Theorem dirref 10355

Description: A direction is reflexive. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirref.1	|- X = dom D

Assertion

Ref	Expression
dirref	|- ((D e. Dir /\ A e. X) -> ADA)

Proof of Theorem dirref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- A = A
2		resieq 4227	. . . . 5 |- ((A e. X /\ A e. X) -> (A( _I |` X)A <-> A = A))
3	1, 2	mpbiri 211	. . . 4 |- ((A e. X /\ A e. X) -> A( _I |` X)A)
4	3	anidms 480	. . 3 |- (A e. X -> A( _I |` X)A)
5	4	adantl 424	. 2 |- ((D e. Dir /\ A e. X) -> A( _I |` X)A)
6		dirdm 10354	. . . . . . 7 |- (D e. Dir -> dom D = U.U.D)
7		dirref.1	. . . . . . 7 |- X = dom D
8	6, 7	syl5eq 1940	. . . . . 6 |- (D e. Dir -> X = U.U.D)
9		reseq2 4219	. . . . . 6 |- (X = U.U.D -> ( _I |` X) = ( _I |` U.U.D))
10	8, 9	syl 12	. . . . 5 |- (D e. Dir -> ( _I |` X) = ( _I |` U.U.D))
11		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- U.U.D = U.U.D
12	11	isdir 10352	. . . . . . . 8 |- (D e. Dir -> (D e. Dir <-> ((Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D) /\ ((D o. D) C_ D /\ A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.D(xDz /\ yDz)))))
13	12	ibi 652	. . . . . . 7 |- (D e. Dir -> ((Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D) /\ ((D o. D) C_ D /\ A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.D(xDz /\ yDz))))
14	13	simplld 348	. . . . . 6 |- (D e. Dir -> (Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D))
15	14	simprd 352	. . . . 5 |- (D e. Dir -> ( _I |` U.U.D) C_ D)
16	10, 15	eqsstrd 2651	. . . 4 |- (D e. Dir -> ( _I |` X) C_ D)
17	16	adantr 425	. . 3 |- ((D e. Dir /\ A e. X) -> ( _I |` X) C_ D)
18	17	ssbrd 3378	. 2 |- ((D e. Dir /\ A e. X) -> (A( _I |` X)A -> ADA))
19	5, 18	mpd 29	1 |- ((D e. Dir /\ A e. X) -> ADA)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  dom cdm 3986   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991  Dircdir 10348

This theorem is referenced by:  tailini 15637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-dir 10350

Copyright terms: Public domain