Theorem disjabrex 27582

Description: Rewriting a disjoint collection into a partition of its image set (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
disjabrex	|- (Disj x e. A B -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, B, z

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem disjabrex

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4440	. . . 4 |- F/ xDisj x e. A B
2		nfcv 2619	. . . . 5 |- F/_ x y
3		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ x i e. A
4		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ i / x ]_ B
5	4	nfcri 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/ x j e. [_ i / x ]_ B
6	3, 5	nfan 1929	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B )
7	6	nfab 2623	. . . . . . . 8 |- F/_ x { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) }
8	7	nfuni 4257	. . . . . . 7 |- F/_ x U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) }
9	8	nfcsb1 3445	. . . . . 6 |- F/_ x [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B
10	9	nfeq1 2634	. . . . 5 |- F/ x [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y
11	2, 10	nfral 2843	. . . 4 |- F/ x A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y
12		eqeq2 2472	. . . . 5 |- ( y = B -> ( [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y <-> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B ) )
13	12	raleqbi1dv 3062	. . . 4 |- ( y = B -> ( A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y <-> A. j e. B [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B ) )
14		vex 3112	. . . . 5 |- y e. _V
15	14	a1i 11	. . . 4 |- (Disj x e. A B -> y e. _V )
16		simplll 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> Disj x e. A B )
17		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x e. A )
18		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> i e. A )
19		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> j e. B )
20		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> j e. [_ i / x ]_ B )
21		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = i -> B = [_ i / x ]_ B )
22	4, 21	disjif 27578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj x e. A B /\ ( x e. A /\ i e. A ) /\ ( j e. B /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x = i )
23	16, 17, 18, 19, 20, 22	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x = i )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> x = i )
25		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> x e. A )
26	24, 25	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> i e. A )
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> j e. B )
28	21	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = i -> ( j e. B <-> j e. [_ i / x ]_ B ) )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> ( j e. B <-> j e. [_ i / x ]_ B ) )
30	27, 29	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> j e. [_ i / x ]_ B )
31	26, 30	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) )
32	23, 31	impbida 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> ( ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) <-> x = i ) )
33		equcom 1795	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i <-> i = x )
34	32, 33	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> ( ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) <-> i = x ) )
35	34	abbidv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = { i | i = x } )
36		df-sn 4033	. . . . . . . . 9 |- { x } = { i | i = x }
37	35, 36	syl6eqr 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = { x } )
38	37	unieqd 4261	. . . . . . 7 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = U. { x } )
39		vex 3112	. . . . . . . 8 |- x e. _V
40	39	unisn 4266	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
41	38, 40	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x )
42		csbeq1 3433	. . . . . . 7 |- ( U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
43		csbid 3438	. . . . . . 7 |- [_ x / x ]_ B = B
44	42, 43	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
45	41, 44	syl 16	. . . . 5 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
46	45	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) -> A. j e. B [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
47	1, 11, 13, 15, 46	elabreximd 27536	. . 3 |- ( (Disj x e. A B /\ y e. { z | E. x e. A z = B } ) -> A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y )
48	47	ralrimiva 2871	. 2 |- (Disj x e. A B -> A. y e. { z | E. x e. A z = B } A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y )
49		invdisj 4445	. 2 |- ( A. y e. { z | E. x e. A z = B } A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )
50	48, 49	syl 16	1 |- (Disj x e. A B -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [_csb 3430   {csn 4032   U.cuni 4251  Disj wdisj 4427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-nul 3794  df-sn 4033  df-pr 4035  df-uni 4252  df-disj 4428

This theorem is referenced by:  disjrnmpt  27585