Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem5pr Structured version   Unicode version

Theorem distrlem5pr 9441
 Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pr

Proof of Theorem distrlem5pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 9434 . . . . 5
213adant3 1025 . . . 4
3 mulclpr 9434 . . . . 5
433adant2 1024 . . . 4
5 df-plp 9397 . . . . 5
6 addclnq 9359 . . . . 5
75, 6genpelv 9414 . . . 4
82, 4, 7syl2anc 665 . . 3
9 df-mp 9398 . . . . . . . 8
10 mulclnq 9361 . . . . . . . 8
119, 10genpelv 9414 . . . . . . 7
12113adant2 1024 . . . . . 6
1312anbi2d 708 . . . . 5
14 df-mp 9398 . . . . . . . . 9
1514, 10genpelv 9414 . . . . . . . 8
16153adant3 1025 . . . . . . 7
17 distrlem4pr 9440 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15
2317, 22syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . 14
2423exp4b 610 . . . . . . . . . . . . 13
2524com3l 84 . . . . . . . . . . . 12
2625exp4b 610 . . . . . . . . . . 11
2726com23 81 . . . . . . . . . 10
2827rexlimivv 2920 . . . . . . . . 9
2928rexlimdvv 2921 . . . . . . . 8
3029com3r 82 . . . . . . 7
3116, 30sylbid 218 . . . . . 6
3231impd 432 . . . . 5
3313, 32sylbid 218 . . . 4
3433rexlimdvv 2921 . . 3
358, 34sylbid 218 . 2
3635ssrdv 3467 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867  wrex 2774   wss 3433  (class class class)co 6296   cplq 9269   cmq 9270  cnp 9273   cpp 9275   cmp 9276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-plp 9397  df-mp 9398 This theorem is referenced by:  distrpr  9442
 Copyright terms: Public domain W3C validator