Theorem distrsr 6352

Description: Multiplication of signed reals is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrsr.1	|- B e. _V
distrsr.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
distrsr	|- (A .R (B +R C)) = ((A .R B) +R (A .R C))

Proof of Theorem distrsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 6336	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
3		mulsrpr 6337	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.((x .P. (z +P. v)) +P. (y .P. (w +P. u))), ((x .P. (w +P. u)) +P. (y .P. (z +P. v)))>.] ~R )
4		mulsrpr 6337	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
5		mulsrpr 6337	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x .P. v) +P. (y .P. u)), ((x .P. u) +P. (y .P. v))>.] ~R )
6		addsrpr 6336	. . 3 |- (((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) /\ (((x .P. v) +P. (y .P. u)) e. P. /\ ((x .P. u) +P. (y .P. v)) e. P.)) -> ([<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R +R [<.((x .P. v) +P. (y .P. u)), ((x .P. u) +P. (y .P. v))>.] ~R ) = [<.(((x .P. z) +P. (y .P. w)) +P. ((x .P. v) +P. (y .P. u))), (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. ((x .P. u) +P. (y .P. v)))>.] ~R )
7		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
8		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
9	7, 8	anim12i 360	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
10	9	an4s 566	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
11		addclpr 6272	. . . . . 6 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
12		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
13		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
14	11, 12, 13	syl2an 503	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
15	14	an4s 566	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
16		addclpr 6272	. . . . . 6 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
17		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
18		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
19	16, 17, 18	syl2an 503	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
20	19	an42s 567	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
21	15, 20	jca 310	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
22		addclpr 6272	. . . . . 6 |- (((x .P. v) e. P. /\ (y .P. u) e. P.) -> ((x .P. v) +P. (y .P. u)) e. P.)
23		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ v e. P.) -> (x .P. v) e. P.)
24		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ u e. P.) -> (y .P. u) e. P.)
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ v e. P.) /\ (y e. P. /\ u e. P.)) -> ((x .P. v) +P. (y .P. u)) e. P.)
26	25	an4s 566	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((x .P. v) +P. (y .P. u)) e. P.)
27		addclpr 6272	. . . . . 6 |- (((x .P. u) e. P. /\ (y .P. v) e. P.) -> ((x .P. u) +P. (y .P. v)) e. P.)
28		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ u e. P.) -> (x .P. u) e. P.)
29		mulclpr 6274	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ v e. P.) -> (y .P. v) e. P.)
30	27, 28, 29	syl2an 503	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ u e. P.) /\ (y e. P. /\ v e. P.)) -> ((x .P. u) +P. (y .P. v)) e. P.)
31	30	an42s 567	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((x .P. u) +P. (y .P. v)) e. P.)
32	26, 31	jca 310	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (((x .P. v) +P. (y .P. u)) e. P. /\ ((x .P. u) +P. (y .P. v)) e. P.))
33		visset 2295	. . . . . 6 |- z e. _V
34		visset 2295	. . . . . 6 |- v e. _V
35	33, 34	distrpr 6284	. . . . 5 |- (x .P. (z +P. v)) = ((x .P. z) +P. (x .P. v))
36		visset 2295	. . . . . 6 |- w e. _V
37		visset 2295	. . . . . 6 |- u e. _V
38	36, 37	distrpr 6284	. . . . 5 |- (y .P. (w +P. u)) = ((y .P. w) +P. (y .P. u))
39	35, 38	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((x .P. (z +P. v)) +P. (y .P. (w +P. u))) = (((x .P. z) +P. (x .P. v)) +P. ((y .P. w) +P. (y .P. u)))
40		oprex 4907	. . . . 5 |- (x .P. z) e. _V
41		oprex 4907	. . . . 5 |- (x .P. v) e. _V
42		oprex 4907	. . . . 5 |- (y .P. w) e. _V
43		visset 2295	. . . . . 6 |- f e. _V
44		visset 2295	. . . . . 6 |- g e. _V
45	43, 44	addcompr 6275	. . . . 5 |- (f +P. g) = (g +P. f)
46		visset 2295	. . . . . 6 |- h e. _V
47	44, 46	addasspr 6276	. . . . 5 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
48		oprex 4907	. . . . 5 |- (y .P. u) e. _V
49	40, 41, 42, 45, 47, 48	caopr4 4997	. . . 4 |- (((x .P. z) +P. (x .P. v)) +P. ((y .P. w) +P. (y .P. u))) = (((x .P. z) +P. (y .P. w)) +P. ((x .P. v) +P. (y .P. u)))
50	39, 49	eqtri 1908	. . 3 |- ((x .P. (z +P. v)) +P. (y .P. (w +P. u))) = (((x .P. z) +P. (y .P. w)) +P. ((x .P. v) +P. (y .P. u)))
51	36, 37	distrpr 6284	. . . . 5 |- (x .P. (w +P. u)) = ((x .P. w) +P. (x .P. u))
52	33, 34	distrpr 6284	. . . . 5 |- (y .P. (z +P. v)) = ((y .P. z) +P. (y .P. v))
53	51, 52	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((x .P. (w +P. u)) +P. (y .P. (z +P. v))) = (((x .P. w) +P. (x .P. u)) +P. ((y .P. z) +P. (y .P. v)))
54		oprex 4907	. . . . 5 |- (x .P. w) e. _V
55		oprex 4907	. . . . 5 |- (x .P. u) e. _V
56		oprex 4907	. . . . 5 |- (y .P. z) e. _V
57		oprex 4907	. . . . 5 |- (y .P. v) e. _V
58	54, 55, 56, 45, 47, 57	caopr4 4997	. . . 4 |- (((x .P. w) +P. (x .P. u)) +P. ((y .P. z) +P. (y .P. v))) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. ((x .P. u) +P. (y .P. v)))
59	53, 58	eqtri 1908	. . 3 |- ((x .P. (w +P. u)) +P. (y .P. (z +P. v))) = (((x .P. w) +P. (y .P. z)) +P. ((x .P. u) +P. (y .P. v)))
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 21, 32, 50, 59	ecoprdi 5380	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> (A .R (B +R C)) = ((A .R B) +R (A .R C)))
61		distrsr.1	. . 3 |- B e. _V
62		dmaddsr 6346	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
63		distrsr.2	. . 3 |- C e. _V
64		0nsr 6340	. . 3 |- -. (/) e. R.
65		dmmulsr 6347	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
66	61, 62, 63, 64, 65	ndmoprdistr 4982	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> (A .R (B +R C)) = ((A .R B) +R (A .R C)))
67	60, 66	pm2.61i 140	1 |- (A .R (B +R C)) = ((A .R B) +R (A .R C))

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (class class class)co 4884  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   .P. cmp 6140   ~R cer 6144  R.cnr 6145   +R cplr 6149   .R cmr 6150

This theorem is referenced by:  pn0sr 6362  axmulass 6431  axdistr 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321

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