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Theorem discr1 12116
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
discr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
discr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
discr.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
discr1.5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
Assertion
Ref Expression
discr1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, X    ph, x

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 discr1.5 . . . . 5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
2 discr.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR )
4 discr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
54adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  e.  RR )
6 0re 9496 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
93, 8readdcld 9523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
10 peano2re 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR  ->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
12 discr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  RR )
1413renegcld 9885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1512lt0neg1d 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
1615biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  -u A )
1716gt0ne0d 10014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  =/=  0 )
1811, 14, 17redivcld 10269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )
19 1re 9495 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
20 ifcl 3938 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
221, 21syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  RR )
23 discr.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
2423ralrimiva 2829 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
26 oveq1 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2726oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
28 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( B  x.  x )  =  ( B  x.  X ) )
2927, 28oveq12d 6217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
3029oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
3130breq2d 4411 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  <->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
3231rspcv 3173 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
3322, 25, 32sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) )
34 resqcl 12049 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3522, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3613, 35remulcld 9524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  RR )
373, 22remulcld 9524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  x.  X )  e.  RR )
3836, 37readdcld 9523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  e.  RR )
3938, 5readdcld 9523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  e.  RR )
4013, 22remulcld 9524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  RR )
4140, 9readdcld 9523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241, 22remulcld 9524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  e.  RR )
436a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  e.  RR )
448, 22remulcld 9524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X )  e.  RR )
45 max2 11269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
466, 5, 45sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
47 max1 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
486, 5, 47sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
49 max1 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5019, 18, 49sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5150, 1syl6breqr 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  X )
528, 22, 48, 51lemulge11d 10380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
535, 8, 44, 46, 52letrd 9638 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
545, 44, 38, 53leadd2dd 10064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  X
) ) )
5540, 3readdcld 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  RR )
5655recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  CC )
578recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
5822recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  CC )
5956, 57, 58adddird 9521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  X
)  +  B )  x.  X )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
6040recnd 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  CC )
613recnd 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  CC )
6260, 61, 57addassd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6362oveq1d 6214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
6460, 61, 58adddird 9521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  x.  X )  +  ( B  x.  X
) ) )
6513recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  CC )
6665, 58, 58mulassd 9519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
67 sqval 12041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6858, 67syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6968oveq2d 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
7066, 69eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  x.  X
)  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7264, 71eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7372oveq1d 6214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  x.  X
)  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7459, 63, 733eqtr3d 2503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7554, 74breqtrrd 4425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
7614, 22remulcld 9524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  e.  RR )
779ltp1d 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 ) )
78 max2 11269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
7919, 18, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
8079, 1syl6breqr 4439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X )
81 ledivmul 10315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) )  ->  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X 
<->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8211, 22, 14, 16, 81syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X  <->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8380, 82mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) )
849, 11, 76, 77, 83ltletrd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( -u A  x.  X )
)
8565, 58mulneg1d 9907 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  -u ( A  x.  X ) )
86 df-neg 9708 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) )
8785, 86syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) ) )
8884, 87breqtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) )
8940, 9, 43ltaddsub2d 10050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) ) )
9088, 89mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0 )
9119a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  e.  RR )
92 0lt1 9972 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  1 )
9443, 91, 22, 93, 51ltletrd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  X )
95 ltmul1 10289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <  X ) )  ->  ( (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9641, 43, 22, 94, 95syl112anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9790, 96mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) )
9858mul02d 9677 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
0  x.  X )  =  0 )
9997, 98breqtrd 4423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  0 )
10039, 42, 43, 75, 99lelttrd 9639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0 )
101 ltnle 9564 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0  <->  -.  0  <_  ( (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
10239, 6, 101sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
103100, 102mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
10433, 103pm2.65da 576 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A  <  0
)
105 lelttric 9591 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
1066, 12, 105sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
107106ord 377 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  <_  A  ->  A  <  0
) )
108104, 107mt3d 125 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   ifcif 3898   class class class wbr 4399  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   2c2 10481   ^cexp 11981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-seq 11923  df-exp 11982
This theorem is referenced by:  discr  12117
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