MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Unicode version

Theorem dis1stc 19238
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4644 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
2 distop 18735 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  e.  _V  ->  ~P { x }  e.  Top )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  Top
4 tgtop 18713 . . . . . . 7  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ( topGen `  ~P { x } )  =  ~P { x } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  =  ~P {
x }
6 topbas 18712 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ~P { x }  e.  TopBases )
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  TopBases
8 snfi 7503 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
9 pwfi 7720 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Fin )
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x }  e.  Fin
11 isfinite 7972 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P { x }  e.  Fin 
<->  ~P { x }  ~<  om )
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ~P {
x }  ~<  om
13 sdomdom 7450 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  ~<  om 
->  ~P { x }  ~<_  om )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  ~<_  om
15 2ndci 19187 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P { x }  e. 
TopBases  /\  ~P { x }  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ~P { x } )  e.  2ndc )
167, 14, 15mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  e.  2ndc
175, 16eqeltrri 2539 . . . . 5  |-  ~P {
x }  e.  2ndc
18 2ndc1stc 19190 . . . . 5  |-  ( ~P { x }  e.  2ndc 
->  ~P { x }  e.  1stc )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P {
x }  e.  1stc
2019rgenw 2901 . . 3  |-  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc
21 dislly 19236 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  1stc  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc ) )
2220, 21mpbiri 233 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  1stc )
23 lly1stc 19235 . 2  |- Locally  1stc  =  1stc
2422, 23syl6eleq 2552 1  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3971   {csn 3988   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   omcom 6589    ~<_ cdom 7421    ~< csdm 7422   Fincfn 7423   topGenctg 14498   Topctop 18633   TopBasesctb 18637   1stcc1stc 19176   2ndcc2ndc 19177  Locally clly 19203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-card 8223  df-acn 8226  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-1stc 19178  df-2ndc 19179  df-lly 19205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator