MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disjiun Structured version   Unicode version

Theorem disjiun 4385
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 4366 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )
2 elin 3642 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B
) )
3 eliun 4278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  C  B  <->  E. x  e.  C  y  e.  B )
4 eliun 4278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  D  B  <->  E. x  e.  D  y  e.  B )
53, 4anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B )  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )
62, 5bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
) )
7 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  y  e.  B
87rmo2 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  B  <->  E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
9 an4 820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
) )  <->  ( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) ) )
10 ssralv 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) ) )
1110impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  C  C_  A
)  ->  A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
12 r19.29 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  E. x  e.  C  ( (
y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
) )
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  x  =  z )
1514eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  e.  C  <->  z  e.  C
) )
1615biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  C  ->  (
( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B )  ->  z  e.  C ) )
1716rexlimiv 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  C  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  z  e.  C )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  z  e.  C )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  C  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  ->  z  e.  C ) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  C  C_  A
)  ->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  ->  z  e.  C ) )
2120expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  z  e.  C ) )
22 ssralv 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) ) )
2322impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  D  C_  A
)  ->  A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
24 r19.29 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  E. x  e.  D  ( (
y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
) )
2514eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  e.  D  <->  z  e.  D
) )
2625biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B )  ->  z  e.  D ) )
2726rexlimiv 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  D  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  z  e.  D )
2824, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  z  e.  D )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  D  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( E. x  e.  D  y  e.  B  ->  z  e.  D ) )
3023, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  D  C_  A
)  ->  ( E. x  e.  D  y  e.  B  ->  z  e.  D ) )
3130expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  z  e.  D ) )
3221, 31anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( ( C 
C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( z  e.  C  /\  z  e.  D
) ) )
33 inelcm 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  C  /\  z  e.  D )  ->  ( C  i^i  D
)  =/=  (/) )
3432, 33syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( ( C 
C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
3534exlimiv 1689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
369, 35syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( ( C  C_  A  /\  D  C_  A
)  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
3736expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
388, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
406, 39syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) )
4140necon2bd 2664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
4241impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  -> 
( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
43423impa 1183 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
4443alimdv 1676 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) ) )
451, 44syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A  B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) ) )
4645impcom 430 . 2  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) )
47 eq0 3755 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) )
4846, 47sylibr 212 1  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   E*wrmo 2799    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   U_ciun 4274  Disj wdisj 4365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rmo 2804  df-v 3074  df-dif 3434  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-iun 4276  df-disj 4366
This theorem is referenced by:  disjiunOLD  4386  disjxiun  4392  fsumiun  13397  uniioombllem4  21194
  Copyright terms: Public domain W3C validator