Theorem dissnref 20555

Description: The set of singletons is a refinement of any open covering of the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
dissnref.c	|- C = { u | E. x e. X u = { x } }

Assertion

Ref	Expression
dissnref	|- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Distinct variable groups:   u, C, x   u, V, x   u, X, x   u, Y, x

Proof of Theorem dissnref

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = X )
2		dissnref.c	. . . 4 |- C = { u | E. x e. X u = { x } }
3	2	unisngl 20554	. . 3 |- X = U. C
4	1, 3	syl6eq 2503	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = U. C )
5		simplr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u = { x } )
6		simprr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> x e. y )
7	6	snssd 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> { x } C_ y )
8	5, 7	eqsstrd 3468	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u C_ y )
9		simplr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. X )
10		simp-4r 778	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> U. Y = X )
11	9, 10	eleqtrrd 2534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. U. Y )
12		eluni2 4205	. . . . . 6 |- ( x e. U. Y <-> E. y e. Y x e. y )
13	11, 12	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y x e. y )
14	8, 13	reximddv 2865	. . . 4 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y u C_ y )
15	2	abeq2i 2565	. . . . . 6 |- ( u e. C <-> E. x e. X u = { x } )
16	15	biimpi 198	. . . . 5 |- ( u e. C -> E. x e. X u = { x } )
17	16	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. x e. X u = { x } )
18	14, 17	r19.29a 2934	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. y e. Y u C_ y )
19	18	ralrimiva 2804	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> A. u e. C E. y e. Y u C_ y )
20		pwexg 4590	. . . . 5 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
21		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u = { x } )
22		snelpwi 4648	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> { x } e. ~P X )
23	22	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> { x } e. ~P X )
24	21, 23	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u e. ~P X )
25	24, 16	r19.29a 2934	. . . . . . 7 |- ( u e. C -> u e. ~P X )
26	25	ssriv 3438	. . . . . 6 |- C C_ ~P X
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. V -> C C_ ~P X )
28	20, 27	ssexd 4553	. . . 4 |- ( X e. V -> C e. _V )
29	28	adantr 467	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C e. _V )
30		eqid 2453	. . . 4 |- U. C = U. C
31		eqid 2453	. . . 4 |- U. Y = U. Y
32	30, 31	isref 20536	. . 3 |- ( C e. _V -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
33	29, 32	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
34	4, 19, 33	mpbir2and 934	1 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   {csn 3970   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   Refcref 20529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-xp 4843  df-rel 4844  df-ref 20532

This theorem is referenced by:  dispcmp  28698