Theorem disjabrex 28185

Description: Rewriting a disjoint collection into a partition of its image set. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
disjabrex	|- (Disj x e. A B -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, B, z

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem disjabrex

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfdisj1 4385	. . . 4 |- F/ xDisj x e. A B
2		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ x y
3		nfv 1760	. . . . . . . . . 10 |- F/ x i e. A
4		nfcsb1v 3378	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ i / x ]_ B
5	4	nfcri 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/ x j e. [_ i / x ]_ B
6	3, 5	nfan 2010	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B )
7	6	nfab 2595	. . . . . . . 8 |- F/_ x { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) }
8	7	nfuni 4203	. . . . . . 7 |- F/_ x U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) }
9	8	nfcsb1 3377	. . . . . 6 |- F/_ x [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B
10	9	nfeq1 2604	. . . . 5 |- F/ x [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y
11	2, 10	nfral 2773	. . . 4 |- F/ x A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y
12		eqeq2 2461	. . . . 5 |- ( y = B -> ( [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y <-> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B ) )
13	12	raleqbi1dv 2994	. . . 4 |- ( y = B -> ( A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y <-> A. j e. B [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B ) )
14		vex 3047	. . . . 5 |- y e. _V
15	14	a1i 11	. . . 4 |- (Disj x e. A B -> y e. _V )
16		simplll 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> Disj x e. A B )
17		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x e. A )
18		simprl 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> i e. A )
19		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> j e. B )
20		simprr 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> j e. [_ i / x ]_ B )
21		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = i -> B = [_ i / x ]_ B )
22	4, 21	disjif 28181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj x e. A B /\ ( x e. A /\ i e. A ) /\ ( j e. B /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x = i )
23	16, 17, 18, 19, 20, 22	syl122anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) ) -> x = i )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> x = i )
25		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> x e. A )
26	24, 25	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> i e. A )
27		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> j e. B )
28	21	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = i -> ( j e. B <-> j e. [_ i / x ]_ B ) )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> ( j e. B <-> j e. [_ i / x ]_ B ) )
30	27, 29	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> j e. [_ i / x ]_ B )
31	26, 30	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) /\ x = i ) -> ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) )
32	23, 31	impbida 842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> ( ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) <-> x = i ) )
33		equcom 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i <-> i = x )
34	32, 33	syl6bb 265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> ( ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) <-> i = x ) )
35	34	abbidv 2568	. . . . . . . . 9 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = { i | i = x } )
36		df-sn 3968	. . . . . . . . 9 |- { x } = { i | i = x }
37	35, 36	syl6eqr 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = { x } )
38	37	unieqd 4207	. . . . . . 7 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = U. { x } )
39		vex 3047	. . . . . . . 8 |- x e. _V
40	39	unisn 4212	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
41	38, 40	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x )
42		csbeq1 3365	. . . . . . 7 |- ( U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
43		csbid 3370	. . . . . . 7 |- [_ x / x ]_ B = B
44	42, 43	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } = x -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
45	41, 44	syl 17	. . . . 5 |- ( ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) /\ j e. B ) -> [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
46	45	ralrimiva 2801	. . . 4 |- ( (Disj x e. A B /\ x e. A ) -> A. j e. B [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = B )
47	1, 11, 13, 15, 46	elabreximd 28137	. . 3 |- ( (Disj x e. A B /\ y e. { z | E. x e. A z = B } ) -> A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y )
48	47	ralrimiva 2801	. 2 |- (Disj x e. A B -> A. y e. { z | E. x e. A z = B } A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y )
49		invdisj 4390	. 2 |- ( A. y e. { z | E. x e. A z = B } A. j e. y [_ U. { i | ( i e. A /\ j e. [_ i / x ]_ B ) } / x ]_ B = y -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )
50	48, 49	syl 17	1 |- (Disj x e. A B -> Disj y e. { z | E. x e. A z = B } y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   [_csb 3362   {csn 3967   U.cuni 4197  Disj wdisj 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-nul 3731  df-sn 3968  df-pr 3970  df-uni 4198  df-disj 4373

This theorem is referenced by:  disjrnmpt  28188