Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dislly Structured version   Unicode version

Theorem dislly 20499
 Description: The discrete space is locally if and only if every singleton space has property . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dislly Locally
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem dislly
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . . 5 Locally Locally
2 simpr 462 . . . . . 6 Locally
3 vex 3084 . . . . . . 7
43snelpw 4664 . . . . . 6
52, 4sylib 199 . . . . 5 Locally
6 ssnid 4025 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5 Locally
8 llyi 20476 . . . . 5 Locally t
91, 5, 7, 8syl3anc 1264 . . . 4 Locally t
10 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10 Locally t
11 simpr2 1012 . . . . . . . . . . 11 Locally t
1211snssd 4142 . . . . . . . . . 10 Locally t
1310, 12eqssd 3481 . . . . . . . . 9 Locally t
1413oveq2d 6318 . . . . . . . 8 Locally t t t
15 simplll 766 . . . . . . . . 9 Locally t
16 simplr 760 . . . . . . . . . 10 Locally t
1716snssd 4142 . . . . . . . . 9 Locally t
18 restdis 20181 . . . . . . . . 9 t
1915, 17, 18syl2anc 665 . . . . . . . 8 Locally t t
2014, 19eqtrd 2463 . . . . . . 7 Locally t t
21 simpr3 1013 . . . . . . 7 Locally t t
2220, 21eqeltrrd 2511 . . . . . 6 Locally t
2322ex 435 . . . . 5 Locally t
2423rexlimdvw 2920 . . . 4 Locally t
259, 24mpd 15 . . 3 Locally
2625ralrimiva 2839 . 2 Locally
27 distop 19998 . . . 4
29 elpwi 3988 . . . . . . . . 9
3029adantl 467 . . . . . . . 8
31 ssralv 3525 . . . . . . . 8
3230, 31syl 17 . . . . . . 7
33 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14
3433snssd 4142 . . . . . . . . . . . . 13
3530adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35sstrd 3474 . . . . . . . . . . . 12
37 snex 4659 . . . . . . . . . . . . 13
3837elpw 3985 . . . . . . . . . . . 12
3936, 38sylibr 215 . . . . . . . . . . 11
4037elpw 3985 . . . . . . . . . . . 12
4134, 40sylibr 215 . . . . . . . . . . 11
4239, 41elind 3650 . . . . . . . . . 10
43 snidg 4022 . . . . . . . . . . 11
4443ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10
45 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12
4645, 36, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 t
47 simprr 764 . . . . . . . . . . 11
4846, 47eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10 t
49 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . 12
50 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . 13 t t
5150eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12 t t
5249, 51anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11 t t
5352rspcev 3182 . . . . . . . . . 10 t t
5442, 44, 48, 53syl12anc 1262 . . . . . . . . 9 t
5554expr 618 . . . . . . . 8 t
5655ralimdva 2833 . . . . . . 7 t
5732, 56syld 45 . . . . . 6 t
5857imp 430 . . . . 5 t
5958an32s 811 . . . 4 t
6059ralrimiva 2839 . . 3 t
61 islly 20470 . . 3 Locally t
6228, 60, 61sylanbrc 668 . 2 Locally
6326, 62impbida 840 1 Locally
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776   cin 3435   wss 3436  cpw 3979  csn 3996  (class class class)co 6302   ↾t crest 15307  ctop 19904  Locally clly 20466 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7928  df-rest 15309  df-topgen 15330  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-lly 20468 This theorem is referenced by:  disllycmp  20500  dis1stc  20501
 Copyright terms: Public domain W3C validator