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Theorem discmp 18843
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 18442 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7594 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 194 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
41, 3elind 3528 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
5 fincmp 18838 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
7 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
87snssd 4006 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
9 snex 4521 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
109elpw 3854 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
118, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
12 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1311, 12fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
14 frn 5553 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1612rnmpt 5072 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1716unieqi 4088 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
189dfiun2 4192 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
19 iunid 4213 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2017, 18, 193eqtr2ri 2460 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
22 unipw 4530 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2322eqcomi 2437 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2423cmpcov 18834 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2515, 21, 24mpd3an23 1309 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
26 elin 3527 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2726simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2826simplbi 457 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
2928elpwid 3858 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
30 snfi 7378 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3130rgenw 2773 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3212fmpt 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3331, 32mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
34 frn 5553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3629, 35sstrd 3354 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
37 unifi 7588 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
3827, 36, 37syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
39 eleq1 2493 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4038, 39syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4140rexlimiv 2825 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4225, 41syl 16 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
436, 42impbii 188 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3315    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079   U_ciun 4159    e. cmpt 4338   ran crn 4828   -->wf 5402   Fincfn 7298   Topctop 18340   Compccmp 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-top 18345  df-cmp 18832
This theorem is referenced by:  disllycmp  18944  xkohaus  19068  xkoptsub  19069  xkopt  19070
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