _d x  = 
-u S. ( C (,) B ) D  _d x )
91, 4, 8ifbieq12d 3966 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( A  <_  C ,  S. ( A (,) C
) D  _d x ,  -u S. ( C (,) A ) D  _d x )  =  if ( B  <_  C ,  S. ( B (,) C ) D  _d x ,  -u S. ( C (,) B
) D  _d x ) )
10 df-ditg 22002 . 2  |-  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  if ( A  <_  C ,  S. ( A (,) C
) D  _d x ,  -u S. ( C (,) A ) D  _d x )
11 df-ditg 22002 . 2  |-  S__ [ B  ->  C ] D  _d x  =  if ( B  <_  C ,  S. ( B (,) C
) D  _d x ,  -u S. ( C (,) B ) D  _d x )
129, 10, 113eqtr4g 2533 1  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S__
[ B  ->  C ] D  _d x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379   ifcif 3939   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283    <_ cle 9628   -ucneg 9805   (,)cioo 11528   S.citg 21778   S__cdit 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-seq 12075  df-sum 13471  df-itg 21783  df-ditg 22002
This theorem is referenced by:  itgsubst  22201
  Copyright terms: Public domain W3C validator