Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjxwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem disjxwwlkn 30699
Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
hashrabrex.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
hashrabrex.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
disjxwwlkn  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    y, E    x, N, y, w    y, P    y, X    y, Y    x, M, y    x, V, y    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    E( x)    M( w)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem disjxwwlkn
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
21rgenw 2888 . . . . 5  |-  A. x  e.  X  ( (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E )  ->  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y )
3 ss2rab 3523 . . . . 5  |-  ( { x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  <->  A. x  e.  X  ( ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E )  ->  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y ) )
42, 3mpbir 209 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
5 hashrabrex.x . . . . . 6  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
6 wwlksswwlkn 30472 . . . . . . 7  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_  ( V WWalks  E )
7 wwlksswrd 30457 . . . . . . 7  |-  ( V WWalks  E )  C_ Word  V
86, 7sstri 3460 . . . . . 6  |-  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  C_ Word  V
95, 8eqsstri 3481 . . . . 5  |-  X  C_ Word  V
10 rabss2 3530 . . . . 5  |-  ( X 
C_ Word  V  ->  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y } )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y } 
C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
124, 11sstri 3460 . . 3  |-  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
1312rgenw 2888 . 2  |-  A. y  e.  Y  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }
14 disjxwrd 12448 . 2  |- Disj  y  e.  Y  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <.
0 ,  M >. )  =  y }
15 disjss2 4360 . 2  |-  ( A. y  e.  Y  {
x  e.  X  | 
( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  C_  { x  e. Word  V  |  ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  ->  (Disj  y  e.  Y  {
x  e. Word  V  | 
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y }  -> Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E ) } ) )
1613, 14, 15mp2 9 1  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   {crab 2797    C_ wss 3423   {cpr 3974   <.cop 3978  Disj wdisj 4357   ran crn 4936   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383  Word cword 12320   lastS clsw 12321   substr csubstr 12324   WWalks cwwlk 30446   WWalksN cwwlkn 30447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-disj 4358  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-word 12328  df-wwlk 30448  df-wwlkn 30449
This theorem is referenced by:  hashwwlkext  30700
  Copyright terms: Public domain W3C validator