MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrpi Structured version   Unicode version

Theorem distrpi 9179
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrpi  |-  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )

Proof of Theorem distrpi
StepHypRef Expression
1 pinn 9159 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9159 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 9159 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nndi 7173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1261 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
6 addclpi 9173 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  e.  N. )
7 mulpiord 9166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  +N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +N  C
) ) )
86, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +N  C ) ) )
9 addpiord 9165 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  +N  C
)  =  ( B  +o  C ) )
109oveq2d 6217 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C
) ) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .o  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
128, 11eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  +N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
13123impb 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
14 mulclpi 9174 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
15 mulclpi 9174 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
16 addpiord 9165 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .N  B
)  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +o  ( A  .N  C
) ) )
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .N  B
)  +o  ( A  .N  C ) ) )
18 mulpiord 9166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
19 mulpiord 9166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
2018, 19oveqan12d 6220 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +o  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) )
2117, 20eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) )
22213impdi 1274 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  +N  ( A  .N  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
235, 13, 223eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) ) )
24 dmaddpi 9171 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
25 0npi 9163 . . 3  |-  -.  (/)  e.  N.
26 dmmulpi 9172 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
2724, 25, 26ndmovdistr 6363 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C
) ) )
2823, 27pm2.61i 164 1  |-  ( A  .N  ( B  +N  C ) )  =  ( ( A  .N  B )  +N  ( A  .N  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6201   omcom 6587    +o coa 7028    .o comu 7029   N.cnpi 9123    +N cpli 9124    .N cmi 9125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-ni 9153  df-pli 9154  df-mi 9155
This theorem is referenced by:  adderpqlem  9235  addassnq  9239  distrnq  9242  ltanq  9252  ltexnq  9256
  Copyright terms: Public domain W3C validator