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Theorem distel 27756
Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4577 and elirrv 7918.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
distel  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)

Proof of Theorem distel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el 4577 . . 3  |-  E. z  x  e.  z
2 df-ex 1588 . . . 4  |-  ( E. z  x  e.  z  <->  -.  A. z  -.  x  e.  z )
3 nfnae 2017 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 dveel1 2070 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  e.  z  ->  A. y  x  e.  z )
)
53, 4nfd 1816 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  x  e.  z )
65nfnd 1840 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  -.  x  e.  z
)
7 elequ2 1763 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
87notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) ) )
103, 6, 9cbvald 1984 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  z  <->  A. y  -.  x  e.  y ) )
1110notbid 294 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. z  -.  x  e.  z  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
) )
122, 11syl5bb 257 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. z  x  e.  z  <->  -. 
A. y  -.  x  e.  y ) )
131, 12mpbii 211 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
14 elirrv 7918 . . . . 5  |-  -.  y  e.  y
15 elequ1 1761 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  y  <->  x  e.  y ) )
1614, 15mtbii 302 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -.  x  e.  y )
1716alimi 1605 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  -.  x  e.  y )
1817con3i 135 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  x  e.  y  ->  -.  A. y  y  =  x
)
1913, 18impbii 188 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368   E.wex 1587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-reg 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-nul 3741  df-sn 3981  df-pr 3983
This theorem is referenced by: (None)
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