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Theorem dis2ndc 20468
Description: A discrete space is second-countable iff it is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis2ndc  |-  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc )

Proof of Theorem dis2ndc
Dummy variables  w  b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7572 . . 3  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4874 . 2  |-  ( X  ~<_  om  ->  X  e.  _V )
3 elex 3053 . . 3  |-  ( ~P X  e.  2ndc  ->  ~P X  e.  _V )
4 pwexb 6599 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  ~P X  e.  _V )
53, 4sylibr 216 . 2  |-  ( ~P X  e.  2ndc  ->  X  e.  _V )
6 elex 3053 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  X  e.  _V )
7 snex 4640 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
872a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  ->  { x }  e.  _V ) )
9 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109sneqr 4138 . . . . . . . . 9  |-  ( { x }  =  {
y }  ->  x  =  y )
11 sneq 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1210, 11impbii 191 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  =  {
y }  <->  x  =  y )
13122a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( {
x }  =  {
y }  <->  x  =  y ) ) )
148, 13dom2lem 7606 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-> _V )
15 f1f1orn 5823 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-> _V  ->  ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
17 f1oeng 7585 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )  ->  X  ~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
186, 16, 17syl2anc 666 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  X  ~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
19 domen1 7711 . . . 4  |-  ( X 
~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ->  ( X  ~<_  om  <->  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  om ) )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  ~<_  om  <->  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  om ) )
21 distop 20004 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  Top )
22 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
239snelpw 4645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  <->  { x }  e.  ~P X
)
2422, 23sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ~P X )
25 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { x } )  =  ( x  e.  X  |->  { x } )
2624, 25fmptd 6044 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X --> ~P X )
27 frn 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  ~P X )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  ~P X )
29 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3029ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  y  C_  X )
31 simprr 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  y )
3230, 31sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  X )
33 eqidd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  =  { z } )
34 sneq 3977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
3534eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( { z }  =  { x }  <->  { z }  =  { z } ) )
3635rspcev 3149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  { z }  =  {
z } )  ->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
3732, 33, 36syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
38 snex 4640 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
3925elrnmpt 5080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  e.  _V  ->  ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  <->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  <->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
4137, 40sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { x } ) )
42 ssnid 3996 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
{ z }
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  { z } )
4431snssd 4116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  C_  y )
45 eleq2 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { z }  ->  ( z  e.  w  <->  z  e.  {
z } ) )
46 sseq1 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { z }  ->  ( w  C_  y 
<->  { z }  C_  y ) )
4745, 46anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { z }  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  y )  <->  ( z  e.  { z }  /\  { z }  C_  y
) ) )
4847rspcev 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  /\  ( z  e. 
{ z }  /\  { z }  C_  y
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
4941, 43, 44, 48syl12anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
5049ralrimivva 2808 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  A. y  e.  ~P  X A. z  e.  y  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
51 basgen2 19998 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P X  e.  Top  /\ 
ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  C_  ~P X  /\  A. y  e.  ~P  X A. z  e.  y  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )  =  ~P X )
5221, 28, 50, 51syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  =  ~P X )
5352adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  =  ~P X )
5452, 21eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
Top )
55 tgclb 19979 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
Top )
5654, 55sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  e.  TopBases )
57 2ndci 20456 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  e.  TopBases  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
2ndc )
5856, 57sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
2ndc )
5953, 58eqeltrrd 2529 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ~P X  e.  2ndc )
60 is2ndc 20454 . . . . . 6  |-  ( ~P X  e.  2ndc  <->  E. b  e. 
TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )
61 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
62 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6362, 23sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ~P X
)
64 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( topGen `
 b )  =  ~P X )
6563, 64eleqtrrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( topGen `  b ) )
66 ssnid 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
{ x }
67 tg2 19973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x }  e.  ( topGen `  b )  /\  x  e.  { x } )  ->  E. y  e.  b  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
{ x } ) )
6865, 66, 67sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  b  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
{ x } ) )
69 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  x  e.  y )
7069snssd 4116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  C_  y )
71 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  y  C_  { x } )
7270, 71eqssd 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  =  y )
73 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  y  e.  b )
7472, 73eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  e.  b )
7568, 74rexlimddv 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  b )
7675, 25fmptd 6044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ( x  e.  X  |->  { x }
) : X --> b )
77 frn 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X --> b  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  b )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  C_  b
)
79 ssdomg 7612 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  b  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  b ) )
8061, 78, 79mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  b )
81 simprl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  b  ~<_  om )
82 domtr 7619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
8380, 81, 82syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
8483ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  ->  (
( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
8584rexlimdva 2878 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
8660, 85syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( ~P X  e.  2ndc  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
8786imp 431 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ~P X  e.  2ndc )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
8859, 87impbida 842 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc ) )
8920, 88bitrd 257 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc ) )
902, 5, 89pm5.21nii 355 1  |-  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   omcom 6689    ~~ cen 7563    ~<_ cdom 7564   topGenctg 15329   Topctop 19910   TopBasesctb 19913   2ndcc2ndc 20446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-2ndc 20448
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