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Theorem dissnref 20555
Description: The set of singletons is a refinement of any open covering of the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
dissnref.c  |-  C  =  { u  |  E. x  e.  X  u  =  { x } }
Assertion
Ref Expression
dissnref  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C Ref Y
)
Distinct variable groups:    u, C, x    u, V, x    u, X, x    u, Y, x

Proof of Theorem dissnref
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  U. Y  =  X )
2 dissnref.c . . . 4  |-  C  =  { u  |  E. x  e.  X  u  =  { x } }
32unisngl 20554 . . 3  |-  X  = 
U. C
41, 3syl6eq 2503 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  U. Y  =  U. C )
5 simplr 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  u  =  { x } )
6 simprr 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  x  e.  y )
76snssd 4120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  { x }  C_  y )
85, 7eqsstrd 3468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  u  C_  y )
9 simplr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  x  e.  X
)
10 simp-4r 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  U. Y  =  X )
119, 10eleqtrrd 2534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  x  e.  U. Y )
12 eluni2 4205 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. Y  <->  E. y  e.  Y  x  e.  y )
1311, 12sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  E. y  e.  Y  x  e.  y )
148, 13reximddv 2865 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  E. y  e.  Y  u  C_  y )
152abeq2i 2565 . . . . . 6  |-  ( u  e.  C  <->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1615biimpi 198 . . . . 5  |-  ( u  e.  C  ->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1716adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C )  ->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1814, 17r19.29a 2934 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C )  ->  E. y  e.  Y  u  C_  y
)
1918ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y )
20 pwexg 4590 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
21 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  u  =  {
x } )
22 snelpwi 4648 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  e.  ~P X
)
2322ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  { x }  e.  ~P X )
2421, 23eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  u  e.  ~P X )
2524, 16r19.29a 2934 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  C  ->  u  e.  ~P X )
2625ssriv 3438 . . . . . 6  |-  C  C_  ~P X
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  C  C_ 
~P X )
2820, 27ssexd 4553 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  C  e.  _V )
2928adantr 467 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C  e.  _V )
30 eqid 2453 . . . 4  |-  U. C  =  U. C
31 eqid 2453 . . . 4  |-  U. Y  =  U. Y
3230, 31isref 20536 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C Ref Y  <->  ( U. Y  =  U. C  /\  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y ) ) )
3329, 32syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  ( C Ref Y 
<->  ( U. Y  = 
U. C  /\  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y ) ) )
344, 19, 33mpbir2and 934 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C Ref Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   {csn 3970   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   Refcref 20529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-xp 4843  df-rel 4844  df-ref 20532
This theorem is referenced by:  dispcmp  28698
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