Theorem distrlem1pr 9439

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem1pr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr

Dummy variables x y z w v f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 9432	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
2		df-mp 9398	. . . . . 6 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { f | E. g e. y E. h e. z f = ( g .Q h ) } )
3		mulclnq 9361	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
4	2, 3	genpelv 9414	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
5	1, 4	sylan2 476	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ C e. P. ) ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
6	5	3impb 1201	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
7		df-plp 9397	. . . . . . . . . . 11 |- +P. = ( w e. P. , x e. P. |-> { f | E. g e. w E. h e. x f = ( g +Q h ) } )
8		addclnq 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
9	7, 8	genpelv 9414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
10	9	3adant1 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
11	10	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
12		simprr 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> w = ( x .Q v ) )
13		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> v = ( y +Q z ) )
14		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( x .Q v ) = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
15	14	eqeq2d 2434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( w = ( x .Q v ) <-> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) ) )
16	15	biimpac 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
17		distrnq 9375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
18	16, 17	syl6eq 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
19	12, 13, 18	syl2an 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
20		mulclpr 9434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
21	20	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
22	21	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. B ) e. P. )
23		mulclpr 9434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
24	23	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
25	24	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. C ) e. P. )
26		simpll 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> y e. B )
27	2, 3	genpprecl 9415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
28	27	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
29	28	impl 624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
30	29	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
31	26, 30	sylan2 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
32		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> z e. C )
33	2, 3	genpprecl 9415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
34	33	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
35	34	impl 624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
36	35	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
37	32, 36	sylan2 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
38	7, 8	genpprecl 9415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) -> ( ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
39	38	imp 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) /\ ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
40	22, 25, 31, 37, 39	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
41	19, 40	eqeltrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
42	41	exp32 608	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
44	11, 43	sylbid 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
45	44	exp32 608	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( w = ( x .Q v ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
46	45	com34 86	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( v e. ( B +P. C ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
47	46	impd 432	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ v e. ( B +P. C ) ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
48	47	rexlimdvv 2921	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
49	6, 48	sylbid 218	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
50	49	ssrdv 3467	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   E.wrex 2774   C_ wss 3433  (class class class)co 6296   +Q cplq 9269   .Q cmq 9270   P.cnp 9273   +P. cpp 9275   .P. cmp 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-plp 9397  df-mp 9398

This theorem is referenced by:  distrpr  9442