Theorem distel 27756

Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4577 and elirrv 7918.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
distel	|- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Proof of Theorem distel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 4577	. . 3 |- E. z x e. z
2		df-ex 1588	. . . 4 |- ( E. z x e. z <-> -. A. z -. x e. z )
3		nfnae 2017	. . . . . 6 |- F/ y -. A. y y = x
4		dveel1 2070	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> ( x e. z -> A. y x e. z ) )
5	3, 4	nfd 1816	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. z )
6	5	nfnd 1840	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> F/ y -. x e. z )
7		elequ2 1763	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
8	7	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) ) )
10	3, 6, 9	cbvald 1984	. . . . 5 |- ( -. A. y y = x -> ( A. z -. x e. z <-> A. y -. x e. y ) )
11	10	notbid 294	. . . 4 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. z -. x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
12	2, 11	syl5bb 257	. . 3 |- ( -. A. y y = x -> ( E. z x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
13	1, 12	mpbii 211	. 2 |- ( -. A. y y = x -> -. A. y -. x e. y )
14		elirrv 7918	. . . . 5 |- -. y e. y
15		elequ1 1761	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y e. y <-> x e. y ) )
16	14, 15	mtbii 302	. . . 4 |- ( y = x -> -. x e. y )
17	16	alimi 1605	. . 3 |- ( A. y y = x -> A. y -. x e. y )
18	17	con3i 135	. 2 |- ( -. A. y -. x e. y -> -. A. y y = x )
19	13, 18	impbii 188	1 |- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1368   E.wex 1587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-reg 7913

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-nul 3741  df-sn 3981  df-pr 3983

This theorem is referenced by: (None)