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Theorem disjunsn 25941
Description: Append an element to a disjoint collection. Similar to ralunsn 4084, gsumunsn 16458, etc. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
disjunsn.s  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
disjunsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjunsn
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjors 4283 . . . . . 6  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
i  =  j  <->  M  =  j ) )
3 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  [_ i  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
43ineq1d 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
54eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
62, 5orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
76ralbidv 2740 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
87ralunsn 4084 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  ( A  u.  { M } ) A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
91, 8syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
10 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
i  =  j  <->  i  =  M ) )
11 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  M  ->  [_ j  /  x ]_ B  = 
[_ M  /  x ]_ B )
1211ineq2d 3557 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1312eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
1410, 13orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
1514ralunsn 4084 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
1615ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
17 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  ( M  =  j  <->  M  =  M ) )
1811ineq2d 3557 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B ) )
1918eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
2017, 19orbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (
( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2120ralunsn 4084 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  M  =  M
2322orci 390 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )
2423biantru 505 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( M  =  M  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2521, 24syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
2616, 25anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  (
( A. i  e.  A  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. j  e.  ( A  u.  { M } ) ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
279, 26bitrd 253 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
28 r19.26 2854 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
29 disjors 4283 . . . . . . 7  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3029anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3128, 30bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3231anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( A. i  e.  A  ( A. j  e.  A  ( i  =  j  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
3327, 32syl6bb 261 . . 3  |-  ( M  e.  V  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <-> 
( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
3433adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) ) )
35 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
3635ralbii 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  <->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
37 r19.30 2870 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
38 risset 2768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  A  <->  E. i  e.  A  i  =  M )
3938notbii 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  M  e.  A  <->  -.  E. i  e.  A  i  =  M )
40 biorf 405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. i  e.  A  i  =  M  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4139, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
43 orcom 387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. i  e.  A  i  =  M  \/  A. i  e.  A  (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. i  e.  A  i  =  M ) )
4442, 43syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. i  e.  A  i  =  M )
) )
4537, 44syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  i  =  M )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4636, 45syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4746imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  ->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )
48 olc 384 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
4948ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
5049adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  /\  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
5147, 50impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
52 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( B  i^i  C
)  =  (/)
53 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
i
5453nfcsb1 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ i  /  x ]_ B
55 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x C
5654, 55nfin 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )
57 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x (/)
5856, 57nfeq 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
59 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  x ]_ B )
6059ineq1d 3556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C
) )
6160eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
6252, 58, 61cbvral 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
6362a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
64 ss0b 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
65 iunss 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
66 iunin1 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )
6766eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) )
6864, 65, 673bitr3ri 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C ) 
C_  (/) )
69 ss0b 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  C ) 
C_  (/)  <->  ( B  i^i  C )  =  (/) )
7069ralbii 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  C_  (/)  <->  A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
7168, 70bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) )
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) ) )
73 nfcvd 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ x C )
74 disjunsn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  B  =  C )
7573, 74csbiegf 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  x ]_ B  =  C )
7675ineq2d 3557 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C ) )
7776eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7877ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
7963, 72, 783bitr4d 285 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8079adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. i  e.  A  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8151, 80bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. i  e.  A  (
i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
8281anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
83 orcom 387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8483ralbii 2744 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  <->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
85 r19.30 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
)
86 risset 2768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  j  =  M )
87 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  M  <->  M  =  j )
8887rexbii 2745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  A  j  =  M  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
8986, 88bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  A  <->  E. j  e.  A  M  =  j )
9089notbii 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  M  e.  A  <->  -.  E. j  e.  A  M  =  j )
91 biorf 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. j  e.  A  M  =  j  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
9290, 91sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  e.  A  -> 
( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
94 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. j  e.  A  M  =  j  \/  A. j  e.  A  (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  E. j  e.  A  M  =  j ) )
9593, 94syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/ 
E. j  e.  A  M  =  j )
) )
9685, 95syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  M  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9784, 96syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
9897imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  ->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
99 olc 384 . . . . . . . 8  |-  ( (
[_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
10099ralimi 2796 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
101100adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  /\  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  ->  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
10298, 101impbida 828 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
103 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( B  i^i  C
)  =  (/)
104 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
j
105104nfcsb1 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ j  /  x ]_ B
106105, 55nfin 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )
107106, 57nfeq 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)
108 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  B  =  [_ j  /  x ]_ B )
109108ineq1d 3556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C
) )
110109eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  j  ->  (
( B  i^i  C
)  =  (/)  <->  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
111103, 107, 110cbvral 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) )
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/) ) )
113 incom 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )
114113eqeq1i 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
115114ralbii 2744 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  A  ( [_ j  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )
116112, 115syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
11775ineq1d 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B ) )
118117eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  (
( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
119118ralbidv 2740 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  ( A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  ( C  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
120116, 72, 1193bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( M  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
121120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) 
<-> 
A. j  e.  A  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
122102, 121bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
12382, 122anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
124 anass 649 . . . 4  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/) ) ) )
125 anidm 644 . . . . 5  |-  ( ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C
)  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )
126125anbi2i 694 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/)  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
127124, 126bitri 249 . . 3  |-  ( ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) )
128123, 127syl6bb 261 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  ( (
(Disj  x  e.  A  B  /\  A. i  e.  A  ( i  =  M  \/  ( [_ i  /  x ]_ B  i^i  [_ M  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  /\  A. j  e.  A  ( M  =  j  \/  ( [_ M  /  x ]_ B  i^i  [_ j  /  x ]_ B )  =  (/) ) )  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
12934, 128bitrd 253 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  -.  M  e.  A
)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  { M } ) B  <->  (Disj  x  e.  A  B  /\  ( U_ x  e.  A  B  i^i  C )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   [_csb 3293    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   U_ciun 4176  Disj wdisj 4267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-sn 3883  df-iun 4178  df-disj 4268
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