MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distopon Structured version   Unicode version

Theorem distopon 18734
Description: The discrete topology on a set  A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
distopon  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )

Proof of Theorem distopon
StepHypRef Expression
1 distop 18733 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
2 unipw 4651 . . . 4  |-  U. ~P A  =  A
32eqcomi 2467 . . 3  |-  A  = 
U. ~P A
43a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. ~P A )
5 istopon 18663 . 2  |-  ( ~P A  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  A  =  U. ~P A ) )
61, 4, 5sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200   ` cfv 5527   Topctop 18631  TopOnctopon 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-top 18636  df-topon 18639
This theorem is referenced by:  sn0topon  18735  toponmre  18830  cndis  19028  txdis1cn  19341  xkofvcn  19390  distgp  19803  symgtgp  19805
  Copyright terms: Public domain W3C validator