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Theorem disjinfi 37324
Description: Only a finite number of disjoint sets can have a non empty intersection with a finite set  C (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
disjinfi.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
disjinfi.d  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
disjinfi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
disjinfi  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjinfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjinfi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 id 23 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  C  e.  Fin )
3 inss2 3684 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C
43a1i 11 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  C_  C
)
5 ssfi 7796 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  C_  C )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
62, 4, 5syl2anc 666 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
71, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin )
83a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C )
98, 1jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C  /\  C  e.  Fin )
)
10 ssexg 4568 . . . 4  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C  /\  C  e.  Fin )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  _V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  _V )
12 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eluni2 4221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
1413biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
15 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
16 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1716elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
1918biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
21 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x w
22 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2322nfrn 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x ran  ( x  e.  A  |->  B )
2421, 23nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )
25 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  y  e.  w
2624, 25nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )
27 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  w )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  w  =  B )
2927, 28eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  B )
3029ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  =  B  -> 
y  e.  B ) )
3130a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3326, 32reximdai 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  ( E. x  e.  A  w  =  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3420, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3534ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  ( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
) )
3736rexlimdv 2916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
)
3814, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3912, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
4039adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
41 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
42 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
4323nfuni 4223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x U. ran  ( x  e.  A  |->  B )
44 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
4543, 44nfin 3670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )
4642, 45nfel 2598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)
4741, 46nfan 1985 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
48 nfre1 2887 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )
493sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  C )
50 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
51 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
52 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  C )
5351, 52elind 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
54533adant2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
55 rspe 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
5650, 54, 55syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
57563exp 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  C  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5849, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
6047, 48, 59rexlimd 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
6140, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
62 disjinfi.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
63 disjors 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
6462, 63sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
65 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
66 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x A
67 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  z  =  w
68 nfcsb1v 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
6921nfcsb1 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
7068, 69nfin 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
71 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x (/)
7270, 71nfeq 2596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)
7367, 72nfor 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
7466, 73nfral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
75 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  w  <->  z  =  w ) )
76 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
7776ineq1d 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B ) )
7877eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7975, 78orbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8079ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8165, 74, 80cbvral 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8264, 81sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
83 rspa 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8482, 83sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8584adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
86 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  A )
87 rspa 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8887orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
8985, 86, 88syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
9089adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  -> 
( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
91 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  y  e.  B )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  B
)
93 sbsbc 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
94 sbcel2 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
95 csbin 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )
9695eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9793, 94, 963bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9897biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
99 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
101100adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B
)
10292, 101jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  B  /\  y  e. 
[_ w  /  x ]_ B ) )
103 inelcm 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  -> 
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =/=  (/) )
104103neneqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
106105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
107 pm2.53 375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w )  ->  ( -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  x  =  w ) )
10890, 106, 107sylc 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  x  =  w )
109108ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
110109ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
111110ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
112111adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
11361, 112jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
114 reu2 3260 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
115113, 114sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
116 riotacl2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  {
x  e.  A  | 
y  e.  ( B  i^i  C ) } )
117115, 116syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C
) } )
118 nfriota1 6272 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
119118nfcsb1 3411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B
120119, 44nfin 3670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )
12142, 120nfel 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
)
122 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  B  =  [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B )
123122ineq1d 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( B  i^i  C )  =  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
124123eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
125118, 66, 121, 124elrabf 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  <-> 
( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
126125biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
127126simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A )
128126simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
129 ne0i 3768 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
131127, 130jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
132120, 71nfne 2757 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
133123neeq1d 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/) 
<->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
134118, 66, 132, 133elrabf 3228 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
135131, 134sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
136117, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
137136ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
13869, 44nfin 3670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
139138, 71nfne 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
140 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
141140ineq1d 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
142141neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  <->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
14321, 66, 139, 142elrabf 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( w  e.  A  /\  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
144143simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
145 n0 3772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
146144, 145sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
147146adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
148 nfv 1752 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
149 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ph )
150143simplbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  w  e.  A )
151150adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  w  e.  A
)
152 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
153152adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
154 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  e.  A )
155 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A )
156 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x V
15769, 156nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ B  e.  V
158155, 157nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
)
159 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
160159anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  w  e.  A ) ) )
161140eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( B  e.  V  <->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) )
162160, 161imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) ) )
163 disjinfi.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
164158, 162, 163chvar 2068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
165164adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
166 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )
167166elrnmpt1 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  A  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( w  e.  A  |-> 
[_ w  /  x ]_ B ) )
168154, 165, 167syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B ) )
169 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
170140equcoms 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
171170eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  x  ->  [_ w  /  x ]_ B  =  B )
17269, 169, 171cbvmpt 4513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
173172rneqi 5078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B
)  =  ran  (
x  e.  A  |->  B )
174168, 173syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
175 elunii 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  [_ w  /  x ]_ B  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
176153, 174, 175syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  U. ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
177 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  C )
178177adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  C )
179176, 178elind 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
180 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w  y  e.  ( B  i^i  C )
18142, 138nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
182141eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
183180, 181, 182cbvriota 6275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
185 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
186154, 185jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
187 rspe 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
188187adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
189 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ph )
190 sbequ 2171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
191 sbsbc 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
193 sbcel2 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
194 csbin 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )
195 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  z  e. 
_V
196 csbconstg 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  x ]_ C  =  C )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  [_ z  /  x ]_ C  =  C
198197ineq2i 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
199194, 198eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
)
200199eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
201193, 200bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
203190, 192, 2023bitrd 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <-> 
y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
204203anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
205 eqeq2 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
x  =  w  <->  x  =  z ) )
206204, 205imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w )  <->  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
) )
207206cbvralv 3056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
208207ralbii 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
209 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
21068, 44nfin 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
21142, 210nfel 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ x  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
212181, 211nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
213 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  w  =  z
214212, 213nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
21566, 214nfral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
216182anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
217 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  z  <->  w  =  z ) )
218216, 217imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
219218ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
220209, 215, 219cbvral 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
221 biid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
222 sbsbc 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [. z  /  w ]. y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
223 sbcel2 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  w ]. y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
224 csbin 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )
225 csbco 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B
226 csbconstg 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  w ]_ C  =  C )
227195, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ C  =  C
228225, 227ineq12i 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
229 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
230224, 228, 2293eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
231230eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
232222, 223, 2313bitrri 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
233232anbi2i 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
234233imbi1i 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
235234ralbii 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
236235ralbii 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
237221, 236bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
238208, 220, 2373bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
239112, 238sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
240189, 179, 239syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
241188, 240jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
242 reu2 3260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
243241, 242sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
244 riota1 6283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  =  w ) )
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w ) )
246186, 245mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w )
247184, 246eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
248179, 247jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
249248ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
250149, 151, 249syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  ->  ( y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
251148, 250eximd 1934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) ) )
252147, 251mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
253 df-rex 2782 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
254252, 253sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
255254ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
256137, 255jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
257 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )  =  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
258257fompt 37323 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  <->  ( A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
259256, 258sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  |->  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) -onto-> { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
260 fodomg 8955 . . 3  |-  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e. 
_V  ->  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ->  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ) )
26111, 259, 260sylc 63 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )
262 domfi 7797 . 2  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin  /\  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
2637, 261, 262syl2anc 666 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660   [wsb 1787    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   E!wreu 2778   {crab 2780   _Vcvv 3082   [.wsbc 3300   [_csb 3396    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   U.cuni 4217  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852   -onto->wfo 5597   iota_crio 6264    ~<_ cdom 7573   Fincfn 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-ac2 8895
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549
This theorem is referenced by:  fsumiunss  37483  sge0iunmptlemre  38051
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