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Theorem dirkertrigeqlem3 32124
Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of  pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem3.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeqlem3.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
dirkertrigeqlem3.a  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, N    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeqlem3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
32oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( n  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
4 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
54zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
65adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  CC )
7 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  2  e.  CC )
8 dirkertrigeqlem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
98zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
109adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  CC )
117, 10mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  K )  e.  CC )
12 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
1311, 12addcld 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
14 picn 23021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  pi  e.  CC )
1613, 15mulcld 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
176, 16mulcomd 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi )  x.  n ) )
1813, 15, 6mulassd 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n
) ) )
1915, 6mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2011, 12, 19adddird 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( 1  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2111, 19mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2212, 19mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2321, 22addcomd 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  pi  e.  CC )
2524, 5mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2625mulid2d 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
2726adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
287, 10, 15, 6mul4d 9781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n
) ) )
297, 15mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
3010, 6mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  CC )
3129, 30mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
3228, 31eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
3327, 32oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3423, 33eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3518, 20, 343eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
363, 17, 353eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3736fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
388adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
394adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  ZZ )
4038, 39zmulcld 10971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  ZZ )
41 cosper 23044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  x.  n
)  e.  CC  /\  ( K  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )
4219, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4337, 42eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4443sumeq2dv 13610 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4544oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) ) )
4645oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
4746adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
48 dirkertrigeqlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4948nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
50 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
51 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5349, 50, 52divcan2d 10318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
5453eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) )
5554oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2
) ) ) )
5655sumeq1d 13608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
5756adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
5814a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
59 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6059zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  CC )
6158, 60mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
6261fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6362rgen 2814 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) )
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6564sumeq2d 13609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
66 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =  0 )
6748nnred 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6867adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  RR )
69 2rp 11226 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
70 mod0 11985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  -> 
( ( N  mod  2 )  =  0  <-> 
( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
7168, 69, 70sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  0  <->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ ) )
7266, 71mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
73 2re 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
7548nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
76 2pos 10623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
7867, 74, 75, 77divgt0d 10476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
7978adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
80 elnnz 10870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  <->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  2
) ) )
8172, 79, 80sylanbrc 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  NN )
82 dirkertrigeqlem1 32122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
8381, 82syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
8457, 65, 833eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  0 )
8584oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  0 ) )
86 halfcn 10751 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
8786addid1i 9756 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  0 )  =  ( 1  /  2
)
8885, 87syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( 1  /  2 ) )
8988oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi )  =  ( (
1  /  2 )  /  pi ) )
90 ax-1cn 9539 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
91 2cnne0 10746 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
92 pire 23020 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
93 pipos 23022 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
9492, 93gt0ne0ii 10085 . . . . . . 7  |-  pi  =/=  0
9514, 94pm3.2i 453 . . . . . 6  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
96 divdiv1 10251 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( 1  /  2
)  /  pi )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
9790, 91, 95, 96mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) )
9897a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
9947, 89, 983eqtrd 2499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1001oveq2i 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
101100a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
10286a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
10349, 102addcld 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10450, 9mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
105 peano2cn 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  +  1 )  e.  CC )
10714a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
108103, 106, 107mulassd 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
109 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11049, 102, 104, 109muladdd 10010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( N  x.  (
2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) ) ) ) )
11149, 50, 9mul12d 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
2  x.  K ) )  =  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )
112102mulid2d 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
113111, 112oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( 2  x.  K
) )  +  ( 1  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
11449mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
11550, 9mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  =  ( K  x.  2 ) )
116115oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( ( K  x.  2 )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
1179, 50, 102mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ) )
118 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
119118, 51recidi 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
120119oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( K  x.  1 )
1219mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
122120, 121syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  x.  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  K )
123116, 117, 1223eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  K )
124114, 123oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( N  +  K ) )
125113, 124oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( 2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  (
1  /  2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( N  +  K ) ) )
12649, 9mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  CC )
12750, 126mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  e.  CC )
12849, 9addcld 9604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  K
)  e.  CC )
129127, 102, 128addassd 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
130110, 125, 1293eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
131102, 128addcld 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  e.  CC )
132127, 131addcomd 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N  x.  K
) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K
) ) ) )
13350, 126mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  =  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )
134133oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
135130, 132, 1343eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
136135oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi ) )
137126, 50mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  K )  x.  2 )  e.  CC )
138131, 137, 107adddird 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) ) )
139126, 50, 107mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
140139oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
141136, 138, 1403eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
142101, 108, 1413eqtr2d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
143142fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
144131, 107mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC )
14548nnzd 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
146145, 8zmulcld 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  ZZ )
147 sinper 23043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  x.  K )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
148144, 146, 147syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
149102, 128addcomd 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( N  +  K )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
15049, 9, 102addassd 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  K )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1519, 102addcld 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
15249, 151addcomd 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
153149, 150, 1523eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
154153oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )
155154fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
156143, 148, 1553eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
1571a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )
158157oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) )
159106, 107, 50, 52div23d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2 )  x.  pi ) )
160104, 109, 50, 52divdird 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  K
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
1619, 50, 52divcan3d 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  /  2
)  =  K )
162161oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
163160, 162eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
164163oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  / 
2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
165158, 159, 1643eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
166165fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
167166oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
168156, 167oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
169168adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
170151, 49, 107adddird 9610 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )
171170fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) ) )
172171oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
173172adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
17449halfcld 10779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
17550, 174mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
17653, 175eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
177176oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( (
( N  /  2
)  x.  2 )  x.  pi ) )
178174, 50, 107mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  /  2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
179177, 178eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
180179oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
181180fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
182181adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
1839adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  K  e.  CC )
184 1cnd 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
185184halfcld 10779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
186183, 185addcld 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
18714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
188186, 187mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
189 sinper 23043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
190188, 72, 189syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
191182, 190eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
19250, 107mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
193151, 107mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC )
194193sincld 13950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
195192, 194mulcomd 9606 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
196195adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
197191, 196oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
19894a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
199151, 107, 198divcan4d 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  /  pi )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2008zred 10965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
20169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
202201rpreccld 11269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
203200, 202ltaddrpd 11288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
204 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
205204rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
206 halflt1 10753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <  1
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
208205, 204, 200, 207ltadd2dd 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  +  1 ) )
209 btwnnz 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  K  <  ( K  +  ( 1  /  2
) )  /\  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  + 
1 ) )  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
2108, 203, 208, 209syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2
) )  e.  ZZ )
211199, 210eqneltrd 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ )
212 sineq0 23083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
213193, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
214211, 213mtbird 299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0 )
215214neqned 2657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =/=  0 )
21650, 107, 52, 198mulne0d 10197 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
217194, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10347 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
218194, 215dividd 10314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) )  =  1 )
219218oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
220217, 219eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
221220adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
222197, 221eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
223169, 173, 2223eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
22499, 223eqtrd 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
22546adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi ) )
226145adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
227 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  0 )
228227neqned 2657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0 )
229 oddfl 31702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =/=  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )
230226, 228, 229syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )
231230oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )
232231sumeq1d 13608 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
233 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =  1  ->  ( N  /  2 )  =  ( 1  /  2
) )
234233fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  ( |_ `  (
1  /  2 ) ) )
235 halffl 31735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |_
`  ( 1  / 
2 ) )  =  0
236234, 235syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  0 )
237236oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
238 2t0e0 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
239237, 238syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  0 )
240239oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
24190addid2i 9757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
242240, 241syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  1 )
243242oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )  =  ( 1 ... 1
) )
244243sumeq1d 13608 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
245 1z 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
246 coscl 13947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
24714, 246ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
248 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  1 ) )
24914mulid1i 9587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
250248, 249syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  pi )
251250fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
252251fsum1 13649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
253245, 247, 252mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi )
254253a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi ) )
255 cospi 23034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
257244, 254, 2563eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
258257adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
259 2nn 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  NN )
26167rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
262261flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
263262adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
264 2div2e1 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  /  2 )  =  1
26573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR )
26667adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  N  e.  RR )
26769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR+ )
268 neqne 31677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  N  =  1  ->  N  =/=  1 )
269 nnne1ge2 31724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
2  <_  N )
27048, 268, 269syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  <_  N )
271265, 266, 267, 270lediv1dd 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  /  2
)  <_  ( N  /  2 ) )
272264, 271syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( N  /  2 ) )
273261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
274 flge 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
275273, 245, 274sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
276272, 275mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
277 elnnz1 10886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
278263, 276, 277sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN )
279260, 278nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  NN )
280 nnuz 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
281279, 280syl6eleq 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
28214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
283 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
284283zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
285284adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
286282, 285mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  e.  CC )
287286coscld 13951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  e.  CC )
288 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) ) )
289288fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
290281, 287, 289fsump1 13656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
29114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  pi  e.  CC )
292 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
293292zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
294291, 293mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
295294fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
296295sumeq2i 13606 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
297 dirkertrigeqlem1 32122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
298278, 297syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
299296, 298syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  0 )
300262zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  CC )
30150, 300mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  CC )
302107, 301, 109adddid 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) ) )
303107, 50, 300mul13d 31704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
304249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
305303, 304oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
306300, 192mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
307306, 107addcomd 9771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
308302, 305, 3073eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
309308fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( cos `  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
310 cosper 23044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
311107, 262, 310syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
312255a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  pi )  =  -u 1 )
313309, 311, 3123eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
314313adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
315299, 314oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  -u 1
) )
316 neg1cn 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
317316addid2i 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
318317a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 0  +  -u
1 )  =  -u
1 )
319290, 315, 3183eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
320258, 319pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
321320adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
322232, 321eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
323322oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
) )
324323oveq1d 6285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
325168, 172eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
326325adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
327230oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
328301, 109, 107adddird 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
329107mulid2d 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  pi )  =  pi )
330329oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  pi ) )
331301, 107mulcld 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  e.  CC )
332331, 107addcomd 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
333328, 330, 3323eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
334333adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) ) )
33550, 300mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 ) )
336335oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  2 )  x.  pi ) )
337300, 50, 107mulassd 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
338336, 337eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
339338oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
340339adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
pi  +  ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
341327, 334, 3403eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
342341oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
343193adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
34414a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
345306adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
346343, 344, 345addassd 9607 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
347342, 346eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
348347fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
349348oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
350193, 107addcld 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC )
351 sinper 23043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
352350, 262, 351syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
353 sinppi 23051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
354193, 353syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
)  =  -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )
355352, 354eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
356355oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) ) )
357195oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
358194, 194, 215divnegd 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
359218negeqd 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
360358, 359eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
361360oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
362194negcld 9909 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
363362, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10347 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
36486, 90negsubi 9888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( ( 1  / 
2 )  -  1 )
36590, 86negsubdi2i 9897 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  - 
1 )
366 1mhlfehlf 10754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
367366negeqi 9804 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 1  / 
2 )
368 divneg 10235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 ) )
36990, 118, 51, 368mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 )
370367, 369eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 1  /  2 )
371364, 365, 3703eqtr2i 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( -u 1  / 
2 )
372371oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi )  =  ( ( -u
1  /  2 )  /  pi )
373 divdiv1 10251 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( -u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
374316, 91, 95, 373mp3an 1322 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) )
375372, 374eqtr2i 2484 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  /  pi )
376375a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / 
( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
377361, 363, 3763eqtr3d 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi ) )
378356, 357, 3773eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
379378adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
380326, 349, 3793eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
381225, 324, 3803eqtrd 2499 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
382224, 381pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ...cfz 11675   |_cfl 11908    mod cmo 11978   sum_csu 13593   sincsin 13884   cosccos 13885   picpi 13887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
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