MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Unicode version

Theorem dis1stc 19873
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4678 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
2 distop 19370 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  e.  _V  ->  ~P { x }  e.  Top )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  Top
4 tgtop 19348 . . . . . . 7  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ( topGen `  ~P { x } )  =  ~P { x } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  =  ~P {
x }
6 topbas 19347 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ~P { x }  e.  TopBases )
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  TopBases
8 snfi 7598 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
9 pwfi 7817 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Fin )
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x }  e.  Fin
11 isfinite 8072 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P { x }  e.  Fin 
<->  ~P { x }  ~<  om )
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ~P {
x }  ~<  om
13 sdomdom 7545 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  ~<  om 
->  ~P { x }  ~<_  om )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  ~<_  om
15 2ndci 19822 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P { x }  e. 
TopBases  /\  ~P { x }  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ~P { x } )  e.  2ndc )
167, 14, 15mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  e.  2ndc
175, 16eqeltrri 2528 . . . . 5  |-  ~P {
x }  e.  2ndc
18 2ndc1stc 19825 . . . . 5  |-  ( ~P { x }  e.  2ndc 
->  ~P { x }  e.  1stc )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P {
x }  e.  1stc
2019rgenw 2804 . . 3  |-  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc
21 dislly 19871 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  1stc  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc ) )
2220, 21mpbiri 233 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  1stc )
23 lly1stc 19870 . 2  |- Locally  1stc  =  1stc
2422, 23syl6eleq 2541 1  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   omcom 6685    ~<_ cdom 7516    ~< csdm 7517   Fincfn 7518   topGenctg 14712   Topctop 19267   TopBasesctb 19271   1stcc1stc 19811   2ndcc2ndc 19812  Locally clly 19838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-card 8323  df-acn 8326  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-1stc 19813  df-2ndc 19814  df-lly 19840
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator