Theorem disj3 2918

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint.

Assertion

Ref	Expression
disj3	|- ((A i^i B) = (/) <-> A = (A \ B))

Proof of Theorem disj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.71 697	. . . 4 |- ((x e. A -> -. x e. B) <-> (x e. A <-> (x e. A /\ -. x e. B)))
2		eldif 2609	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3	2	bibi2i 669	. . . 4 |- ((x e. A <-> x e. (A \ B)) <-> (x e. A <-> (x e. A /\ -. x e. B)))
4	1, 3	bitr4i 193	. . 3 |- ((x e. A -> -. x e. B) <-> (x e. A <-> x e. (A \ B)))
5	4	albii 1346	. 2 |- (A.x(x e. A -> -. x e. B) <-> A.x(x e. A <-> x e. (A \ B)))
6		disj1 2915	. 2 |- ((A i^i B) = (/) <-> A.x(x e. A -> -. x e. B))
7		dfcleq 1878	. 2 |- (A = (A \ B) <-> A.x(x e. A <-> x e. (A \ B)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 200	1 |- ((A i^i B) = (/) <-> A = (A \ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590   i^i cin 2592  (/)c0 2875

This theorem is referenced by:  disj4 2922  orddif 3764  php 5607  infeq5 5727  ssxr 6714  twpar2 10149  rcfpfillem5 14932  clindistop 14962  heiborlem11 15965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-nul 2876

Copyright terms: Public domain