Theorem disjssunOLD 2933

Description: Subset relation for disjoint classes.

Assertion

Ref	Expression
disjssunOLD	|- ((A i^i B) = (/) -> (A C_ (B u. C) <-> A C_ C))

Proof of Theorem disjssunOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 2915	. . . . . . 7 |- ((A i^i B) = (/) <-> A.x(x e. A -> -. x e. B))
2		ax-4 1319	. . . . . . 7 |- (A.x(x e. A -> -. x e. B) -> (x e. A -> -. x e. B))
3	1, 2	sylbi 216	. . . . . 6 |- ((A i^i B) = (/) -> (x e. A -> -. x e. B))
4	3	imp 377	. . . . 5 |- (((A i^i B) = (/) /\ x e. A) -> -. x e. B)
5		biorf 807	. . . . 5 |- (-. x e. B -> (x e. C <-> (x e. B \/ x e. C)))
6	4, 5	syl 12	. . . 4 |- (((A i^i B) = (/) /\ x e. A) -> (x e. C <-> (x e. B \/ x e. C)))
7		elun 2741	. . . 4 |- (x e. (B u. C) <-> (x e. B \/ x e. C))
8	6, 7	syl6rbbr 598	. . 3 |- (((A i^i B) = (/) /\ x e. A) -> (x e. (B u. C) <-> x e. C))
9	8	ralbidva 2119	. 2 |- ((A i^i B) = (/) -> (A.x e. A x e. (B u. C) <-> A.x e. A x e. C))
10		dfss3 2611	. 2 |- (A C_ (B u. C) <-> A.x e. A x e. (B u. C))
11		dfss3 2611	. 2 |- (A C_ C <-> A.x e. A x e. C)
12	9, 10, 11	3bitr4g 614	1 |- ((A i^i B) = (/) -> (A C_ (B u. C) <-> A C_ C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876

Copyright terms: Public domain