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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > distrlem1pr | Structured version Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.) |
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distrlem1pr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | addclpr 9297 |
. . . . 5
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2 | df-mp 9263 |
. . . . . 6
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3 | mulclnq 9226 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | genpelv 9279 |
. . . . 5
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5 | 1, 4 | sylan2 474 |
. . . 4
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6 | 5 | 3impb 1184 |
. . 3
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7 | df-plp 9262 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | addclnq 9224 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 7, 8 | genpelv 9279 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | 3adant1 1006 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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12 | simprr 756 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | simpr 461 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | oveq2 6207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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15 | 14 | eqeq2d 2468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 15 | biimpac 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | distrnq 9240 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 16, 17 | syl6eq 2511 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 12, 13, 18 | syl2an 477 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | mulclpr 9299 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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21 | 20 | 3adant3 1008 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | mulclpr 9299 |
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24 | 23 | 3adant2 1007 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | simpll 753 |
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27 | 2, 3 | genpprecl 9280 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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28 | 27 | 3adant3 1008 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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29 | 28 | impl 620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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30 | 29 | adantlrr 720 |
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31 | 26, 30 | sylan2 474 |
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32 | simplr 754 |
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33 | 2, 3 | genpprecl 9280 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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34 | 33 | 3adant2 1007 |
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35 | 34 | impl 620 |
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36 | 35 | adantlrr 720 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 32, 36 | sylan2 474 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 7, 8 | genpprecl 9280 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 38 | imp 429 |
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40 | 22, 25, 31, 37, 39 | syl22anc 1220 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 19, 40 | eqeltrd 2542 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | exp32 605 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | rexlimdvv 2951 |
. . . . . . . 8
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44 | 11, 43 | sylbid 215 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | exp32 605 |
. . . . . 6
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46 | 45 | com34 83 |
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47 | 46 | impd 431 |
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48 | 47 | rexlimdvv 2951 |
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49 | 6, 48 | sylbid 215 |
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50 | 49 | ssrdv 3469 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481 ax-inf2 7957 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-ral 2803 df-rex 2804 df-reu 2805 df-rmo 2806 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-pss 3451 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-tp 3989 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-tr 4493 df-eprel 4739 df-id 4743 df-po 4748 df-so 4749 df-fr 4786 df-we 4788 df-ord 4829 df-on 4830 df-lim 4831 df-suc 4832 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-f1 5530 df-fo 5531 df-f1o 5532 df-fv 5533 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-om 6586 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-recs 6941 df-rdg 6975 df-1o 7029 df-oadd 7033 df-omul 7034 df-er 7210 df-ni 9151 df-pli 9152 df-mi 9153 df-lti 9154 df-plpq 9187 df-mpq 9188 df-ltpq 9189 df-enq 9190 df-nq 9191 df-erq 9192 df-plq 9193 df-mq 9194 df-1nq 9195 df-rq 9196 df-ltnq 9197 df-np 9260 df-plp 9262 df-mp 9263 |
This theorem is referenced by: distrpr 9307 |
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