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Theorem distrlem1pr 9304
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem1pr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 9297 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
2 df-mp 9263 . . . . . 6  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  y  E. h  e.  z  f  =  ( g  .Q  h ) } )
3 mulclnq 9226 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
42, 3genpelv 9279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
51, 4sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )
)  ->  ( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
653impb 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C
) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
7 df-plp 9262 . . . . . . . . . . 11  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  x  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  w  E. h  e.  x  f  =  ( g  +Q  h ) } )
8 addclnq 9224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
97, 8genpelv 9279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z ) ) )
1093adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
12 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  w  =  ( x  .Q  v ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  v  =  ( y  +Q  z ) )
14 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
x  .Q  v )  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
1514eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  =  ( x  .Q  v )  <->  w  =  ( x  .Q  (
y  +Q  z ) ) ) )
1615biimpac 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
17 distrnq 9240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
1816, 17syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
1912, 13, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  =  ( ( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
20 mulclpr 9299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
21203adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B )  e. 
P. )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  B )  e.  P. )
23 mulclpr 9299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C
)  e.  P. )
24233adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C )  e. 
P. )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  C )  e.  P. )
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  y  e.  B )
272, 3genpprecl 9280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
28273adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
2928impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
3029adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  ( A  .P.  B ) )
3126, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
32 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  z  e.  C )
332, 3genpprecl 9280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
34333adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  C
)  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
3534impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
3635adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( x  .Q  z
)  e.  ( A  .P.  C ) )
3732, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
387, 8genpprecl 9280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .P.  B
)  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B
)  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )  ->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  .P.  B )  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  /\  ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B )  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) )
4022, 25, 31, 37, 39syl22anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z
) )  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4119, 40eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4241exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
4411, 43sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) ) )
4544exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  ( x  .Q  v )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4645com34 83 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( v  e.  ( B  +P.  C )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4746impd 431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  v  e.  ( B  +P.  C ) )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4847rexlimdvv 2951 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
496, 48sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
5049ssrdv 3469 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799    C_ wss 3435  (class class class)co 6199    +Q cplq 9132    .Q cmq 9133   P.cnp 9136    +P. cpp 9138    .P. cmp 9139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-ni 9151  df-pli 9152  df-mi 9153  df-lti 9154  df-plpq 9187  df-mpq 9188  df-ltpq 9189  df-enq 9190  df-nq 9191  df-erq 9192  df-plq 9193  df-mq 9194  df-1nq 9195  df-rq 9196  df-ltnq 9197  df-np 9260  df-plp 9262  df-mp 9263
This theorem is referenced by:  distrpr  9307
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