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Theorem disjunsn 28197
Description: Append an element to a disjoint collection. Similar to ralunsn 4185, gsumunsn 17585, etc. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
disjunsn.s  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
disjunsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjunsn
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjors 4387 . . . . . 6  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2 eqeq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
i  =  j  <->  M  =  j ) )
3 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
43ineq1d 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
54eqeq1d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
62, 5orbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
76ralbidv 2826 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
87ralunsn 4185 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
91, 8syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
10 eqeq2 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
i  =  j  <->  i  =  M ) )
11 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  M  ->  [_ j  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
1211ineq2d 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1312eqeq1d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
1410, 13orbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
1514ralunsn 4185 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
1615ralbidv 2826 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
17 eqeq2 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  ( M  =  j  <->  M  =  M ) )
1811ineq2d 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1918eqeq1d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2017, 19orbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2120ralunsn 4185 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
22 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  M  =  M
2322orci 392 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )
2423biantru 508 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2521, 24syl6bbr 267 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2616, 25anbi12d 716 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
279, 26bitrd 257 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
28 r19.26 2916 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
29 disjors 4387 . . . . . . 7  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3029anbi1i 700 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3128, 30bitr4i 256 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3231anbi1i 700 . . . 4  |-  ( ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3327, 32syl6bb 265 . . 3  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
3433adantr 467 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
35 orcom 389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3635ralbii 2818 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
37 r19.30 2934 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
38 risset 2914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  A  <->  E. i  e.  A  i  =  M )
39 biorf 407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. i  e.  A  i  =  M  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4038, 39sylnbi 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4140adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
42 orcom 389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
4341, 42syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. i  e.  A  i  =  M )
) )
4437, 43syl5ibr 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4536, 44syl5bir 222 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
46 olc 386 . . . . . . . 8  |-  ( (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4746ralimi 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4845, 47impbid1 207 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
49 nfv 1760 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( B  i^i  C
)  =  (/)
50 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ i  /  x ]_ B
51 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
5250, 51nfin 3638 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )
5352nfeq1 2604 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
54 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  x ]_ B )
5554ineq1d 3632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C
) )
5655eqeq1d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
5749, 53, 56cbvral 3014 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
59 ss0b 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
60 iunss 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
61 iunin1 4342 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )
6261eqeq1i 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) )
6359, 60, 623bitr3ri 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
64 ss0b 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  C ) 
C_  (/)  <->  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6564ralbii 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6663, 65bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
6766a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) ) )
68 nfcvd 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ x C )
69 disjunsn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
7068, 69csbiegf 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  x ]_ B  =  C )
7170ineq2d 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C ) )
7271eqeq1d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7372ralbidv 2826 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7458, 67, 733bitr4d 289 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7574adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7648, 75bitr4d 260 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
7776anbi2d 709 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
78 orcom 389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7978ralbii 2818 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
80 r19.30 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
)
81 risset 2914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  j  =  M )
82 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  M  <->  M  =  j )
8382rexbii 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  A  j  =  M  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
8481, 83bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
85 biorf 407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. j  e.  A  M  =  j  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8684, 85sylnbi 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8786adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
88 orcom 389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. j  e.  A  M  =  j ) )
8987, 88syl6bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
) )
9080, 89syl5ibr 225 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9179, 90syl5bir 222 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
92 olc 386 . . . . . . 7  |-  ( (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9392ralimi 2780 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9491, 93impbid1 207 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
95 nfv 1760 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( B  i^i  C
)  =  (/)
96 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ j  /  x ]_ B
9796, 51nfin 3638 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )
9897nfeq1 2604 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
99 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  B  =  [_ j  /  x ]_ B )
10099ineq1d 3632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C
) )
101100eqeq1d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  j  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
10295, 98, 101cbvral 3014 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
104 incom 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )
105104eqeq1i 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
106105ralbii 2818 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
107103, 106syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
10870ineq1d 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
109108eqeq1d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
110109ralbidv 2826 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
111107, 67, 1103bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
112111adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
11394, 112bitr4d 260 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
11477, 113anbi12d 716 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
115 anass 654 . . . 4  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) ) ) )
116 anidm 649 . . . . 5  |-  ( ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )
117116anbi2i 699 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
118115, 117bitri 253 . . 3  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
119114, 118syl6bb 265 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
12034, 119bitrd 257 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   [_csb 3362    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-sn 3968  df-iun 4279  df-disj 4373
This theorem is referenced by:  disjun0  28198  disjiunel  28199
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