MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Structured version   Unicode version

Theorem ditgcl 22128
Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
ditgcl.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ditgcl  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 11593 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 1007 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 ditgcl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
9 elicc2 11593 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
118, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1211simp1d 1007 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
1413ditgpos 22126 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  S. ( A (,) B ) C  _d x )
152rexrd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
166simp2d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
17 iooss1 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
193rexrd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
2011simp3d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
21 iooss2 11569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2318, 22sstrd 3496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2423sselda 3486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
25 ditgcl.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
2624, 25syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  V )
27 ioombl 21841 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
29 ditgcl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L^1 )
3023, 28, 25, 29iblss 22077 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  e.  L^1 )
3126, 30itgcl 22056 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3231adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3314, 32eqeltrd 2529 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
34 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
3512adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR )
367adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR )
3734, 35, 36ditgneg 22127 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
3811simp2d 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
39 iooss1 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) A )  C_  ( X (,) A ) )
4015, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) A ) )
416simp3d 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  Y )
42 iooss2 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  A  <_  Y )  ->  ( X (,) A )  C_  ( X (,) Y ) )
4319, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4440, 43sstrd 3496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4544sselda 3486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
4645, 25syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  C  e.  V )
47 ioombl 21841 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) A )  e. 
dom  vol
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  e.  dom  vol )
4944, 48, 25, 29iblss 22077 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) A ) 
|->  C )  e.  L^1 )
5046, 49itgcl 22056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5150negcld 9918 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5251adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5337, 52eqeltrd 2529 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
547, 12, 33, 53lecasei 9688 1  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    e. wcel 1802    C_ wss 3458   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   dom cdm 4985  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   RR*cxr 9625    <_ cle 9627   -ucneg 9806   (,)cioo 11533   [,]cicc 11536   volcvol 21741   L^1cibl 21892   S.citg 21893   S__cdit 22116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xadd 11323  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-xmet 18280  df-met 18281  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-ibl 21897  df-itg 21898  df-0p 21943  df-ditg 22117
This theorem is referenced by:  ditgsplit  22131  itgsubstlem  22315
  Copyright terms: Public domain W3C validator