Theorem dirkertrigeqlem3 37530

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkertrigeqlem3.k	|- ( ph -> K e. ZZ )
dirkertrigeqlem3.a	|- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3	|- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   ph, n

Allowed substitution hints:   A( n)   K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeqlem3.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
3	2	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
4		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. ZZ )
5	4	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. CC )
6	5	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. CC )
7		2cnd 10682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 2 e. CC )
8		dirkertrigeqlem3.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. ZZ )
9	8	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. CC )
10	9	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. CC )
11	7, 10	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
12		1cnd 9658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. CC )
13	11, 12	addcld 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
14		picn 23279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> pi e. CC )
16	13, 15	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) e. CC )
17	6, 16	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) )
18	13, 15, 6	mulassd 9665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) )
19	15, 6	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
20	11, 12, 19	adddird 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) )
21	11, 19	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) e. CC )
22	12, 19	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) e. CC )
23	21, 22	addcomd 9834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) )
24	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> pi e. CC )
25	24, 5	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( pi x. n ) e. CC )
26	25	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
27	26	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
28	7, 10, 15, 6	mul4d 9844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) )
29	7, 15	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
30	10, 6	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. CC )
31	29, 30	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
32	28, 31	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
33	27, 32	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
34	23, 33	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
35	18, 20, 34	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
36	3, 17, 35	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
37	36	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
38	8	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
39	4	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. ZZ )
40	38, 39	zmulcld 11046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. ZZ )
41		cosper 23302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi x. n ) e. CC /\ ( K x. n ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
42	19, 40, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
43	37, 42	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
44	43	sumeq2dv 13747	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
45	44	oveq2d 6321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) )
46	45	oveq1d 6320	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
47	46	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
48		dirkertrigeqlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
49	48	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
50		2cnd 10682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
51		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
53	49, 50, 52	divcan2d 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
54	53	eqcomd 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N = ( 2 x. ( N / 2 ) ) )
55	54	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13745	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
57	56	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
58	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> pi e. CC )
59		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. ZZ )
60	59	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. CC )
61	58, 60	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
62	61	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
63	62	rgen 2792	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
65	64	sumeq2d 13746	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) = 0 )
67	48	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
68	67	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. RR )
69		2rp 11307	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
70		mod0 12100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
71	68, 69, 70	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
72	66, 71	mpbid 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
73		2re 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
75	48	nngt0d 10653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < N )
76		2pos 10701	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
78	67, 74, 75, 77	divgt0d 10542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( N / 2 ) )
79	78	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 0 < ( N / 2 ) )
80		elnnz 10947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( N / 2 ) ) )
81	72, 79, 80	sylanbrc 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. NN )
82		dirkertrigeqlem1 37528	. . . . . . . . 9 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
84	57, 65, 83	3eqtrd 2474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
85	84	oveq2d 6321	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + 0 ) )
86		halfcn 10829	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
87	86	addid1i 9819	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) + 0 ) = ( 1 / 2 )
88	85, 87	syl6eq 2486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( 1 / 2 ) )
89	88	oveq1d 6320	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( 1 / 2 ) / pi ) )
90		ax-1cn 9596	. . . . . 6 |- 1 e. CC
91		2cnne0 10824	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
92		pire 23278	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
93		pipos 23280	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
94	92, 93	gt0ne0ii 10149	. . . . . . 7 |- pi =/= 0
95	14, 94	pm3.2i 456	. . . . . 6 |- ( pi e. CC /\ pi =/= 0 )
96		divdiv1 10317	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
97	90, 91, 95, 96	mp3an 1360	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) )
98	97	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
99	47, 89, 98	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
100	1	oveq2i 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
102	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
103	49, 102	addcld 9661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
104	50, 9	mulcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
105		peano2cn 9804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. K ) e. CC -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
107	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 9665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
109		1cnd 9658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
110	49, 102, 104, 109	muladdd 10075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) )
111	49, 50, 9	mul12d 9841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. ( 2 x. K ) ) = ( 2 x. ( N x. K ) ) )
112	102	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
113	111, 112	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
114	49	mulid1d 9659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
115	50, 9	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K x. 2 ) )
116	115	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
117	9, 50, 102	mulassd 9665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) )
118		2cn 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
119	118, 51	recidi 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
120	119	oveq2i 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( K x. 1 )
121	9	mulid1d 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K x. 1 ) = K )
122	120, 121	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = K )
123	116, 117, 122	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = K )
124	114, 123	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( N + K ) )
125	113, 124	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) )
126	49, 9	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. K ) e. CC )
127	50, 126	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) e. CC )
128	49, 9	addcld 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + K ) e. CC )
129	127, 102, 128	addassd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
130	110, 125, 129	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
131	102, 128	addcld 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) e. CC )
132	127, 131	addcomd 9834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) )
133	50, 126	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) = ( ( N x. K ) x. 2 ) )
134	133	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
135	130, 132, 134	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
136	135	oveq1d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) )
137	126, 50	mulcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N x. K ) x. 2 ) e. CC )
138	131, 137, 107	adddird 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) )
139	126, 50, 107	mulassd 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) )
140	139	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
141	136, 138, 140	3eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
142	101, 108, 141	3eqtr2d 2476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
143	142	fveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
144	131, 107	mulcld 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC )
145	48	nnzd 11039	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
146	145, 8	zmulcld 11046	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N x. K ) e. ZZ )
147		sinper 23301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N x. K ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
148	144, 146, 147	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
149	102, 128	addcomd 9834	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) )
150	49, 9, 102	addassd 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) )
151	9, 102	addcld 9661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
152	49, 151	addcomd 9834	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
153	149, 150, 152	3eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
154	153	oveq1d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) )
155	154	fveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
156	143, 148, 155	3eqtrd 2474	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
157	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
158	157	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) )
159	106, 107, 50, 52	div23d 10419	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) )
160	104, 109, 50, 52	divdird 10420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
161	9, 50, 52	divcan3d 10387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) / 2 ) = K )
162	161	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
164	163	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
165	158, 159, 164	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
166	165	fveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
167	166	oveq2d 6321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
168	156, 167	oveq12d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
169	168	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
170	151, 49, 107	adddird 9667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) )
171	170	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) )
172	171	oveq1d 6320	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
173	172	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
174	49	halfcld 10857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. CC )
175	50, 174	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
176	53, 175	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
177	176	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
178	174, 50, 107	mulassd 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
179	177, 178	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
180	179	oveq2d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
181	180	fveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
182	181	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
183	9	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> K e. CC )
184		1cnd 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 1 e. CC )
185	184	halfcld 10857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
186	183, 185	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
187	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
188	186, 187	mulcld 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
189		sinper 23301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
190	188, 72, 189	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
191	182, 190	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
192	50, 107	mulcld 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. CC )
193	151, 107	mulcld 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
194	193	sincld 14162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
195	192, 194	mulcomd 9663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
196	195	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
198	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi =/= 0 )
199	151, 107, 198	divcan4d 10388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
200	8	zred 11040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
201	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
202	201	rpreccld 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
203	200, 202	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K < ( K + ( 1 / 2 ) ) )
204		1red 9657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
205	204	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
206		halflt1 10831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) < 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
208	205, 204, 200, 207	ltadd2dd 9793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) )
209		btwnnz 11012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ K < ( K + ( 1 / 2 ) ) /\ ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) ) -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
210	8, 203, 208, 209	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
211	199, 210	eqneltrd 2538	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ )
212		sineq0 23341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
213	193, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
214	211, 213	mtbird 302	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 )
215	214	neqned 2634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) =/= 0 )
216	50, 107, 52, 198	mulne0d 10263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
217	194, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
218	194, 215	dividd 10380	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = 1 )
219	218	oveq1d 6320	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
220	217, 219	eqtr3d 2472	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
221	220	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
222	197, 221	eqtrd 2470	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
223	169, 173, 222	3eqtrrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
224	99, 223	eqtrd 2470	. 2 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
225	46	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
226	145	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. ZZ )
227		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
228	227	neqned 2634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
229		oddfl 37095	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) =/= 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
230	226, 228, 229	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
231	230	oveq2d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
232	231	sumeq1d 13745	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
233		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = 1 -> ( N / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
234	233	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) )
235		halffl 37121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) = 0
236	234, 235	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = 0 )
237	236	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
238		2t0e0 10765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. 0 ) = 0
239	237, 238	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = 0 )
240	239	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
241	90	addid2i 9820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
242	240, 241	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = 1 )
243	242	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... 1 ) )
244	243	sumeq1d 13745	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
245		1z 10967	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
246		coscl 14159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
247	14, 246	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` pi ) e. CC
248		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = ( pi x. 1 ) )
249	14	mulid1i 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi x. 1 ) = pi
250	248, 249	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = pi )
251	250	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
252	251	fsum1 13786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
253	245, 247, 252	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi )
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
255		cospi 23292	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos ` pi ) = -u 1
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
257	244, 254, 256	3eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
258	257	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
259		2nn 10767	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
260	259	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. NN )
261	67	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. RR )
262	261	flcld 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
263	262	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
264		2div2e1 10732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 / 2 ) = 1
265	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR )
266	67	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> N e. RR )
267	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR+ )
268		neqne 37013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N = 1 -> N =/= 1 )
269		nnne1ge2 37113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> 2 <_ N )
270	48, 268, 269	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 <_ N )
271	265, 266, 267, 270	lediv1dd 11396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 / 2 ) <_ ( N / 2 ) )
272	264, 271	syl5eqbrr 4460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
273	261	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( N / 2 ) e. RR )
274		flge 12038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
275	273, 245, 274	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
276	272, 275	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) )
277		elnnz1 10963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
278	263, 276, 277	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN )
279	260, 278	nnmulcld 10657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. NN )
280		nnuz 11194	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
281	279, 280	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
282	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
283		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
284	283	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. CC )
285	284	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. CC )
286	282, 285	mulcld 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
287	286	coscld 14163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) e. CC )
288		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( pi x. n ) = ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
289	288	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
290	281, 287, 289	fsump1 13795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
291	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> pi e. CC )
292		elfzelz 11798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. ZZ )
293	292	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. CC )
294	291, 293	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
295	294	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
296	295	sumeq2i 13743	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
297		dirkertrigeqlem1 37528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
298	278, 297	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
299	296, 298	syl5eq 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
300	262	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. CC )
301	50, 300	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. CC )
302	107, 301, 109	adddid 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) )
303	107, 50, 300	mul13d 37097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
304	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. 1 ) = pi )
305	303, 304	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
306	300, 192	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
307	306, 107	addcomd 9834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
308	302, 305, 307	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
309	308	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
310		cosper 23302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
311	107, 262, 310	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
312	255	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
313	309, 311, 312	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
314	313	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
315	299, 314	oveq12d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
316		neg1cn 10713	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
317	316	addid2i 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 0 + -u 1 ) = -u 1 )
319	290, 315, 318	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
320	258, 319	pm2.61dan 798	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
321	320	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
322	232, 321	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
323	322	oveq2d 6321	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) )
324	323	oveq1d 6320	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
325	168, 172	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
326	325	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
327	230	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) )
328	301, 109, 107	adddird 9667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
329	107	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
330	329	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) )
331	301, 107	mulcld 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) e. CC )
332	331, 107	addcomd 9834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
333	328, 330, 332	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
334	333	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
335	50, 300	mulcomd 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) )
336	335	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) )
337	300, 50, 107	mulassd 9665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
338	336, 337	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
339	338	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
340	339	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
341	327, 334, 340	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
342	341	oveq2d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
343	193	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
344	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
345	306	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
346	343, 344, 345	addassd 9664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
347	342, 346	eqtr4d 2473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
348	347	fveq2d 5885	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
349	348	oveq1d 6320	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
350	193, 107	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC )
351		sinper 23301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
352	350, 262, 351	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
353		sinppi 23309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
354	193, 353	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
355	352, 354	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
356	355	oveq1d 6320	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
357	195	oveq2d 6321	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
358	194, 194, 215	divnegd 10395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
359	218	negeqd 9868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
360	358, 359	eqtr3d 2472	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
361	360	oveq1d 6320	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
362	194	negcld 9972	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
363	362, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
364	86, 90	negsubi 9951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
365	90, 86	negsubdi2i 9960	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
366		1mhlfehlf 10832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
367	366	negeqi 9867	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 1 / 2 )
368		divneg 10301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 ) )
369	90, 118, 51, 368	mp3an 1360	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 )
370	367, 369	eqtri 2458	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 1 / 2 )
371	364, 365, 370	3eqtr2i 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( -u 1 / 2 )
372	371	oveq1i 6315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( -u 1 / 2 ) / pi )
373		divdiv1 10317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
374	316, 91, 95, 373	mp3an 1360	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) )
375	372, 374	eqtr2i 2459	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi )
376	375	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
377	361, 363, 376	3eqtr3d 2478	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
378	356, 357, 377	3eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
379	378	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
380	326, 349, 379	3eqtrrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
381	225, 324, 380	3eqtrd 2474	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
382	224, 381	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   -ucneg 9860   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11782   |_cfl 12023   mod cmo 12093   sum_csu 13730   sincsin 14094   cosccos 14095   picpi 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  37531