Theorem distrpq 6219

Description: Multiplication of positive fractions is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpq.1	|- B e. _V
distrpq.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
distrpq	|- (A .Q (B +Q C)) = ((A .Q B) +Q (A .Q C))

Proof of Theorem distrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 6190	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 6206	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q )
3		mulpipq 6207	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.(x .N ((z .N u) +N (w .N v))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
4		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((x e. N. /\ ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.) -> (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N.)
5		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((y e. N. /\ (w .N u) e. N.) -> y e. N.)
6		mulclpi 6173	. . . . . . . . 9 |- ((y e. N. /\ (w .N u) e. N.) -> (y .N (w .N u)) e. N.)
7	5, 6	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ (w .N u) e. N.) -> (y e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.))
8	4, 7	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((x e. N. /\ ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.) /\ (y e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ((x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.)))
9		an12 542	. . . . . . . 8 |- (((x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.)) <-> (y e. N. /\ ((x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.)))
10		3anass 862	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.) <-> (y e. N. /\ ((x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.)))
11	9, 10	bitr4i 193	. . . . . . 7 |- (((x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.)) <-> (y e. N. /\ (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.))
12	8, 11	sylib 215	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.) /\ (y e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> (y e. N. /\ (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.))
13	12	an4s 566	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> (y e. N. /\ (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.))
14		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
15		oprex 4907	. . . . . 6 |- (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. _V
16		oprex 4907	. . . . . 6 |- (y .N (w .N u)) e. _V
17	14, 15, 16	distrpqlem 6218	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ (x .N ((z .N u) +N (w .N v))) e. N. /\ (y .N (w .N u)) e. N.) -> [<.(y .N (x .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (y .N (w .N u)))>.] ~Q = [<.(x .N ((z .N u) +N (w .N v))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
18	13, 17	syl 12	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> [<.(y .N (x .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (y .N (w .N u)))>.] ~Q = [<.(x .N ((z .N u) +N (w .N v))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
19	3, 18	eqtr4d 1928	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.(y .N (x .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (y .N (w .N u)))>.] ~Q )
20		mulpipq 6207	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q )
21		mulpipq 6207	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.(x .N v), (y .N u)>.] ~Q )
22		addpipq 6206	. . 3 |- ((((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ ((x .N v) e. N. /\ (y .N u) e. N.)) -> ([<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q +Q [<.(x .N v), (y .N u)>.] ~Q ) = [<.(((x .N z) .N (y .N u)) +N ((y .N w) .N (x .N v))), ((y .N w) .N (y .N u))>.] ~Q )
23		addclpi 6172	. . . . . 6 |- (((z .N u) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
24		mulclpi 6173	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ u e. N.) -> (z .N u) e. N.)
25		mulclpi 6173	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
26	23, 24, 25	syl2an 503	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ u e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
27	26	an42s 567	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
28		mulclpi 6173	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
29	28	ad2ant2l 444	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
30	27, 29	jca 310	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
31		mulclpi 6173	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ z e. N.) -> (x .N z) e. N.)
32		mulclpi 6173	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
33	31, 32	anim12i 360	. . . 4 |- (((x e. N. /\ z e. N.) /\ (y e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
34	33	an4s 566	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
35		mulclpi 6173	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ v e. N.) -> (x .N v) e. N.)
36		mulclpi 6173	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ u e. N.) -> (y .N u) e. N.)
37	35, 36	anim12i 360	. . . 4 |- (((x e. N. /\ v e. N.) /\ (y e. N. /\ u e. N.)) -> ((x .N v) e. N. /\ (y .N u) e. N.))
38	37	an4s 566	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((x .N v) e. N. /\ (y .N u) e. N.))
39		oprex 4907	. . . . 5 |- (z .N u) e. _V
40		oprex 4907	. . . . 5 |- (w .N v) e. _V
41	39, 40	distrpi 6178	. . . 4 |- ((y .N x) .N ((z .N u) +N (w .N v))) = (((y .N x) .N (z .N u)) +N ((y .N x) .N (w .N v)))
42		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
43		oprex 4907	. . . . 5 |- ((z .N u) +N (w .N v)) e. _V
44	42, 43	mulasspi 6177	. . . 4 |- ((y .N x) .N ((z .N u) +N (w .N v))) = (y .N (x .N ((z .N u) +N (w .N v))))
45	42, 14	mulcompi 6176	. . . . . . 7 |- (x .N y) = (y .N x)
46	45	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((x .N y) .N (z .N u)) = ((y .N x) .N (z .N u))
47		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
48		visset 2295	. . . . . . . 8 |- f e. _V
49		visset 2295	. . . . . . . 8 |- g e. _V
50	48, 49	mulcompi 6176	. . . . . . 7 |- (f .N g) = (g .N f)
51		visset 2295	. . . . . . . 8 |- h e. _V
52	49, 51	mulasspi 6177	. . . . . . 7 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
53		visset 2295	. . . . . . 7 |- u e. _V
54	42, 14, 47, 50, 52, 53	caopr4 4997	. . . . . 6 |- ((x .N y) .N (z .N u)) = ((x .N z) .N (y .N u))
55	46, 54	eqtr3i 1910	. . . . 5 |- ((y .N x) .N (z .N u)) = ((x .N z) .N (y .N u))
56		visset 2295	. . . . . 6 |- w e. _V
57		visset 2295	. . . . . 6 |- v e. _V
58	14, 42, 56, 50, 52, 57	caopr4 4997	. . . . 5 |- ((y .N x) .N (w .N v)) = ((y .N w) .N (x .N v))
59	55, 58	opreq12i 4894	. . . 4 |- (((y .N x) .N (z .N u)) +N ((y .N x) .N (w .N v))) = (((x .N z) .N (y .N u)) +N ((y .N w) .N (x .N v)))
60	41, 44, 59	3eqtr3i 1918	. . 3 |- (y .N (x .N ((z .N u) +N (w .N v)))) = (((x .N z) .N (y .N u)) +N ((y .N w) .N (x .N v)))
61		oprex 4907	. . . . 5 |- (w .N u) e. _V
62	14, 61	mulasspi 6177	. . . 4 |- ((y .N y) .N (w .N u)) = (y .N (y .N (w .N u)))
63	14, 14, 56, 50, 52, 53	caopr4 4997	. . . 4 |- ((y .N y) .N (w .N u)) = ((y .N w) .N (y .N u))
64	62, 63	eqtr3i 1910	. . 3 |- (y .N (y .N (w .N u))) = ((y .N w) .N (y .N u))
65	1, 2, 19, 20, 21, 22, 30, 34, 38, 60, 64	ecoprdi 5380	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> (A .Q (B +Q C)) = ((A .Q B) +Q (A .Q C)))
66		distrpq.1	. . 3 |- B e. _V
67		dmaddpq 6211	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
68		distrpq.2	. . 3 |- C e. _V
69		0npq 6202	. . 3 |- -. (/) e. Q.
70		dmmulpq 6213	. . 3 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
71	66, 67, 68, 69, 70	ndmoprdistr 4982	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> (A .Q (B +Q C)) = ((A .Q B) +Q (A .Q C)))
72	65, 71	pm2.61i 140	1 |- (A .Q (B +Q C)) = ((A .Q B) +Q (A .Q C))

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   +N cpli 6125   .N cmi 6126   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   .Q cmq 6134

This theorem is referenced by:  ltaddpq 6231  addclprlem2 6271  distrlem1pr 6279  distrlem2pr 6280  prlem934a 6289  prlem936a 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192

Copyright terms: Public domain