Theorem distrlem1pr 9186

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem1pr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr

Dummy variables x y z w v f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 9179	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
2		df-mp 9145	. . . . . 6 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { f | E. g e. y E. h e. z f = ( g .Q h ) } )
3		mulclnq 9108	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
4	2, 3	genpelv 9161	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
5	1, 4	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ C e. P. ) ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
6	5	3impb 1183	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
7		df-plp 9144	. . . . . . . . . . 11 |- +P. = ( w e. P. , x e. P. |-> { f | E. g e. w E. h e. x f = ( g +Q h ) } )
8		addclnq 9106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
9	7, 8	genpelv 9161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
10	9	3adant1 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
12		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> w = ( x .Q v ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> v = ( y +Q z ) )
14		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( x .Q v ) = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
15	14	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( y +Q z ) -> ( w = ( x .Q v ) <-> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) ) )
16	15	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
17		distrnq 9122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
18	16, 17	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
19	12, 13, 18	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
20		mulclpr 9181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
21	20	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. B ) e. P. )
23		mulclpr 9181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
24	23	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. C ) e. P. )
26		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> y e. B )
27	2, 3	genpprecl 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
28	27	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
29	28	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
30	29	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
31	26, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
32		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> z e. C )
33	2, 3	genpprecl 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
34	33	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
35	34	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
36	35	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
37	32, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
38	7, 8	genpprecl 9162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) -> ( ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) /\ ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
40	22, 25, 31, 37, 39	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
41	19, 40	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
42	41	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2842	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
44	11, 43	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
45	44	exp32 605	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( w = ( x .Q v ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
46	45	com34 83	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( v e. ( B +P. C ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
47	46	impd 431	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ v e. ( B +P. C ) ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
48	47	rexlimdvv 2842	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
49	6, 48	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
50	49	ssrdv 3357	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   C_ wss 3323  (class class class)co 6086   +Q cplq 9014   .Q cmq 9015   P.cnp 9018   +P. cpp 9020   .P. cmp 9021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-pli 9034  df-mi 9035  df-lti 9036  df-plpq 9069  df-mpq 9070  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-plq 9075  df-mq 9076  df-1nq 9077  df-rq 9078  df-ltnq 9079  df-np 9142  df-plp 9144  df-mp 9145

This theorem is referenced by:  distrpr  9189