MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distop Unicode version

Theorem distop 16565
Description: The discrete topology on a set  A. Part of Example 2 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 17-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
distop  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )

Proof of Theorem distop
StepHypRef Expression
1 uniss 3748 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  C_ 
U. ~P A )
2 unipw 4118 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
31, 2syl6sseq 3145 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  C_  A )
4 vex 2730 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
54uniex 4407 . . . . . 6  |-  U. x  e.  _V
65elpw 3536 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  ~P A  <->  U. x  C_  A )
73, 6sylibr 205 . . . 4  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )
87ax-gen 1536 . . 3  |-  A. x
( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )
98a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x
( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A ) )
104elpw 3536 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
11 vex 2730 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1211elpw 3536 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
13 ssinss1 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  A  ->  (
x  i^i  y )  C_  A )
1413a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  C_  A  ->  ( x  i^i  y ) 
C_  A ) )
1511inex2 4053 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1615elpw 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  y )  C_  A
)
1714, 16syl6ibr 220 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  C_  A  ->  ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) )
1812, 17sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( x  C_  A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P A
) )
1918com12 29 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  ->  (
y  e.  ~P A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P A
) )
2010, 19sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( y  e.  ~P A  ->  ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) )
2120ralrimiv 2587 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P A  ->  A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A )
2221rgen 2570 . . 3  |-  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e. 
~P A
2322a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e. 
~P A )
24 pwexg 4088 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
25 istopg 16473 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) ) )
2624, 25syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) ) )
279, 23, 26mpbir2and 893 1  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727    i^i cin 3077    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   U.cuni 3727   Topctop 16463
This theorem is referenced by:  distopon  16566  distps  16584  discld  16658  restdis  16741  dishaus  16942  discmp  16957  dis2ndc  17018  dislly  17055  dis1stc  17057  txdis  17158  xkopt  17181  xkofvcn  17210  symgtgp  17616  usptoplem  24712  istopx  24713  locfindis  25471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-uni 3728  df-top 16468
  Copyright terms: Public domain W3C validator