MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrpi Structured version   Unicode version

Theorem distrpi 9265
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrpi  |-  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )

Proof of Theorem distrpi
StepHypRef Expression
1 pinn 9245 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9245 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 9245 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nndi 7262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1265 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
6 addclpi 9259 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  e.  N. )
7 mulpiord 9252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  +N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +N  C
) ) )
86, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +N  C ) ) )
9 addpiord 9251 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  =  ( B  +o  C ) )
109oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C
) ) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .o  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
128, 11eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
13123impb 1187 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
14 mulclpi 9260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
15 mulclpi 9260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
16 addpiord 9251 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .N  B
)  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +o  ( A  .N  C
) ) )
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .N  B
)  +o  ( A  .N  C ) ) )
18 mulpiord 9252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
19 mulpiord 9252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
2018, 19oveqan12d 6294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +o  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) )
2117, 20eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) )
22213impdi 1278 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  +N  ( A  .N  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
235, 13, 223eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) ) )
24 dmaddpi 9257 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
25 0npi 9249 . . 3  |-  -.  (/)  e.  N.
26 dmmulpi 9258 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
2724, 25, 26ndmovdistr 6439 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) ) )
2823, 27pm2.61i 164 1  |-  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   omcom 6671    +o coa 7117    .o comu 7118   N.cnpi 9211    +N cpli 9212    .N cmi 9213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241
This theorem is referenced by:  adderpqlem  9321  addassnq  9325  distrnq  9328  ltanq  9338  ltexnq  9342
  Copyright terms: Public domain W3C validator