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Theorem disjxun 4287
Description: The union of two disjoint collections. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
disjxun.1  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
disjxun  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem disjxun
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjel 3722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
2 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
32notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  y  e.  B ) )
41, 3syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  =  y  ->  -.  y  e.  B
) )
54con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  B  ->  -.  x  =  y
) )
65impr 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  =  y )
7 biorf 405 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( C  i^i  D )  =  (/)  <->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( C  i^i  D )  =  (/) 
<->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
98bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
1092ralbidva 2753 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
1110anbi2d 698 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
12 ralunb 3534 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
1312ralbii 2737 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
14 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ z A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )
15 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( A  u.  B
)
16 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x  z  =  w
17 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ C
18 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
1917, 18nfin 3554 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )
2019nfeq1 2586 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)
2116, 20nfor 1872 . . . . . . 7  |-  F/ x
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )
2215, 21nfral 2767 . . . . . 6  |-  F/ x A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )
23 equequ2 1742 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
24 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
25 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x D
26 disjxun.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
2724, 25, 26csbhypf 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  [_ w  /  x ]_ C  =  D )
2827ineq2d 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  ( C  i^i  D ) )
2928eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
3023, 29orbi12d 704 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
3130cbvralv 2945 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
32 equequ1 1741 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  w  <->  z  =  w ) )
33 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  C  =  [_ z  /  x ]_ C )
3433ineq1d 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
3534eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
3632, 35orbi12d 704 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3736ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  ( A  u.  B )
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3831, 37syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  B )
( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3914, 22, 38cbvral 2941 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
40 r19.26 2847 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
4113, 39, 403bitr3i 275 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
4226disjor 4273 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  A  C  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
4342anbi1i 690 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
4411, 41, 433bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
45 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )
46 equequ2 1742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
z  =  x  <->  z  =  w ) )
47 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
4847ineq2d 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
4948eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
5046, 49orbi12d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
5145, 21, 50cbvral 2941 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
52 equequ1 1741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  x  <->  y  =  x ) )
53 equcom 1737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
5452, 53syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  x  <->  x  =  y ) )
5524, 25, 26csbhypf 3304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  [_ z  /  x ]_ C  =  D )
5655ineq1d 3548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( D  i^i  C ) )
57 incom 3540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  C )  =  ( C  i^i  D
)
5856, 57syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( C  i^i  D ) )
5958eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6054, 59orbi12d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
6160ralbidv 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  A  ( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
6251, 61syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
6362cbvralv 2945 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
64 ralcom 2879 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6563, 64bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6665, 10syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6766anbi1d 699 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) ) )
68 ralunb 3534 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
6968ralbii 2737 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. z  e.  B  ( A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
70 r19.26 2847 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  ( A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7169, 70bitri 249 . . . 4  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
72 disjors 4275 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  B  C  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
7372anbi2ci 691 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7467, 71, 733bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
7544, 74anbi12d 705 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) ) )
76 disjors 4275 . . 3  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  A. z  e.  ( A  u.  B
) A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
77 ralunb 3534 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( A  u.  B ) A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7876, 77bitri 249 . 2  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
79 df-3an 962 . . 3  |-  ( (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
80 anandir 820 . . 3  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) 
<->  ( (Disj  x  e.  A  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
8179, 80bitri 249 . 2  |-  ( (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
8275, 78, 813bitr4g 288 1  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  (Disj  x  e.  A  C  /\ Disj  x  e.  B  C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   [_csb 3285    u. cun 3323    i^i cin 3324   (/)c0 3634  Disj wdisj 4259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-nul 3635  df-disj 4260
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