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Theorem disjinfi 37539
Description: Only a finite number of disjoint sets can have a non empty intersection with a finite set  C (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
disjinfi.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
disjinfi.d  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
disjinfi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
disjinfi  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjinfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjinfi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 id 22 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  C  e.  Fin )
3 inss2 3644 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C
43a1i 11 . . . 4  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  C_  C
)
5 ssfi 7810 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  C_  C )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
62, 4, 5syl2anc 673 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  Fin )
71, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin )
83a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C )
98, 1jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  C_  C  /\  C  e.  Fin )
)
10 ssexg 4542 . . . 4  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) 
C_  C  /\  C  e.  Fin )  ->  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i 
C )  e.  _V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  _V )
12 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
1413biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w )
15 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1716elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
1918biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
21 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x w
22 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2322nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x ran  ( x  e.  A  |->  B )
2421, 23nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )
25 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  y  e.  w
2624, 25nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )
27 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  w )
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  w  =  B )
2927, 28eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  w  /\  w  =  B )  ->  y  e.  B )
3029ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  w  ->  (
w  =  B  -> 
y  e.  B ) )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  w  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  B  ->  y  e.  B
) ) )
3326, 32reximdai 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  ( E. x  e.  A  w  =  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3420, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  y  e.  w )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3534ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  ( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B ) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
) )
3736rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  ( E. w  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) y  e.  w  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
)
3814, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
3912, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
41 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
42 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
4323nfuni 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x U. ran  ( x  e.  A  |->  B )
44 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
4543, 44nfin 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )
4642, 45nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)
4741, 46nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
48 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )
493sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  y  e.  C )
50 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
52 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  C )
5351, 52elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  C  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
54533adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) )
55 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
5650, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
57563exp 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  C  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5849, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
6047, 48, 59rexlimd 2866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
6140, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
62 disjinfi.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
63 disjors 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
6462, 63sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
65 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ z A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
66 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x A
67 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  z  =  w
68 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
6921nfcsb1 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
7068, 69nfin 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x (/)
7270, 71nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)
7367, 72nfor 2038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
7466, 73nfral 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
75 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  w  <->  z  =  w ) )
76 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
7776ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B ) )
7877eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
7975, 78orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) 
<->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8079ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) ) )
8165, 74, 80cbvral 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8264, 81sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
83 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8482, 83sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
86 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  A )
87 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) ) )
8887orcomd 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. w  e.  A  ( x  =  w  \/  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
8985, 86, 88syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  -> 
( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w ) )
91 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  y  e.  B )
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  B
)
93 sbsbc 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
94 sbcel2 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [. w  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
95 csbin 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )
9695eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  [_ w  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9793, 94, 963bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
9897biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
99 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  -> 
y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B
)
10292, 101jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  B  /\  y  e. 
[_ w  /  x ]_ B ) )
103 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  -> 
( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =/=  (/) )
104103neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
107 pm2.53 380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  \/  x  =  w )  ->  ( -.  ( B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/)  ->  x  =  w ) )
10890, 106, 107sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) ) )  ->  x  =  w )
109108ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
110109ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. w  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w ) )
111110ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) )
11361, 112jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
114 reu2 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  /\  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w ) ) )
115113, 114sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
116 riotacl2 6283 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  {
x  e.  A  | 
y  e.  ( B  i^i  C ) } )
117115, 116syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C
) } )
118 nfriota1 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )
119118nfcsb1 3364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B
120119, 44nfin 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )
12142, 120nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
)
122 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  B  =  [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B )
123122ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( B  i^i  C )  =  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
124123eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
125118, 66, 121, 124elrabf 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  <-> 
( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
126125biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
127126simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A )
128126simprd 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  y  e.  (
[_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C ) )
129 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
131127, 130jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
132120, 71nfne 2742 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
133123neeq1d 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/) 
<->  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
134118, 66, 132, 133elrabf 3182 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  A  /\  ( [_ ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
135131, 134sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  y  e.  ( B  i^i  C ) }  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
136117, 135syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
137136ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
13869, 44nfin 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
139138, 71nfne 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)
140 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
141140ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( B  i^i  C )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
142141neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  <->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
14321, 66, 139, 142elrabf 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  <->  ( w  e.  A  /\  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
144143simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/) )
145 n0 3732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
146144, 145sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
147146adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
148 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
149 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ph )
150143simplbi 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ->  w  e.  A )
151150adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  w  e.  A
)
152 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
153152adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  [_ w  /  x ]_ B )
154 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  e.  A )
155 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A )
156 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x V
15769, 156nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ B  e.  V
158155, 157nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
)
159 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
160159anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  w  e.  A ) ) )
161140eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( B  e.  V  <->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) )
162160, 161imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V
) ) )
163 disjinfi.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
164158, 162, 163chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )
166 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )
167166elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  A  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  V )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( w  e.  A  |-> 
[_ w  /  x ]_ B ) )
168154, 165, 167syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B ) )
169 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
170140equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
171170eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  x  ->  [_ w  /  x ]_ B  =  B )
17269, 169, 171cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
173172rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ B
)  =  ran  (
x  e.  A  |->  B )
174168, 173syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  [_ w  /  x ]_ B  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
175 elunii 4195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  [_ w  /  x ]_ B  /\  [_ w  /  x ]_ B  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  y  e.  U.
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
176153, 174, 175syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  U. ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
177 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  y  e.  C )
178177adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  C )
179176, 178elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )
180 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w  y  e.  ( B  i^i  C )
18142, 138nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )
182141eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
183180, 181, 182cbvriota 6280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  =  (
iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
185 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
186154, 185jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
187 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
188187adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
189 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ph )
190 sbequ 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
191 sbsbc 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [ z  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <->  [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
193 sbcel2 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C ) )
194 csbin 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )
195 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  z  e. 
_V
196 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  x ]_ C  =  C )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  [_ z  /  x ]_ C  =  C
198197ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  x ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
199194, 198eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
)
200199eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  [_ z  /  x ]_ ( B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
201193, 200bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C
)  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  ( [. z  /  x ]. y  e.  ( B  i^i  C )  <->  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
203190, 192, 2023bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C )  <-> 
y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) )
204203anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
205 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
x  =  w  <->  x  =  z ) )
206204, 205imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C
) )  ->  x  =  w )  <->  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
) )
207206cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
208207ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
)
209 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )
21068, 44nfin 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
21142, 210nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ x  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
212181, 211nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
213 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x  w  =  z
214212, 213nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x
( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
21566, 214nfral 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
216182anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) ) ) )
217 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  z  <->  w  =  z ) )
218216, 217imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
219218ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( B  i^i  C
)  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) ) )
220209, 215, 219cbvral 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  x  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
221 biid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
222 sbsbc 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [. z  /  w ]. y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
223 sbcel2 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [. z  /  w ]. y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  <->  y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
224 csbin 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )
225 csbco 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B
226 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  w ]_ C  =  C )
227195, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [_ z  /  w ]_ C  =  C
228225, 227ineq12i 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  w ]_ [_ w  /  x ]_ B  i^i  [_ z  /  w ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
229 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
230224, 228, 2293eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C )
231230eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  [_ z  /  w ]_ ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )
232222, 223, 2313bitrri 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )
233232anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  ( [_ z  /  x ]_ B  i^i  C
) )  <->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) ) )
234233imbi1i 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
235234ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
236235ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
237221, 236bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  y  e.  (
[_ z  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
238208, 220, 2373bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  ( B  i^i  C )  /\  [ w  /  x ] y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  =  w )  <->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
239112, 238sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  z ) )
240189, 179, 239syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [
z  /  w ]
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z )
)
241188, 240jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  (
( y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
242 reu2 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  <->  ( E. w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  A. w  e.  A  A. z  e.  A  ( ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  /\  [ z  /  w ] y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  ->  w  =  z ) ) )
243241, 242sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )
244 riota1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  ( (
w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  =  w ) )
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
( w  e.  A  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  <->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w ) )
246186, 245mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  ( iota_ w  e.  A  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C ) )  =  w )
247184, 246eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
248179, 247jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
) )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
249248ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  (
y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
250149, 151, 249syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C
)  ->  ( y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
251148, 250eximd 1980 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  ( E. y 
y  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  C )  ->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) ) )
252147, 251mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
253 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  <->  E. y
( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  /\  w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
254252, 253sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } )  ->  E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
255254ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
256137, 255jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) w  =  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C
) ) ) )
257 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )  =  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
258257fompt 37538 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  <->  ( A. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) )  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  /\  A. w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } E. y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) w  =  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
259256, 258sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  |->  (
iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) -onto-> { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) } )
260 fodomg 8971 . . 3  |-  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e. 
_V  ->  ( ( y  e.  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
)  |->  ( iota_ x  e.  A  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) : ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C ) -onto-> { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ->  { x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) ) )
26111, 259, 260sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )
262 domfi 7811 . 2  |-  ( ( ( U. ran  (
x  e.  A  |->  B )  i^i  C )  e.  Fin  /\  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  C
)  =/=  (/) }  ~<_  ( U. ran  ( x  e.  A  |->  B )  i^i  C
) )  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
2637, 261, 262syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  C )  =/=  (/) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671   [wsb 1805    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -onto->wfo 5587   iota_crio 6269    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  fsumiunss  37750  sge0iunmptlemre  38371
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