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Theorem dislly 20499
Description: The discrete space  ~P X is locally  A if and only if every singleton space has property 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dislly  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, V    x, X

Proof of Theorem dislly
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P X  e. Locally  A )
2 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
3 vex 3084 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43snelpw 4664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  <->  { x }  e.  ~P X
)
52, 4sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ~P X
)
6 ssnid 4025 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x }
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { x } )
8 llyi 20476 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e. Locally  A  /\  { x }  e.  ~P X  /\  x  e.  {
x } )  ->  E. y  e.  ~P  X ( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
91, 5, 7, 8syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  X ( y 
C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
10 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  C_  { x } )
11 simpr2 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
1211snssd 4142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
1310, 12eqssd 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  =  { x } )
1413oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
15 simplll 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
16 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  X )
1716snssd 4142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
18 restdis 20181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  { x }  C_  X
)  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
1915, 17, 18syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
2014, 19eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ~P { x } )
21 simpr3 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  e.  A
)
2220, 21eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
2322ex 435 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
2423rexlimdvw 2920 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  ~P  X
( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
259, 24mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P { x }  e.  A )
2625ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  ->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
27 distop 19998 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  Top )
2827adantr 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e.  Top )
29 elpwi 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3029adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  y  C_  X )
31 ssralv 3525 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
33 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
3433snssd 4142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
3530adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
y  C_  X )
3634, 35sstrd 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
37 snex 4659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x }  e.  _V
3837elpw 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P X 
<->  { x }  C_  X )
3936, 38sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
4037elpw 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P y 
<->  { x }  C_  y )
4134, 40sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P y )
4239, 41elind 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) )
43 snidg 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  { x } )
4443ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  { x } )
45 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
4645, 36, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
47 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
4846, 47eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  e.  A
)
49 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  { x }
) )
50 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ~P Xt  u )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
5150eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( ~P Xt  u
)  e.  A  <->  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) )
5249, 51anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
)  <->  ( x  e. 
{ x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) ) )
5352rspcev 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y )  /\  (
x  e.  { x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A
) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5442, 44, 48, 53syl12anc 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5554expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  x  e.  y )  ->  ( ~P { x }  e.  A  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5655ralimdva 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5732, 56syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5857imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5958an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  /\  y  e.  ~P X )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
6059ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
61 islly 20470 . . 3  |-  ( ~P X  e. Locally  A  <->  ( ~P X  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
6228, 60, 61sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e. Locally  A )
6326, 62impbida 840 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996  (class class class)co 6302   ↾t crest 15307   Topctop 19904  Locally clly 20466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7928  df-rest 15309  df-topgen 15330  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-lly 20468
This theorem is referenced by:  disllycmp  20500  dis1stc  20501
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