Theorem distrlem1pr 9403

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem1pr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr

Dummy variables x y z w v f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 9396	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
2		df-mp 9362	. . . . . 6 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { f | E. g e. y E. h e. z f = ( g .Q h ) } )
3		mulclnq 9325	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
4	2, 3	genpelv 9378	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
5	1, 4	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ C e. P. ) ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
6	5	3impb 1192	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
7		df-plp 9361	. . . . . . . . . . 11 |- +P. = ( w e. P. , x e. P. |-> { f | E. g e. w E. h e. x f = ( g +Q h ) } )
8		addclnq 9323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
9	7, 8	genpelv 9378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
10	9	3adant1 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
12		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> w = ( x .Q v ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> v = ( y +Q z ) )
14		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( x .Q v ) = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
15	14	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( w = ( x .Q v ) <-> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) ) )
16	15	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
17		distrnq 9339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
18	16, 17	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
19	12, 13, 18	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
20		mulclpr 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
21	20	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. B ) e. P. )
23		mulclpr 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
24	23	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. C ) e. P. )
26		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> y e. B )
27	2, 3	genpprecl 9379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
28	27	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
29	28	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
30	29	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
31	26, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
32		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> z e. C )
33	2, 3	genpprecl 9379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
34	33	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
35	34	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
36	35	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
37	32, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
38	7, 8	genpprecl 9379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) -> ( ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) /\ ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
40	22, 25, 31, 37, 39	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
41	19, 40	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
42	41	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2961	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
44	11, 43	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
45	44	exp32 605	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( w = ( x .Q v ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
46	45	com34 83	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( v e. ( B +P. C ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
47	46	impd 431	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ v e. ( B +P. C ) ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
48	47	rexlimdvv 2961	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
49	6, 48	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
50	49	ssrdv 3510	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   C_ wss 3476  (class class class)co 6284   +Q cplq 9233   .Q cmq 9234   P.cnp 9237   +P. cpp 9239   .P. cmp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ni 9250  df-pli 9251  df-mi 9252  df-lti 9253  df-plpq 9286  df-mpq 9287  df-ltpq 9288  df-enq 9289  df-nq 9290  df-erq 9291  df-plq 9292  df-mq 9293  df-1nq 9294  df-rq 9295  df-ltnq 9296  df-np 9359  df-plp 9361  df-mp 9362

This theorem is referenced by:  distrpr  9406