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Theorem dissnref 20530
Description: The set of singletons is a refinement of any open covering of the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
dissnref.c  |-  C  =  { u  |  E. x  e.  X  u  =  { x } }
Assertion
Ref Expression
dissnref  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C Ref Y
)
Distinct variable groups:    u, C, x    u, V, x    u, X, x    u, Y, x

Proof of Theorem dissnref
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  U. Y  =  X )
2 dissnref.c . . . 4  |-  C  =  { u  |  E. x  e.  X  u  =  { x } }
32unisngl 20529 . . 3  |-  X  = 
U. C
41, 3syl6eq 2479 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  U. Y  =  U. C )
5 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  u  =  { x } )
6 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  x  e.  y )
76snssd 4142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  { x }  C_  y )
85, 7eqsstrd 3498 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  y ) )  ->  u  C_  y )
9 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  x  e.  X
)
10 simp-4r 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  U. Y  =  X )
119, 10eleqtrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  x  e.  U. Y )
12 eluni2 4220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. Y  <->  E. y  e.  Y  x  e.  y )
1311, 12sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  E. y  e.  Y  x  e.  y )
148, 13reximddv 2901 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C
)  /\  x  e.  X )  /\  u  =  { x } )  ->  E. y  e.  Y  u  C_  y )
152abeq2i 2549 . . . . . 6  |-  ( u  e.  C  <->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1615biimpi 197 . . . . 5  |-  ( u  e.  C  ->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1716adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C )  ->  E. x  e.  X  u  =  { x } )
1814, 17r19.29a 2970 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  /\  u  e.  C )  ->  E. y  e.  Y  u  C_  y
)
1918ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y )
20 pwexg 4605 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
21 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  u  =  {
x } )
22 snelpwi 4663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  e.  ~P X
)
2322ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  { x }  e.  ~P X )
2421, 23eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  C  /\  x  e.  X
)  /\  u  =  { x } )  ->  u  e.  ~P X )
2524, 16r19.29a 2970 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  C  ->  u  e.  ~P X )
2625ssriv 3468 . . . . . 6  |-  C  C_  ~P X
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  C  C_ 
~P X )
2820, 27ssexd 4568 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  C  e.  _V )
2928adantr 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C  e.  _V )
30 eqid 2422 . . . 4  |-  U. C  =  U. C
31 eqid 2422 . . . 4  |-  U. Y  =  U. Y
3230, 31isref 20511 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C Ref Y  <->  ( U. Y  =  U. C  /\  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y ) ) )
3329, 32syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  ( C Ref Y 
<->  ( U. Y  = 
U. C  /\  A. u  e.  C  E. y  e.  Y  u  C_  y ) ) )
344, 19, 33mpbir2and 930 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  U. Y  =  X )  ->  C Ref Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   Refcref 20504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-xp 4856  df-rel 4857  df-ref 20507
This theorem is referenced by:  dispcmp  28682
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