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Theorem disjunsn 28040
Description: Append an element to a disjoint collection. Similar to ralunsn 4201, gsumunsn 17520, etc. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
disjunsn.s  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
disjunsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjunsn
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjors 4403 . . . . . 6  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2 eqeq1 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
i  =  j  <->  M  =  j ) )
3 csbeq1 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
43ineq1d 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
54eqeq1d 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
62, 5orbi12d 714 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
76ralbidv 2862 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
87ralunsn 4201 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
91, 8syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
10 eqeq2 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
i  =  j  <->  i  =  M ) )
11 csbeq1 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  M  ->  [_ j  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
1211ineq2d 3661 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1312eqeq1d 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
1410, 13orbi12d 714 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
1514ralunsn 4201 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
1615ralbidv 2862 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
17 eqeq2 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  ( M  =  j  <->  M  =  M ) )
1811ineq2d 3661 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1918eqeq1d 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2017, 19orbi12d 714 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2120ralunsn 4201 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
22 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  M  =  M
2322orci 391 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )
2423biantru 507 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2521, 24syl6bbr 266 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2616, 25anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
279, 26bitrd 256 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
28 r19.26 2953 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
29 disjors 4403 . . . . . . 7  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3029anbi1i 699 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3128, 30bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3231anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3327, 32syl6bb 264 . . 3  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
3433adantr 466 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
35 orcom 388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3635ralbii 2854 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
37 r19.30 2971 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
38 risset 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  A  <->  E. i  e.  A  i  =  M )
39 biorf 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. i  e.  A  i  =  M  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4038, 39sylnbi 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4140adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
42 orcom 388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
4341, 42syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. i  e.  A  i  =  M )
) )
4437, 43syl5ibr 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4536, 44syl5bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
46 olc 385 . . . . . . . 8  |-  ( (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4746ralimi 2816 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4845, 47impbid1 206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
49 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( B  i^i  C
)  =  (/)
50 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ i  /  x ]_ B
51 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
5250, 51nfin 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )
5352nfeq1 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
54 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  x ]_ B )
5554ineq1d 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C
) )
5655eqeq1d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
5749, 53, 56cbvral 3049 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
59 ss0b 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
60 iunss 4334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
61 iunin1 4358 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )
6261eqeq1i 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) )
6359, 60, 623bitr3ri 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
64 ss0b 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  C ) 
C_  (/)  <->  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6564ralbii 2854 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6663, 65bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6766a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) ) )
68 nfcvd 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ x C )
69 disjunsn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
7068, 69csbiegf 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  x ]_ B  =  C )
7170ineq2d 3661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C ) )
7271eqeq1d 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7372ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7458, 67, 733bitr4d 288 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7574adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7648, 75bitr4d 259 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
7776anbi2d 708 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
78 orcom 388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7978ralbii 2854 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
80 r19.30 2971 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
)
81 risset 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  j  =  M )
82 eqcom 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  M  <->  M  =  j )
8382rexbii 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  A  j  =  M  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
8481, 83bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
85 biorf 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. j  e.  A  M  =  j  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8684, 85sylnbi 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8786adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
88 orcom 388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. j  e.  A  M  =  j ) )
8987, 88syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
) )
9080, 89syl5ibr 224 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9179, 90syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
92 olc 385 . . . . . . 7  |-  ( (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9392ralimi 2816 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9491, 93impbid1 206 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
95 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( B  i^i  C
)  =  (/)
96 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ j  /  x ]_ B
9796, 51nfin 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )
9897nfeq1 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
99 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  B  =  [_ j  /  x ]_ B )
10099ineq1d 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C
) )
101100eqeq1d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  j  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
10295, 98, 101cbvral 3049 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
104 incom 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )
105104eqeq1i 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
106105ralbii 2854 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
107103, 106syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
10870ineq1d 3660 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
109108eqeq1d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
110109ralbidv 2862 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
111107, 67, 1103bitr4d 288 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
112111adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
11394, 112bitr4d 259 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
11477, 113anbi12d 715 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
115 anass 653 . . . 4  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) ) ) )
116 anidm 648 . . . . 5  |-  ( ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )
117116anbi2i 698 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
118115, 117bitri 252 . . 3  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
119114, 118syl6bb 264 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
12034, 119bitrd 256 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   [_csb 3392    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   {csn 3993   U_ciun 4293  Disj wdisj 4388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-sn 3994  df-iun 4295  df-disj 4389
This theorem is referenced by:  disjun0  28041  disjiunel  28042
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