Theorem distrpqlem 6218

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpqlem.1	|- A e. _V
distrpqlem.2	|- B e. _V
distrpqlem.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
distrpqlem	|- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )

Proof of Theorem distrpqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpqlem.1	. . . 4 |- A e. _V
2		distrpqlem.2	. . . 4 |- B e. _V
3		distrpqlem.3	. . . 4 |- C e. _V
4		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
5		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
6	4, 5	mulcompi 6176	. . . 4 |- (x .N y) = (y .N x)
7		visset 2295	. . . . 5 |- z e. _V
8	5, 7	mulasspi 6177	. . . 4 |- ((x .N y) .N z) = (x .N (y .N z))
9	1, 2, 3, 6, 8	caopr32 4993	. . 3 |- ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)
10		mulclpi 6173	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
11		mulclpi 6173	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) e. N.)
12	10, 11	anim12i 360	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.))
13		simpr 350	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ A e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (B e. N. /\ C e. N.))
14	13	an4s 566	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> (B e. N. /\ C e. N.))
15	12, 14	jca 310	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)))
16	15	3impdi 1152	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)))
17		enqbreq 6196	. . . 4 |- ((((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. <-> ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)))
18	16, 17	syl 12	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. <-> ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)))
19	9, 18	mpbiri 211	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> <.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>.)
20		opex 3527	. . 3 |- <.(A .N B), (A .N C)>. e. _V
21		opex 3527	. . 3 |- <.B, C>. e. _V
22		enqer 6198	. . 3 |- Er ~Q
23	20, 21, 22	erthi 5339	. 2 |- (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )
24	19, 23	syl 12	1 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   ~Q ceq 6130

This theorem is referenced by:  distrpq 6219  1qec 6220  mulidpq 6221  ltexpq 6232  halfpq 6234  prlem934b 6290

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-ni 6152  df-mi 6154  df-enq 6189

Copyright terms: Public domain