Theorem distel 30500

Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4602 and elirrv 8143.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
distel	|- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Proof of Theorem distel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 4602	. . 3 |- E. z x e. z
2		df-ex 1675	. . . 4 |- ( E. z x e. z <-> -. A. z -. x e. z )
3		nfnae 2163	. . . . . 6 |- F/ y -. A. y y = x
4		dveel1 2210	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> ( x e. z -> A. y x e. z ) )
5	3, 4	nfd 1967	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. z )
6	5	nfnd 1995	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> F/ y -. x e. z )
7		elequ2 1912	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
8	7	notbid 300	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) ) )
10	3, 6, 9	cbvald 2129	. . . . 5 |- ( -. A. y y = x -> ( A. z -. x e. z <-> A. y -. x e. y ) )
11	10	notbid 300	. . . 4 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. z -. x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
12	2, 11	syl5bb 265	. . 3 |- ( -. A. y y = x -> ( E. z x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
13	1, 12	mpbii 216	. 2 |- ( -. A. y y = x -> -. A. y -. x e. y )
14		elirrv 8143	. . . . 5 |- -. y e. y
15		elequ1 1905	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y e. y <-> x e. y ) )
16	14, 15	mtbii 308	. . . 4 |- ( y = x -> -. x e. y )
17	16	alimi 1695	. . 3 |- ( A. y y = x -> A. y -. x e. y )
18	17	con3i 142	. 2 |- ( -. A. y -. x e. y -> -. A. y y = x )
19	13, 18	impbii 192	1 |- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   A.wal 1453   E.wex 1674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-reg 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-nul 3744  df-sn 3981  df-pr 3983

This theorem is referenced by: (None)