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Theorem disjinfi 37468
Description: Only a finite number of disjoint sets can have a non empty intersection with a finite set  C (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
disjinfi.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
disjinfi.d  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
disjinfi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
disjinfi  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjinfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjinfi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 id 22 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  C  e.  Fin )
3 inss2 3653 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C
43a1i 11 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  C_  C
)
5 ssfi 7792 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  C_  C )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
62, 4, 5syl2anc 667 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
71, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin )
83a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C )
98, 1jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C  /\  C  e.  Fin )
)
10 ssexg 4549 . . . 4  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C  /\  C  e.  Fin )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  _V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  _V )
12 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
1413biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
15 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
16 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1716elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
1918biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
21 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x w
22 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2322nfrn 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x ran  ( x  e.  A  |->  B )
2421, 23nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )
25 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  y  e.  w
2624, 25nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )
27 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  w )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  w  =  B )
2927, 28eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  B )
3029ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  =  B  -> 
y  e.  B ) )
3130a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3326, 32reximdai 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  ( E. x  e.  A  w  =  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3420, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3534ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  ( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
) )
3736rexlimdv 2877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
)
3814, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3912, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
4039adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
41 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
42 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
4323nfuni 4204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x U. ran  ( x  e.  A  |->  B )
44 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
4543, 44nfin 3639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )
4642, 45nfel 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)
4741, 46nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
48 nfre1 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )
493sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  C )
50 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
51 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
52 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  C )
5351, 52elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
54533adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
55 rspe 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
5650, 54, 55syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
57563exp 1207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  C  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5849, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
6047, 48, 59rexlimd 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
6140, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
62 disjinfi.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
63 disjors 4388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
6462, 63sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
65 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
66 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x A
67 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  z  =  w
68 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
6921nfcsb1 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
7068, 69nfin 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
71 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x (/)
7270, 71nfeq 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)
7367, 72nfor 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
7466, 73nfral 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
75 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  w  <->  z  =  w ) )
76 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
7776ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B ) )
7877eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7975, 78orbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8079ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8165, 74, 80cbvral 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8264, 81sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
83 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8482, 83sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8584adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
86 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  A )
87 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8887orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
8985, 86, 88syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
9089adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  -> 
( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
91 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  y  e.  B )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  B
)
93 sbsbc 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
94 sbcel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
95 csbin 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )
9695eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9793, 94, 963bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9897biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
99 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
101100adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B
)
10292, 101jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  B  /\  y  e. 
[_ w  /  x ]_ B ) )
103 inelcm 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  -> 
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =/=  (/) )
104103neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
106105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
107 pm2.53 375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w )  ->  ( -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  x  =  w ) )
10890, 106, 107sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  x  =  w )
109108ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
110109ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
111110ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
112111adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
11361, 112jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
114 reu2 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
115113, 114sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
116 riotacl2 6265 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  {
x  e.  A  | 
y  e.  ( B  i^i  C ) } )
117115, 116syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C
) } )
118 nfriota1 6259 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
119118nfcsb1 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B
120119, 44nfin 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )
12142, 120nfel 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
)
122 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  B  =  [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B )
123122ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( B  i^i  C )  =  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
124123eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
125118, 66, 121, 124elrabf 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  <-> 
( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
126125biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
127126simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A )
128126simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
129 ne0i 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
131127, 130jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
132120, 71nfne 2723 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
133123neeq1d 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/) 
<->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
134118, 66, 132, 133elrabf 3194 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
135131, 134sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
136117, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
137136ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
13869, 44nfin 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
139138, 71nfne 2723 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
140 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
141140ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
142141neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  <->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
14321, 66, 139, 142elrabf 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( w  e.  A  /\  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
144143simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
145 n0 3741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
146144, 145sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
147146adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
148 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
149 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ph )
150143simplbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  w  e.  A )
151150adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  w  e.  A
)
152 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
153152adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
154 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  e.  A )
155 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A )
156 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x V
15769, 156nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ B  e.  V
158155, 157nfim 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
)
159 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
160159anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  w  e.  A ) ) )
161140eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( B  e.  V  <->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) )
162160, 161imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) ) )
163 disjinfi.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
164158, 162, 163chvar 2106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
165164adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
166 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )
167166elrnmpt1 5083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  A  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( w  e.  A  |-> 
[_ w  /  x ]_ B ) )
168154, 165, 167syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B ) )
169 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
170140equcoms 1864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
171170eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  x  ->  [_ w  /  x ]_ B  =  B )
17269, 169, 171cbvmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
173172rneqi 5061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B
)  =  ran  (
x  e.  A  |->  B )
174168, 173syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
175 elunii 4203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  [_ w  /  x ]_ B  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
176153, 174, 175syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  U. ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
177 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  C )
178177adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  C )
179176, 178elind 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
180 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w  y  e.  ( B  i^i  C )
18142, 138nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
182141eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
183180, 181, 182cbvriota 6262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
185 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
186154, 185jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
187 rspe 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
188187adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
189 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ph )
190 sbequ 2205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
191 sbsbc 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
193 sbcel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
194 csbin 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )
195 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  z  e. 
_V
196 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  x ]_ C  =  C )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  [_ z  /  x ]_ C  =  C
198197ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
199194, 198eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
)
200199eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
201193, 200bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
203190, 192, 2023bitrd 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <-> 
y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
204203anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
205 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
x  =  w  <->  x  =  z ) )
206204, 205imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w )  <->  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
) )
207206cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
208207ralbii 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
209 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
21068, 44nfin 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
21142, 210nfel 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ x  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
212181, 211nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
213 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  w  =  z
214212, 213nfim 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
21566, 214nfral 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
216182anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
217 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  z  <->  w  =  z ) )
218216, 217imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
219218ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
220209, 215, 219cbvral 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
221 biid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
222 sbsbc 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [. z  /  w ]. y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
223 sbcel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  w ]. y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
224 csbin 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )
225 csbco 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B
226 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  w ]_ C  =  C )
227195, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ C  =  C
228225, 227ineq12i 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
229 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
230224, 228, 2293eqtri 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
231230eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
232222, 223, 2313bitrri 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
233232anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
234233imbi1i 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
235234ralbii 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
236235ralbii 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
237221, 236bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
238208, 220, 2373bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
239112, 238sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
240189, 179, 239syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
241188, 240jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
242 reu2 3226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
243241, 242sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
244 riota1 6270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  =  w ) )
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w ) )
246186, 245mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w )
247184, 246eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
248179, 247jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
249248ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
250149, 151, 249syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  ->  ( y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
251148, 250eximd 1960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) ) )
252147, 251mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
253 df-rex 2743 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
254252, 253sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
255254ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
256137, 255jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
257 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )  =  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
258257fompt 37467 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  <->  ( A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
259256, 258sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  |->  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) -onto-> { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
260 fodomg 8953 . . 3  |-  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e. 
_V  ->  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ->  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ) )
26111, 259, 260sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )
262 domfi 7793 . 2  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin  /\  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
2637, 261, 262syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663   [wsb 1797    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   {crab 2741   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   [_csb 3363    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -onto->wfo 5580   iota_crio 6251    ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547
This theorem is referenced by:  fsumiunss  37654  sge0iunmptlemre  38257
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