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Theorem distel 30500
Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4602 and elirrv 8143.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
distel  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)

Proof of Theorem distel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el 4602 . . 3  |-  E. z  x  e.  z
2 df-ex 1675 . . . 4  |-  ( E. z  x  e.  z  <->  -.  A. z  -.  x  e.  z )
3 nfnae 2163 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 dveel1 2210 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  e.  z  ->  A. y  x  e.  z )
)
53, 4nfd 1967 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  x  e.  z )
65nfnd 1995 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  -.  x  e.  z
)
7 elequ2 1912 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
87notbid 300 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) ) )
103, 6, 9cbvald 2129 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  z  <->  A. y  -.  x  e.  y ) )
1110notbid 300 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. z  -.  x  e.  z  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
) )
122, 11syl5bb 265 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. z  x  e.  z  <->  -. 
A. y  -.  x  e.  y ) )
131, 12mpbii 216 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
14 elirrv 8143 . . . . 5  |-  -.  y  e.  y
15 elequ1 1905 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  y  <->  x  e.  y ) )
1614, 15mtbii 308 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -.  x  e.  y )
1716alimi 1695 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  -.  x  e.  y )
1817con3i 142 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  x  e.  y  ->  -.  A. y  y  =  x
)
1913, 18impbii 192 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189   A.wal 1453   E.wex 1674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-reg 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-nul 3744  df-sn 3981  df-pr 3983
This theorem is referenced by: (None)
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