Theorem distopon 18734

Description: The discrete topology on a set A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	|- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 18733	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2		unipw 4651	. . . 4 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2467	. . 3 |- A = U. ~P A
4	3	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> A = U. ~P A )
5		istopon 18663	. 2 |- ( ~P A e. (TopOn ` A ) <-> ( ~P A e. Top /\ A = U. ~P A ) )
6	1, 4, 5	sylanbrc 664	1 |- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200   ` cfv 5527   Topctop 18631  TopOnctopon 18632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-top 18636  df-topon 18639

This theorem is referenced by:  sn0topon  18735  toponmre  18830  cndis  19028  txdis1cn  19341  xkofvcn  19390  distgp  19803  symgtgp  19805