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Theorem disjf1o 37466
Description: A bijection built from disjoint sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
disjf1o.xph  |-  F/ x ph
disjf1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
disjf1o.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
disjf1o.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
disjf1o.d  |-  C  =  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }
disjf1o.e  |-  D  =  ( ran  F  \  { (/) } )
Assertion
Ref Expression
disjf1o  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> D )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    F( x)

Proof of Theorem disjf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjf1o.xph . . . 4  |-  F/ x ph
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  C  |->  B )  =  ( x  e.  C  |->  B )
3 simpl 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ph )
4 disjf1o.d . . . . . . . 8  |-  C  =  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }
5 ssrab2 3514 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }  C_  A
64, 5eqsstri 3462 . . . . . . 7  |-  C  C_  A
7 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
86, 7sseldi 3430 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  A )
98adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  A )
10 disjf1o.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
113, 9, 10syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  B  e.  V )
127, 4syl6eleq 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) } )
13 rabid 2967 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) )
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) ) )
1512, 14mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) )
1615simprd 465 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  B  =/=  (/) )
1716adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  B  =/=  (/) )
186a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
19 disjf1o.dj . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
20 disjss1 4379 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  C  B ) )
2118, 19, 20sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  C  B
)
221, 2, 11, 17, 21disjf1 37457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  B ) : C -1-1-> V )
23 f1f1orn 5825 . . 3  |-  ( ( x  e.  C  |->  B ) : C -1-1-> V  ->  ( x  e.  C  |->  B ) : C -1-1-onto-> ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
2422, 23syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  B ) : C -1-1-onto-> ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
25 disjf1o.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2726reseq1d 5104 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  C ) )
2818resmptd 5156 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  B ) )
2927, 28eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  B ) )
30 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  C )
31 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ph )
32 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  D )
33 disjf1o.e . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( ran  F  \  { (/) } )
3432, 33syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  ( ran  F  \  { (/) } ) )
35 eldifsni 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  D  ->  y  =/=  (/) )
3736adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  =/=  (/) )
38 eldifi 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ran  F
)
3934, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  ran  F )
4025elrnmpt 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  F  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  y  =  B )
)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  D  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  y  =  B ) )
4239, 41mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  D  ->  E. x  e.  A  y  =  B )
4342adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  E. x  e.  A  y  =  B )
44 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  =/=  (/)
451, 44nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  y  =/=  (/) )
46 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
y
47 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  B )
4847nfrn 5077 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x ran  ( x  e.  C  |->  B )
4946, 48nfel 2604 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B )
50 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
51 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  x  e.  A )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
5352eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  B  ->  B  =  y )
5453adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  =  B )  ->  B  =  y )
55 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  =  B )  ->  y  =/=  (/) )
5654, 55eqnetrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  =  B )  ->  B  =/=  (/) )
57563adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  B  =/=  (/) )
5851, 57jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  (
x  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) )
5958, 13sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  x  e.  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) } )
604eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }  =  C
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  { x  e.  A  |  B  =/=  (/) }  =  C )
6259, 61eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  x  e.  C )
63 eqvisset 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  B  e.  _V )
64633ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  B  e.  _V )
652elrnmpt1 5083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  B  e.  _V )  ->  B  e.  ran  (
x  e.  C  |->  B ) )
6662, 64, 65syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  B  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
6750, 66eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
68673adant1l 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  =/=  (/) )  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
69683exp 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) ) ) )
7045, 49, 69rexlimd 2871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  ->  y  e. 
ran  ( x  e.  C  |->  B ) ) )
7170imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  A  y  =  B )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
7231, 37, 43, 71syl21anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
7372ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
74 dfss3 3422 . . . . 5  |-  ( D 
C_  ran  ( x  e.  C  |->  B )  <->  A. y  e.  D  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
7573, 74sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )
76 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )  ->  ph )
77 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
782elrnmpt 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  C  |->  B )  <->  E. x  e.  C  y  =  B )
)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B )  <->  E. x  e.  C  y  =  B )
8079biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B )  ->  E. x  e.  C  y  =  B )
8180adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )  ->  E. x  e.  C  y  =  B )
82 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  D
83 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
848adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  x  e.  A )
8583, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  B  e.  _V )
8625elrnmpt1 5083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  B  e.  ran  F
)
8784, 85, 86syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  B  e.  ran  F
)
8883, 87eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  e.  ran  F
)
89883adant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  e.  ran  F )
9016adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  B  =/=  (/) )
9183, 90eqnetrd 2691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  =/=  (/) )
92 nelsn 4000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =/=  (/)  ->  -.  y  e.  { (/) } )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  -.  y  e.  { (/)
} )
94933adant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  -.  y  e.  { (/) } )
9589, 94eldifd 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  e.  ( ran  F  \  { (/)
} ) )
9695, 33syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C  /\  y  =  B )  ->  y  e.  D )
97963exp 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  ->  ( y  =  B  ->  y  e.  D
) ) )
981, 82, 97rexlimd 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  C  y  =  B  ->  y  e.  D
) )
9998imp 431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  C  y  =  B )  ->  y  e.  D )
10076, 81, 99syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) )  -> 
y  e.  D )
101100ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  C  |->  B ) y  e.  D )
102 dfss3 3422 . . . . 5  |-  ( ran  ( x  e.  C  |->  B )  C_  D  <->  A. y  e.  ran  (
x  e.  C  |->  B ) y  e.  D
)
103101, 102sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  C  |->  B )  C_  D )
10475, 103eqssd 3449 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ran  (
x  e.  C  |->  B ) )
10529, 30, 104f1oeq123d 5811 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> D  <->  ( x  e.  C  |->  B ) : C -1-1-onto-> ran  (
x  e.  C  |->  B ) ) )
10624, 105mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968  Disj wdisj 4373    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590
This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  38258
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