Theorem dissnref 20530

Description: The set of singletons is a refinement of any open covering of the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
dissnref.c	|- C = { u | E. x e. X u = { x } }

Assertion

Ref	Expression
dissnref	|- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Distinct variable groups:   u, C, x   u, V, x   u, X, x   u, Y, x

Proof of Theorem dissnref

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 462	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = X )
2		dissnref.c	. . . 4 |- C = { u | E. x e. X u = { x } }
3	2	unisngl 20529	. . 3 |- X = U. C
4	1, 3	syl6eq 2479	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = U. C )
5		simplr 760	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u = { x } )
6		simprr 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> x e. y )
7	6	snssd 4142	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> { x } C_ y )
8	5, 7	eqsstrd 3498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u C_ y )
9		simplr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. X )
10		simp-4r 775	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> U. Y = X )
11	9, 10	eleqtrrd 2513	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. U. Y )
12		eluni2 4220	. . . . . 6 |- ( x e. U. Y <-> E. y e. Y x e. y )
13	11, 12	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y x e. y )
14	8, 13	reximddv 2901	. . . 4 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y u C_ y )
15	2	abeq2i 2549	. . . . . 6 |- ( u e. C <-> E. x e. X u = { x } )
16	15	biimpi 197	. . . . 5 |- ( u e. C -> E. x e. X u = { x } )
17	16	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. x e. X u = { x } )
18	14, 17	r19.29a 2970	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. y e. Y u C_ y )
19	18	ralrimiva 2839	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> A. u e. C E. y e. Y u C_ y )
20		pwexg 4605	. . . . 5 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
21		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u = { x } )
22		snelpwi 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> { x } e. ~P X )
23	22	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> { x } e. ~P X )
24	21, 23	eqeltrd 2510	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u e. ~P X )
25	24, 16	r19.29a 2970	. . . . . . 7 |- ( u e. C -> u e. ~P X )
26	25	ssriv 3468	. . . . . 6 |- C C_ ~P X
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. V -> C C_ ~P X )
28	20, 27	ssexd 4568	. . . 4 |- ( X e. V -> C e. _V )
29	28	adantr 466	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C e. _V )
30		eqid 2422	. . . 4 |- U. C = U. C
31		eqid 2422	. . . 4 |- U. Y = U. Y
32	30, 31	isref 20511	. . 3 |- ( C e. _V -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
33	29, 32	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
34	4, 19, 33	mpbir2and 930	1 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   Refcref 20504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-xp 4856  df-rel 4857  df-ref 20507

This theorem is referenced by:  dispcmp  28682