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Theorem discmp 19004
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 18603 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7609 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 194 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
41, 3elind 3543 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
5 fincmp 18999 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
7 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
87snssd 4021 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
9 snex 4536 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
109elpw 3869 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
118, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1311, 12fmptd 5870 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
14 frn 5568 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1612rnmpt 5088 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1716unieqi 4103 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
189dfiun2 4207 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
19 iunid 4228 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2017, 18, 193eqtr2ri 2470 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
22 unipw 4545 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2322eqcomi 2447 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2423cmpcov 18995 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2515, 21, 24mpd3an23 1316 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
26 elin 3542 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2726simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2826simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
2928elpwid 3873 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
30 snfi 7393 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3130rgenw 2786 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3212fmpt 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3331, 32mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
34 frn 5568 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3629, 35sstrd 3369 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
37 unifi 7603 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
3827, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
39 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4038, 39syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4140rexlimiv 2838 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4225, 41syl 16 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
436, 42impbii 188 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U.cuni 4094   U_ciun 4174    e. cmpt 4353   ran crn 4844   -->wf 5417   Fincfn 7313   Topctop 18501   Compccmp 18992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-top 18506  df-cmp 18993
This theorem is referenced by:  disllycmp  19105  xkohaus  19229  xkoptsub  19230  xkopt  19231
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