MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disjxwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem disjxwwlkn 24407
Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
wwlkextprop.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
disjxwwlkn  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    y, E    x, N, y, w    y, P    y, X    y, Y    x, M, y    x, V, y    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    E( x)    M( w)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem disjxwwlkn
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
21rgenw 2818 . . . . 5  |-  A. x  e.  X  ( (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
3 ss2rab 3569 . . . . 5  |-  ( { x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  <->  A. x  e.  X  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E )  ->  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y ) )
42, 3mpbir 209 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
5 wwlkextprop.x . . . . . 6  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
6 wwlksswwlkn 24365 . . . . . . 7  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_  ( V WWalks  E )
7 wwlksswrd 24350 . . . . . . 7  |-  ( V WWalks  E )  C_ Word  V
86, 7sstri 3506 . . . . . 6  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_ Word  V
95, 8eqsstri 3527 . . . . 5  |-  X  C_ Word  V
10 rabss2 3576 . . . . 5  |-  ( X 
C_ Word  V  ->  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y } )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
124, 11sstri 3506 . . 3  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
1312rgenw 2818 . 2  |-  A. y  e.  Y  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
14 disjxwrd 12630 . 2  |- Disj  y  e.  Y  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
15 disjss2 4413 . 2  |-  ( A. y  e.  Y  {
x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  ->  (Disj  y  e.  Y  {
x  e. Word  V  | 
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  -> Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E ) } ) )
1613, 14, 15mp2 9 1  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3469   {cpr 4022   <.cop 4026  Disj wdisj 4410   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484  Word cword 12487   lastS clsw 12488   substr csubstr 12491   WWalks cwwlk 24339   WWalksN cwwlkn 24340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-word 12495  df-wwlk 24341  df-wwlkn 24342
This theorem is referenced by:  hashwwlkext  24408
  Copyright terms: Public domain W3C validator