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Theorem dirkertrigeqlem3 31723
Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of  pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem3.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeqlem3.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
dirkertrigeqlem3.a  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, N    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeqlem3.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
32oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( n  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
4 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
54zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
65adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  CC )
7 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  2  e.  CC )
9 dirkertrigeqlem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
109zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  CC )
128, 11mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  K )  e.  CC )
13 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
16 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
1716recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  pi  e.  CC )
1915, 18mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
206, 19mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi )  x.  n ) )
2115, 18, 6mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n
) ) )
2218, 6mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2312, 14, 22adddird 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( 1  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2412, 22mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2514, 22mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2624, 25addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  pi  e.  CC )
2827, 5mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2928mulid2d 9626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
318, 11, 18, 6mul4d 9803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n
) ) )
328, 18mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
3311, 6mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  CC )
3432, 33mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
3531, 34eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
3630, 35oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3726, 36eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3821, 23, 373eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
393, 20, 383eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
419adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
424adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  ZZ )
4341, 42zmulcld 10984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  ZZ )
44 cosper 22741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( pi  x.  n
)  e.  CC  /\  ( K  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )
4522, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4640, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4746ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) )  =  ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )
4847sumeq2d 13504 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4948oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) ) )
5049oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
5150adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
52 dirkertrigeqlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5352nncnd 10564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
547a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
55 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5753, 54, 56divcan2d 10334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
5857eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) )
5958oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2
) ) ) )
6059sumeq1d 13503 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
6217a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
63 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6463zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  CC )
6562, 64mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
6665fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6766rgen 2827 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) )
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6968sumeq2d 13504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
70 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =  0 )
7152nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  RR )
73 2rp 11237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  2  e.  RR+ )
75 mod0 11983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  -> 
( ( N  mod  2 )  =  0  <-> 
( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
7672, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  0  <->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ ) )
7770, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
78 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8052nngt0d 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
81 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
8371, 79, 80, 82divgt0d 10493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
8577, 84jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  2
) ) )
86 elnnz 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  <->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  2
) ) )
8785, 86sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  NN )
88 dirkertrigeqlem1 31721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
9061, 69, 893eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  0 )
9190oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  0 ) )
927, 55reccli 10286 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9392addid1i 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  +  0 )  =  ( 1  /  2
)
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  0 )  =  ( 1  /  2
) )
9591, 94eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( 1  /  2 ) )
9695oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi )  =  ( (
1  /  2 )  /  pi ) )
977, 55pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
98 pipos 22720 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
99 0re 9608 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
10099, 16ltnei 9720 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  pi  ->  pi  =/=  0 )
10198, 100ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  pi  =/=  0
10217, 101pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
103 divdiv1 10267 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( 1  /  2
)  /  pi )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
10413, 97, 102, 103mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) )
105104a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
10651, 96, 1053eqtrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1071oveq2i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
108107a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
10992a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
11053, 109jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC ) )
111 addcl 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( N  +  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
11354, 10jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
114 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
116 peano2cn 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  +  1 )  e.  CC )
11817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
119112, 117, 118mulassd 9631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
120119eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi ) )
12113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
12253, 109, 115, 121muladdd 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( N  x.  (
2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) ) ) ) )
12353, 54, 10mul12d 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
2  x.  K ) )  =  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )
124109mulid2d 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
125123, 124oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( 2  x.  K
) )  +  ( 1  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
12653mulid1d 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
12754, 10mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  =  ( K  x.  2 ) )
128127oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( ( K  x.  2 )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
12910, 54, 109mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ) )
1307, 55recidi 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
131130oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( K  x.  1 )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  x.  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( K  x.  1 ) )
13310mulid1d 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
134132, 133eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  x.  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  K )
135128, 129, 1343eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  K )
136126, 135oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( N  +  K ) )
137125, 136oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( 2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  (
1  /  2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( N  +  K ) ) )
13853, 10jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
139 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( N  x.  K
)  e.  CC )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  CC )
14154, 140jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  ( N  x.  K
)  e.  CC ) )
142 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N  x.  K
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K
) )  e.  CC )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  e.  CC )
14453, 10addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  K
)  e.  CC )
145143, 109, 144addassd 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
146122, 137, 1453eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
147109, 144addcld 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  e.  CC )
148143, 147addcomd 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N  x.  K
) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K
) ) ) )
14954, 140mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  =  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )
150149oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
151146, 148, 1503eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
152151oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi ) )
153149, 143eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  K )  x.  2 )  e.  CC )
154147, 153, 118adddird 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) ) )
155140, 54, 118mulassd 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
156155oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
157152, 154, 1563eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
158108, 120, 1573eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
159158fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
160147, 118mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC )
16152nnzd 10977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
162161, 9zmulcld 10984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  ZZ )
163 sinper 22740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  x.  K )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
164160, 162, 163syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
165109, 144addcomd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( N  +  K )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
16653, 10, 109addassd 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  K )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2
) ) ) )
16710, 109addcld 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
16853, 167addcomd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
169165, 166, 1683eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
170169oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )
171170fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
172159, 164, 1713eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
1731a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )
174173oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) )
175117, 118, 54, 56div23d 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2 )  x.  pi ) )
176115, 121, 54, 56divdird 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  K
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
17710, 54, 56divcan3d 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  /  2
)  =  K )
178177oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
179176, 178eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
180179oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  / 
2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
181174, 175, 1803eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
182181fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
183182oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
184172, 183oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
185184adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
186167, 53, 118adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )
187186fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) ) )
188187oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
189188adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
190 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N  <->  N  =  ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N  /  2
) )  =  N  <-> 
N  =  ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) ) )
192 halfcl 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
19353, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
19454, 193jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  ( N  /  2
)  e.  CC ) )
195 mulcom 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N  /  2
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( N  /  2
) )  =  ( ( N  /  2
)  x.  2 ) )
196194, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
197 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 )  ->  ( N  =  ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  <->  N  =  ( ( N  / 
2 )  x.  2 ) ) )
198196, 197syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  =  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  <-> 
N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) ) )
199191, 198bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N  /  2
) )  =  N  <-> 
N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) ) )
200199pm5.74i 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2
) )  =  N )  <->  ( ph  ->  N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) ) )
20157, 200mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
202201oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( (
( N  /  2
)  x.  2 )  x.  pi ) )
203193, 54, 118mulassd 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  /  2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
204202, 203eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
205204oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
206205fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
207206adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
20810adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  K  e.  CC )
20913a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
210209halfcld 10795 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
211208, 210addcld 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
21217a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
213211, 212mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
214 sinper 22740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
215213, 77, 214syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
216207, 215eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
21754, 118mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
218167, 118mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC )
219218sincld 13743 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
220217, 219mulcomd 9629 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
221220adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
222216, 221oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
223101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
224167, 118, 223divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  /  pi )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2259zred 10978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
22673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
227226rpreccld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
228225, 227ltaddrpd 11297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
229 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
231230rehalfcld 10797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
232 halflt1 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  <  1
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
234231, 230, 225, 233ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  +  1 ) )
235 btwnnz 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  K  <  ( K  +  ( 1  /  2
) )  /\  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  + 
1 ) )  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
2369, 228, 234, 235syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2
) )  e.  ZZ )
237224, 236eqneltrd 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ )
238 sineq0 22780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
239218, 238syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
240237, 239mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0 )
241240neqned 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =/=  0 )
24254, 118, 56, 223mulne0d 10213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
243219, 219, 217, 241, 242divdiv1d 10363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
244243eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) ) )
245219, 241dividd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) )  =  1 )
246245oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
247244, 246eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
248247adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
249222, 248eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
250185, 189, 2493eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
251106, 250eqtrd 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
25250adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi ) )
253161adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
254 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  0 )
255254neqned 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0 )
256 oddfl 31359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =/=  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )
257253, 255, 256syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )
258257oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )
259258sumeq1d 13503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
260 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =  1  ->  ( N  /  2 )  =  ( 1  /  2
) )
261260fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  ( |_ `  (
1  /  2 ) ) )
262 halffl 31393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( |_
`  ( 1  / 
2 ) )  =  0
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( 1  / 
2 ) )  =  0 )
264261, 263eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  0 )
265264oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
2667mul01i 9781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  0 )  =  0 )
268265, 267eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  0 )
269268oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
27013addid2i 9779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
272269, 271eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  1 )
273272oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )  =  ( 1 ... 1
) )
274273sumeq1d 13503 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
275 1z 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
276 coscl 13740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
27717, 276ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
278 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  1 ) )
27917mulid1i 9610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
280279a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  1 )  =  pi )
281278, 280eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  pi )
282281fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
283282fsum1 13544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
284275, 277, 283mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi )
285284a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi ) )
286 cospi 22731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
287286a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
288274, 285, 2873eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
289288adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
290 2nn 10705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
291290a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  NN )
29271rehalfcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
293292flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
294293adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
2957, 55dividi 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  /  2 )  =  1
296295eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
297296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  =  ( 2  /  2 ) )
29852adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  N  e.  NN )
299 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  N  =  1  ->  N  =/=  1 )
300299adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  N  =/=  1 )
301 nnne1ge2 31381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
2  <_  N )
302298, 300, 301syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  <_  N )
30378a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR )
30471adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  N  e.  RR )
30573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR+ )
306303, 304, 305lediv1d 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 2  /  2 )  <_  ( N  / 
2 ) ) )
307302, 306mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  /  2
)  <_  ( N  /  2 ) )
308297, 307eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( N  /  2 ) )
309292adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
310275a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
311 flge 11922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
312309, 310, 311syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
313308, 312mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
314294, 313jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) ) )
315 elnnz1 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
316314, 315sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN )
317291, 316nnmulcld 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  NN )
318 nnuz 11129 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
319318a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  NN  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
320317, 319eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
32117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
322 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
323322zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
324323adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
325321, 324mulcld 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  e.  CC )
326325coscld 13744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  e.  CC )
327 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) ) )
328327fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
329320, 326, 328fsump1 13551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
33017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  pi  e.  CC )
331 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
332331zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
333330, 332mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
334333fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
335334rgen 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) )
336 sumeq2 13496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
337335, 336ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
338337a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
339 dirkertrigeqlem1 31721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
340316, 339syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
341338, 340eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  0 )
342293zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  CC )
34354, 342mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  CC )
344118, 343, 121adddid 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) ) )
345118, 54, 342mul13d 31361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
346279a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
347345, 346oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
348342, 217mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
349348, 118addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
350344, 347, 3493eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
351350fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( cos `  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
352 cosper 22741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
353118, 293, 352syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
354286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  pi )  =  -u 1 )
355351, 353, 3543eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
356355adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
357341, 356oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  -u 1
) )
358286, 277eqeltrri 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
359358addid2i 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
360359a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 0  +  -u
1 )  =  -u
1 )
361329, 357, 3603eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
362289, 361pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
363362adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
364259, 363eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
365364oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
) )
366365oveq1d 6310 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
367184, 188eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
368367adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
369257oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
370343, 121, 118adddird 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
371118mulid2d 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  pi )  =  pi )
372371oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  pi ) )
373343, 118mulcld 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  e.  CC )
374373, 118addcomd 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
375370, 372, 3743eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
376375adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) ) )
37754, 342mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 ) )
378377oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  2 )  x.  pi ) )
379342, 54, 118mulassd 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
380378, 379eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
381380oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
382381adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
pi  +  ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
383369, 376, 3823eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
384383oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
385218adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
38617a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
387348adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
388385, 386, 387addassd 9630 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
389388eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
390384, 389eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
391390fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
392391oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
393218, 118addcld 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC )
394393, 293jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
395 sinper 22740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
396394, 395syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
397 sinppi 22748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
398218, 397syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
)  =  -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )
399396, 398eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
400399oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) ) )
401220oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
402219negcld 9929 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
403402, 219, 217, 241, 242divdiv1d 10363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
404403eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( (
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
405219, 219, 241divnegd 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
406405eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )
407245negeqd 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
408406, 407eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
409408oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
410 divdiv1 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( -u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
411358, 97, 102, 410mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) )
412411eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( -u
1  /  2 )  /  pi )
41392, 13negsubi 9909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( ( 1  / 
2 )  -  1 )
41413, 92negsubdi2i 9917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  - 
1 )
415414eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 )  -  1 )  = 
-u ( 1  -  ( 1  /  2
) )
416 1mhlfehlf 10770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
417416negeqi 9825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 1  / 
2 )
418 divneg 10251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 ) )
41913, 7, 55, 418mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 )
420417, 419eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 1  /  2 )
421413, 415, 4203eqtri 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( -u 1  / 
2 )
422421oveq1i 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi )  =  ( ( -u
1  /  2 )  /  pi )
423422eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  /  pi )
424412, 423eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  /  pi )
425424a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / 
( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
426404, 409, 4253eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi ) )
427400, 401, 4263eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
428427adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
429368, 392, 4283eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
430252, 366, 4293eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
431251, 430pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ...cfz 11684   |_cfl 11907    mod cmo 11976   sum_csu 13488   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608