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Theorem distrlem1pr 9403
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem1pr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 9396 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
2 df-mp 9362 . . . . . 6  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  y  E. h  e.  z  f  =  ( g  .Q  h ) } )
3 mulclnq 9325 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
42, 3genpelv 9378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
51, 4sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )
)  ->  ( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
653impb 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C
) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
7 df-plp 9361 . . . . . . . . . . 11  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  x  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  w  E. h  e.  x  f  =  ( g  +Q  h ) } )
8 addclnq 9323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
97, 8genpelv 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z ) ) )
1093adant1 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
12 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  w  =  ( x  .Q  v ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  v  =  ( y  +Q  z ) )
14 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
x  .Q  v )  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
1514eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  =  ( x  .Q  v )  <->  w  =  ( x  .Q  (
y  +Q  z ) ) ) )
1615biimpac 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
17 distrnq 9339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
1816, 17syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
1912, 13, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  =  ( ( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
20 mulclpr 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
21203adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B )  e. 
P. )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  B )  e.  P. )
23 mulclpr 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C
)  e.  P. )
24233adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C )  e. 
P. )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  C )  e.  P. )
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  y  e.  B )
272, 3genpprecl 9379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
28273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
2928impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
3029adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  ( A  .P.  B ) )
3126, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
32 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  z  e.  C )
332, 3genpprecl 9379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
34333adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  C
)  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
3534impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
3635adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( x  .Q  z
)  e.  ( A  .P.  C ) )
3732, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
387, 8genpprecl 9379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .P.  B
)  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B
)  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )  ->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  .P.  B )  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  /\  ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B )  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) )
4022, 25, 31, 37, 39syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z
) )  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4119, 40eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4241exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
4411, 43sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) ) )
4544exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  ( x  .Q  v )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4645com34 83 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( v  e.  ( B  +P.  C )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4746impd 431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  v  e.  ( B  +P.  C ) )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4847rexlimdvv 2961 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
496, 48sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
5049ssrdv 3510 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476  (class class class)co 6284    +Q cplq 9233    .Q cmq 9234   P.cnp 9237    +P. cpp 9239    .P. cmp 9240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ni 9250  df-pli 9251  df-mi 9252  df-lti 9253  df-plpq 9286  df-mpq 9287  df-ltpq 9288  df-enq 9289  df-nq 9290  df-erq 9291  df-plq 9292  df-mq 9293  df-1nq 9294  df-rq 9295  df-ltnq 9296  df-np 9359  df-plp 9361  df-mp 9362
This theorem is referenced by:  distrpr  9406
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