Theorem dirkertrigeqlem3 38074

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkertrigeqlem3.k	|- ( ph -> K e. ZZ )
dirkertrigeqlem3.a	|- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3	|- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   ph, n

Allowed substitution hints:   A( n)   K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeqlem3.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
3	2	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
4		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. ZZ )
5	4	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. CC )
6	5	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. CC )
7		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 2 e. CC )
8		dirkertrigeqlem3.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. ZZ )
9	8	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. CC )
10	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. CC )
11	7, 10	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
12		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. CC )
13	11, 12	addcld 9680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
14		picn 23493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> pi e. CC )
16	13, 15	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) e. CC )
17	6, 16	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) )
18	13, 15, 6	mulassd 9684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) )
19	15, 6	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
20	11, 12, 19	adddird 9686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) )
21	11, 19	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) e. CC )
22	12, 19	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) e. CC )
23	21, 22	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) )
24	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> pi e. CC )
25	24, 5	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( pi x. n ) e. CC )
26	25	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
27	26	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
28	7, 10, 15, 6	mul4d 9863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) )
29	7, 15	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
30	10, 6	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. CC )
31	29, 30	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
32	28, 31	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
33	27, 32	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
34	23, 33	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
35	18, 20, 34	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
36	3, 17, 35	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
37	36	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
38	8	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
39	4	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. ZZ )
40	38, 39	zmulcld 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. ZZ )
41		cosper 23516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi x. n ) e. CC /\ ( K x. n ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
42	19, 40, 41	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
43	37, 42	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
44	43	sumeq2dv 13846	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
45	44	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) )
46	45	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
47	46	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
48		dirkertrigeqlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
49	48	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
50		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
51		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
53	49, 50, 52	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
54	53	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N = ( 2 x. ( N / 2 ) ) )
55	54	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13844	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
57	56	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
58	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> pi e. CC )
59		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. ZZ )
60	59	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. CC )
61	58, 60	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
62	61	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
63	62	rgen 2766	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
65	64	sumeq2d 13845	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) = 0 )
67	48	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. RR )
69		2rp 11330	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
70		mod0 12136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
71	68, 69, 70	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
72	66, 71	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
73		2re 10701	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
75	48	nngt0d 10675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < N )
76		2pos 10723	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
78	67, 74, 75, 77	divgt0d 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( N / 2 ) )
79	78	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 0 < ( N / 2 ) )
80		elnnz 10971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( N / 2 ) ) )
81	72, 79, 80	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. NN )
82		dirkertrigeqlem1 38072	. . . . . . . . 9 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
84	57, 65, 83	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
85	84	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + 0 ) )
86		halfcn 10852	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
87	86	addid1i 9838	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) + 0 ) = ( 1 / 2 )
88	85, 87	syl6eq 2521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( 1 / 2 ) )
89	88	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( 1 / 2 ) / pi ) )
90		ax-1cn 9615	. . . . . 6 |- 1 e. CC
91		2cnne0 10847	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
92		pire 23492	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
93		pipos 23494	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
94	92, 93	gt0ne0ii 10171	. . . . . . 7 |- pi =/= 0
95	14, 94	pm3.2i 462	. . . . . 6 |- ( pi e. CC /\ pi =/= 0 )
96		divdiv1 10340	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
97	90, 91, 95, 96	mp3an 1390	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) )
98	97	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
99	47, 89, 98	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
100	1	oveq2i 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
102	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
103	49, 102	addcld 9680	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
104	50, 9	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
105		peano2cn 9823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. K ) e. CC -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
107	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
109		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
110	49, 102, 104, 109	muladdd 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) )
111	49, 50, 9	mul12d 9860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. ( 2 x. K ) ) = ( 2 x. ( N x. K ) ) )
112	102	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
113	111, 112	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
114	49	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
115	50, 9	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K x. 2 ) )
116	115	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
117	9, 50, 102	mulassd 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) )
118		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
119	118, 51	recidi 10360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
120	119	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( K x. 1 )
121	9	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K x. 1 ) = K )
122	120, 121	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = K )
123	116, 117, 122	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = K )
124	114, 123	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( N + K ) )
125	113, 124	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) )
126	49, 9	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. K ) e. CC )
127	50, 126	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) e. CC )
128	49, 9	addcld 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + K ) e. CC )
129	127, 102, 128	addassd 9683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
130	110, 125, 129	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
131	102, 128	addcld 9680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) e. CC )
132	127, 131	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) )
133	50, 126	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) = ( ( N x. K ) x. 2 ) )
134	133	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
135	130, 132, 134	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
136	135	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) )
137	126, 50	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N x. K ) x. 2 ) e. CC )
138	131, 137, 107	adddird 9686	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) )
139	126, 50, 107	mulassd 9684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) )
140	139	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
141	136, 138, 140	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
142	101, 108, 141	3eqtr2d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
143	142	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
144	131, 107	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC )
145	48	nnzd 11062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
146	145, 8	zmulcld 11069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N x. K ) e. ZZ )
147		sinper 23515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N x. K ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
148	144, 146, 147	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
149	102, 128	addcomd 9853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) )
150	49, 9, 102	addassd 9683	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) )
151	9, 102	addcld 9680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
152	49, 151	addcomd 9853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
153	149, 150, 152	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
154	153	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) )
155	154	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
156	143, 148, 155	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
157	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
158	157	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) )
159	106, 107, 50, 52	div23d 10442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) )
160	104, 109, 50, 52	divdird 10443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
161	9, 50, 52	divcan3d 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) / 2 ) = K )
162	161	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
164	163	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
165	158, 159, 164	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
166	165	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
167	166	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
168	156, 167	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
169	168	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
170	151, 49, 107	adddird 9686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) )
171	170	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) )
172	171	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
173	172	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
174	49	halfcld 10880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. CC )
175	50, 174	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
176	53, 175	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
177	176	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
178	174, 50, 107	mulassd 9684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
179	177, 178	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
180	179	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
181	180	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
182	181	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
183	9	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> K e. CC )
184		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 1 e. CC )
185	184	halfcld 10880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
186	183, 185	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
187	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
188	186, 187	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
189		sinper 23515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
190	188, 72, 189	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
191	182, 190	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
192	50, 107	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. CC )
193	151, 107	mulcld 9681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
194	193	sincld 14261	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
195	192, 194	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
196	195	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
198	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi =/= 0 )
199	151, 107, 198	divcan4d 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
200	8	zred 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
201	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
202	201	rpreccld 11374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
203	200, 202	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K < ( K + ( 1 / 2 ) ) )
204		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
205	204	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
206		halflt1 10854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) < 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
208	205, 204, 200, 207	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) )
209		btwnnz 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ K < ( K + ( 1 / 2 ) ) /\ ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) ) -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
210	8, 203, 208, 209	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
211	199, 210	eqneltrd 2568	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ )
212		sineq0 23555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
213	193, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
214	211, 213	mtbird 308	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 )
215	214	neqned 2650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) =/= 0 )
216	50, 107, 52, 198	mulne0d 10286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
217	194, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
218	194, 215	dividd 10403	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = 1 )
219	218	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
220	217, 219	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
221	220	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
222	197, 221	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
223	169, 173, 222	3eqtrrd 2510	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
224	99, 223	eqtrd 2505	. 2 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
225	46	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
226	145	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. ZZ )
227		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
228	227	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
229		oddfl 37577	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) =/= 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
230	226, 228, 229	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
231	230	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
232	231	sumeq1d 13844	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
233		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = 1 -> ( N / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
234	233	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) )
235		halffl 37601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) = 0
236	234, 235	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = 0 )
237	236	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
238		2t0e0 10788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. 0 ) = 0
239	237, 238	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = 0 )
240	239	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
241	90	addid2i 9839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
242	240, 241	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = 1 )
243	242	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... 1 ) )
244	243	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
245		1z 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
246		coscl 14258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
247	14, 246	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` pi ) e. CC
248		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = ( pi x. 1 ) )
249	14	mulid1i 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi x. 1 ) = pi
250	248, 249	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = pi )
251	250	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
252	251	fsum1 13885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
253	245, 247, 252	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi )
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
255		cospi 23506	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos ` pi ) = -u 1
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
257	244, 254, 256	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
258	257	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
259		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
260	259	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. NN )
261	67	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. RR )
262	261	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
263	262	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
264		2div2e1 10755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 / 2 ) = 1
265	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR )
266	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> N e. RR )
267	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR+ )
268		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N = 1 -> N =/= 1 )
269		nnne1ge2 37594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> 2 <_ N )
270	48, 268, 269	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 <_ N )
271	265, 266, 267, 270	lediv1dd 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 / 2 ) <_ ( N / 2 ) )
272	264, 271	syl5eqbrr 4430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
273	261	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( N / 2 ) e. RR )
274		flge 12074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
275	273, 245, 274	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
276	272, 275	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) )
277		elnnz1 10987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
278	263, 276, 277	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN )
279	260, 278	nnmulcld 10679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. NN )
280		nnuz 11218	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
281	279, 280	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
282	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
283		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
284	283	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. CC )
285	284	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. CC )
286	282, 285	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
287	286	coscld 14262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) e. CC )
288		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( pi x. n ) = ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
289	288	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
290	281, 287, 289	fsump1 13894	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
291	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> pi e. CC )
292		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. ZZ )
293	292	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. CC )
294	291, 293	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
295	294	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
296	295	sumeq2i 13842	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
297		dirkertrigeqlem1 38072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
298	278, 297	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
299	296, 298	syl5eq 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
300	262	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. CC )
301	50, 300	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. CC )
302	107, 301, 109	adddid 9685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) )
303	107, 50, 300	mul13d 37579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
304	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. 1 ) = pi )
305	303, 304	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
306	300, 192	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
307	306, 107	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
308	302, 305, 307	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
309	308	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
310		cosper 23516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
311	107, 262, 310	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
312	255	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
313	309, 311, 312	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
314	313	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
315	299, 314	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
316		neg1cn 10735	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
317	316	addid2i 9839	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 0 + -u 1 ) = -u 1 )
319	290, 315, 318	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
320	258, 319	pm2.61dan 808	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
321	320	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
322	232, 321	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
323	322	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) )
324	323	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
325	168, 172	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
326	325	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
327	230	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) )
328	301, 109, 107	adddird 9686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
329	107	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
330	329	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) )
331	301, 107	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) e. CC )
332	331, 107	addcomd 9853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
333	328, 330, 332	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
334	333	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
335	50, 300	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) )
336	335	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) )
337	300, 50, 107	mulassd 9684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
338	336, 337	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
339	338	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
340	339	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
341	327, 334, 340	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
342	341	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
343	193	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
344	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
345	306	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
346	343, 344, 345	addassd 9683	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
347	342, 346	eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
348	347	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
349	348	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
350	193, 107	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC )
351		sinper 23515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
352	350, 262, 351	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
353		sinppi 23523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
354	193, 353	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
355	352, 354	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
356	355	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
357	195	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
358	194, 194, 215	divnegd 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
359	218	negeqd 9889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
360	358, 359	eqtr3d 2507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
361	360	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
362	194	negcld 9992	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
363	362, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
364	86, 90	negsubi 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
365	90, 86	negsubdi2i 9980	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
366		1mhlfehlf 10855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
367	366	negeqi 9888	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 1 / 2 )
368		divneg 10324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 ) )
369	90, 118, 51, 368	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 )
370	367, 369	eqtri 2493	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 1 / 2 )
371	364, 365, 370	3eqtr2i 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( -u 1 / 2 )
372	371	oveq1i 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( -u 1 / 2 ) / pi )
373		divdiv1 10340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
374	316, 91, 95, 373	mp3an 1390	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) )
375	372, 374	eqtr2i 2494	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi )
376	375	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
377	361, 363, 376	3eqtr3d 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
378	356, 357, 377	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
379	378	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
380	326, 349, 379	3eqtrrd 2510	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
381	225, 324, 380	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
382	224, 381	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   mod cmo 12129   sum_csu 13829   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  38075