MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disjxwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem disjxwwlkn 25162
Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
wwlkextprop.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
disjxwwlkn  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    y, E    x, N, y, w    y, P    y, X    y, Y    x, M, y    x, V, y    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    E( x)    M( w)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem disjxwwlkn
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
21rgenw 2765 . . . . 5  |-  A. x  e.  X  ( (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
3 ss2rab 3515 . . . . 5  |-  ( { x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  <->  A. x  e.  X  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E )  ->  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y ) )
42, 3mpbir 209 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
5 wwlkextprop.x . . . . . 6  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
6 wwlksswwlkn 25120 . . . . . . 7  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_  ( V WWalks  E )
7 wwlksswrd 25105 . . . . . . 7  |-  ( V WWalks  E )  C_ Word  V
86, 7sstri 3451 . . . . . 6  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_ Word  V
95, 8eqsstri 3472 . . . . 5  |-  X  C_ Word  V
10 rabss2 3522 . . . . 5  |-  ( X 
C_ Word  V  ->  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y } )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
124, 11sstri 3451 . . 3  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
1312rgenw 2765 . 2  |-  A. y  e.  Y  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
14 disjxwrd 12736 . 2  |- Disj  y  e.  Y  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
15 disjss2 4369 . 2  |-  ( A. y  e.  Y  {
x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  ->  (Disj  y  e.  Y  {
x  e. Word  V  | 
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  -> Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E ) } ) )
1613, 14, 15mp2 9 1  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    C_ wss 3414   {cpr 3974   <.cop 3978  Disj wdisj 4366   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525  Word cword 12583   lastS clsw 12584   substr csubstr 12587   WWalks cwwlk 25094   WWalksN cwwlkn 25095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-wwlk 25096  df-wwlkn 25097
This theorem is referenced by:  hashwwlkext  25163
  Copyright terms: Public domain W3C validator