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Theorem dislly 19106
Description: The discrete space  ~P X is locally  A if and only if every singleton space has property 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dislly  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, V    x, X

Proof of Theorem dislly
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P X  e. Locally  A )
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
3 vex 2980 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43snelpw 4543 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  <->  { x }  e.  ~P X
)
52, 4sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ~P X
)
6 ssnid 3911 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x }
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { x } )
8 llyi 19083 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e. Locally  A  /\  { x }  e.  ~P X  /\  x  e.  {
x } )  ->  E. y  e.  ~P  X ( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
91, 5, 7, 8syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  X ( y 
C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
10 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  C_  { x } )
11 simpr2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
1211snssd 4023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
1310, 12eqssd 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  =  { x } )
1413oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
15 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
16 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  X )
1716snssd 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
18 restdis 18787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  { x }  C_  X
)  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
2014, 19eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ~P { x } )
21 simpr3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  e.  A
)
2220, 21eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
2322ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
2423rexlimdvw 2849 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  ~P  X
( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
259, 24mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P { x }  e.  A )
2625ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  ->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
27 distop 18605 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  Top )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e.  Top )
29 elpwi 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  y  C_  X )
31 ssralv 3421 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
3433snssd 4023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
3530adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
y  C_  X )
3634, 35sstrd 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
37 snex 4538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x }  e.  _V
3837elpw 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P X 
<->  { x }  C_  X )
3936, 38sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
4037elpw 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P y 
<->  { x }  C_  y )
4134, 40sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P y )
4239, 41elind 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) )
43 snidg 3908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  { x } )
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  { x } )
45 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
4645, 36, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
4846, 47eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  e.  A
)
49 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  { x }
) )
50 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ~P Xt  u )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
5150eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( ~P Xt  u
)  e.  A  <->  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) )
5249, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
)  <->  ( x  e. 
{ x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) ) )
5352rspcev 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y )  /\  (
x  e.  { x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A
) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5442, 44, 48, 53syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5554expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  x  e.  y )  ->  ( ~P { x }  e.  A  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5655ralimdva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5732, 56syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5857imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5958an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  /\  y  e.  ~P X )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
6059ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
61 islly 19077 . . 3  |-  ( ~P X  e. Locally  A  <->  ( ~P X  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
6228, 60, 61sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e. Locally  A )
6326, 62impbida 828 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {csn 3882  (class class class)co 6096   ↾t crest 14364   Topctop 18503  Locally clly 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-lly 19075
This theorem is referenced by:  disllycmp  19107  dis1stc  19108
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