Theorem distrlem1pr 9304

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem1pr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr

Dummy variables x y z w v f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 9297	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
2		df-mp 9263	. . . . . 6 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { f | E. g e. y E. h e. z f = ( g .Q h ) } )
3		mulclnq 9226	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
4	2, 3	genpelv 9279	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
5	1, 4	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ C e. P. ) ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
6	5	3impb 1184	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
7		df-plp 9262	. . . . . . . . . . 11 |- +P. = ( w e. P. , x e. P. |-> { f | E. g e. w E. h e. x f = ( g +Q h ) } )
8		addclnq 9224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
9	7, 8	genpelv 9279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
10	9	3adant1 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
12		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> w = ( x .Q v ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> v = ( y +Q z ) )
14		oveq2 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( x .Q v ) = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
15	14	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( w = ( x .Q v ) <-> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) ) )
16	15	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
17		distrnq 9240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
18	16, 17	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
19	12, 13, 18	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
20		mulclpr 9299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
21	20	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. B ) e. P. )
23		mulclpr 9299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
24	23	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. C ) e. P. )
26		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> y e. B )
27	2, 3	genpprecl 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
28	27	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
29	28	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
30	29	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
31	26, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
32		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> z e. C )
33	2, 3	genpprecl 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
34	33	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
35	34	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
36	35	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
37	32, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
38	7, 8	genpprecl 9280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) -> ( ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) /\ ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
40	22, 25, 31, 37, 39	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
41	19, 40	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
42	41	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2951	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
44	11, 43	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
45	44	exp32 605	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( w = ( x .Q v ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
46	45	com34 83	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( v e. ( B +P. C ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
47	46	impd 431	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ v e. ( B +P. C ) ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
48	47	rexlimdvv 2951	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
49	6, 48	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
50	49	ssrdv 3469	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2799   C_ wss 3435  (class class class)co 6199   +Q cplq 9132   .Q cmq 9133   P.cnp 9136   +P. cpp 9138   .P. cmp 9139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-ni 9151  df-pli 9152  df-mi 9153  df-lti 9154  df-plpq 9187  df-mpq 9188  df-ltpq 9189  df-enq 9190  df-nq 9191  df-erq 9192  df-plq 9193  df-mq 9194  df-1nq 9195  df-rq 9196  df-ltnq 9197  df-np 9260  df-plp 9262  df-mp 9263

This theorem is referenced by:  distrpr  9307