Theorem distopon 19624

Description: The discrete topology on a set A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	|- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 19623	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2		unipw 4706	. . . 4 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2470	. . 3 |- A = U. ~P A
4	3	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> A = U. ~P A )
5		istopon 19552	. 2 |- ( ~P A e. (TopOn ` A ) <-> ( ~P A e. Top /\ A = U. ~P A ) )
6	1, 4, 5	sylanbrc 664	1 |- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19520  TopOnctopon 19521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-top 19525  df-topon 19528

This theorem is referenced by:  sn0topon  19625  toponmre  19720  cndis  19918  txdis1cn  20261  xkofvcn  20310  distgp  20723  symgtgp  20725  cnfdmsn  31845