Theorem distopg 14876

Description: The discrete topology on a set A.

Assertion

Ref	Expression
distopg	|- (A e. B -> ~PA e. Top)

Proof of Theorem distopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. B -> A e. _V)
2		pweq 3036	. . . 4 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> ~PA = ~Pif(A e. _V, A, (/)))
3	2	eleq1d 1963	. . 3 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (~PA e. Top <-> ~Pif(A e. _V, A, (/)) e. Top))
4		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	4	elimel 3025	. . . 4 |- if(A e. _V, A, (/)) e. _V
6	5	distop 8919	. . 3 |- ~Pif(A e. _V, A, (/)) e. Top
7	3, 6	dedth 3011	. 2 |- (A e. _V -> ~PA e. Top)
8	1, 7	syl 12	1 |- (A e. B -> ~PA e. Top)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  ~Pcpw 3032  Topctop 8857

This theorem is referenced by:  usptoplem 14917  istopx 14918  prtoptop 14919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-uni 3178  df-top 8861

Copyright terms: Public domain