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Theorem dirkertrigeqlem3 38074
Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of  pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem3.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeqlem3.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
dirkertrigeqlem3.a  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, N    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeqlem3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
32oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( n  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
4 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
54zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
65adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  CC )
7 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  2  e.  CC )
8 dirkertrigeqlem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
98zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  CC )
117, 10mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  K )  e.  CC )
12 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
1311, 12addcld 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
14 picn 23493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  pi  e.  CC )
1613, 15mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
176, 16mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi )  x.  n ) )
1813, 15, 6mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n
) ) )
1915, 6mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2011, 12, 19adddird 9686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( 1  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2111, 19mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2212, 19mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  e.  CC )
2321, 22addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( pi  x.  n ) )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
) ) )
2414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  pi  e.  CC )
2524, 5mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
pi  x.  n )  e.  CC )
2625mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( pi  x.  n ) )
287, 10, 15, 6mul4d 9863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n
) ) )
297, 15mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
3010, 6mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  CC )
3129, 30mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( K  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
3228, 31eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 2  x.  K
)  x.  ( pi  x.  n ) )  =  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
3327, 32oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3423, 33eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( 2  x.  K )  x.  (
pi  x.  n )
)  +  ( 1  x.  ( pi  x.  n ) ) )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3518, 20, 343eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  x.  n )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
363, 17, 353eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
3736fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
388adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
394adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  ZZ )
4038, 39zmulcld 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K  x.  n )  e.  ZZ )
41 cosper 23516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  x.  n
)  e.  CC  /\  ( K  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
( pi  x.  n
)  +  ( ( K  x.  n )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )
4219, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( ( pi  x.  n )  +  ( ( K  x.  n )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4337, 42eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4443sumeq2dv 13846 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
4544oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) ) )
4645oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
4746adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi ) )
48 dirkertrigeqlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4948nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
50 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
51 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5349, 50, 52divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
5453eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) )
5554oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2
) ) ) )
5655sumeq1d 13844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  / 
2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
5756adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
5814a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
59 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6059zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  n  e.  CC )
6158, 60mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
6261fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( N  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6362rgen 2766 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) )
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  A. n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
6564sumeq2d 13845 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
66 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =  0 )
6748nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  RR )
69 2rp 11330 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
70 mod0 12136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  -> 
( ( N  mod  2 )  =  0  <-> 
( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
7168, 69, 70sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  0  <->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ ) )
7266, 71mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
73 2re 10701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
7548nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
76 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
7867, 74, 75, 77divgt0d 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
7978adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  0  <  ( N  /  2 ) )
80 elnnz 10971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  <->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  2
) ) )
8172, 79, 80sylanbrc 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  NN )
82 dirkertrigeqlem1 38072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( N  /  2 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
8457, 65, 833eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  0 )
8584oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  0 ) )
86 halfcn 10852 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
8786addid1i 9838 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  0 )  =  ( 1  /  2
)
8885, 87syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( 1  /  2 ) )
8988oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  /  pi )  =  ( (
1  /  2 )  /  pi ) )
90 ax-1cn 9615 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
91 2cnne0 10847 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
92 pire 23492 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
93 pipos 23494 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
9492, 93gt0ne0ii 10171 . . . . . . 7  |-  pi  =/=  0
9514, 94pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
96 divdiv1 10340 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( 1  /  2
)  /  pi )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
9790, 91, 95, 96mp3an 1390 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) )
9897a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
1  /  2 )  /  pi )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
9947, 89, 983eqtrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1001oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) )
101100a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
10286a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
10349, 102addcld 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10450, 9mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
105 peano2cn 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  +  1 )  e.  CC )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  +  1 )  e.  CC )
10714a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
108103, 106, 107mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi ) ) )
109 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11049, 102, 104, 109muladdd 10097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( N  x.  (
2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  ( 1  / 
2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) ) ) ) )
11149, 50, 9mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
2  x.  K ) )  =  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )
112102mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
113111, 112oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( 2  x.  K
) )  +  ( 1  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
11449mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
11550, 9mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  =  ( K  x.  2 ) )
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( ( K  x.  2 )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
1179, 50, 102mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ) )
118 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
119118, 51recidi 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
120119oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  x.  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( K  x.  1 )
1219mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
122120, 121syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  x.  (
2  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  K )
123116, 117, 1223eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  x.  (
1  /  2 ) )  =  K )
124114, 123oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( N  +  K ) )
125113, 124oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( 2  x.  K ) )  +  ( 1  x.  (
1  /  2 ) ) )  +  ( ( N  x.  1 )  +  ( ( 2  x.  K )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( N  +  K ) ) )
12649, 9mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  CC )
12750, 126mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  e.  CC )
12849, 9addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  K
)  e.  CC )
129127, 102, 128addassd 9683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
130110, 125, 1293eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  x.  K ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) ) ) )
131102, 128addcld 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  e.  CC )
132127, 131addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N  x.  K
) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K
) ) ) )
13350, 126mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  x.  K )
)  =  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )
134133oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  +  ( 2  x.  ( N  x.  K ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
135130, 132, 1343eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( 2  x.  K
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) ) )
136135oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi ) )
137126, 50mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  K )  x.  2 )  e.  CC )
138131, 137, 107adddird 9686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  +  ( ( N  x.  K )  x.  2 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) ) )
139126, 50, 107mulassd 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
140139oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( ( N  x.  K )  x.  2 )  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
141136, 138, 1403eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 2  x.  K )  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
142101, 108, 1413eqtr2d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
143142fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
144131, 107mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC )
14548nnzd 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
146145, 8zmulcld 11069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  x.  K
)  e.  ZZ )
147 sinper 23515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  x.  K )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 1  /  2
)  +  ( N  +  K ) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
148144, 146, 147syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  +  ( ( N  x.  K )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) ) )
149102, 128addcomd 9853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( N  +  K )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
15049, 9, 102addassd 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  K )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1519, 102addcld 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
15249, 151addcomd 9853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( K  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
153149, 150, 1523eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N ) )
154153oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( N  +  K
) )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )
155154fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( 1  / 
2 )  +  ( N  +  K ) )  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
156143, 148, 1553eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi ) ) )
1571a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( ( 2  x.  K
)  +  1 )  x.  pi ) )
158157oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) )
159106, 107, 50, 52div23d 10442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  x.  pi )  /  2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2 )  x.  pi ) )
160104, 109, 50, 52divdird 10443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( ( ( 2  x.  K
)  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
1619, 50, 52divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  /  2
)  =  K )
162161oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
163160, 162eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  /  2
)  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
164163oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  K )  +  1 )  / 
2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
165158, 159, 1643eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )
166165fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
167166oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
168156, 167oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
169168adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
170151, 49, 107adddird 9686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  +  N )  x.  pi )  =  ( (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )
171170fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) ) )
172171oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  +  N
)  x.  pi ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
173172adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  +  N )  x.  pi ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
17449halfcld 10880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
17550, 174mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
17653, 175eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  /  2 )  x.  2 ) )
177176oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( (
( N  /  2
)  x.  2 )  x.  pi ) )
178174, 50, 107mulassd 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  /  2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
179177, 178eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
180179oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
181180fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
182181adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
1839adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  K  e.  CC )
184 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
185184halfcld 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
186183, 185addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
18714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
188186, 187mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
189 sinper 23515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC  /\  ( N  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
190188, 72, 189syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( ( N  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
191182, 190eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
19250, 107mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
193151, 107mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  e.  CC )
194193sincld 14261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
195192, 194mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) )
196195adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
197191, 196oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
19894a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
199151, 107, 198divcan4d 10411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  /  pi )  =  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
2008zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
20169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
202201rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
203200, 202ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  ( 1  / 
2 ) ) )
204 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
205204rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
206 halflt1 10854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <  1
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
208205, 204, 200, 207ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  +  1 ) )
209 btwnnz 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  K  <  ( K  +  ( 1  /  2
) )  /\  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( K  + 
1 ) )  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
2108, 203, 208, 209syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( K  +  ( 1  /  2
) )  e.  ZZ )
211199, 210eqneltrd 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ )
212 sineq0 23555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
213193, 212syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0  <->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  /  pi )  e.  ZZ ) )
214211, 213mtbird 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  0 )
215214neqned 2650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  =/=  0 )
21650, 107, 52, 198mulne0d 10286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
217194, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
218194, 215dividd 10403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) )  =  1 )
219218oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  pi ) ) )
220217, 219eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  / 
( 2  x.  pi ) ) )
221220adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
222197, 221eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
223169, 173, 2223eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
22499, 223eqtrd 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
22546adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi ) )
226145adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
227 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  0 )
228227neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0 )
229 oddfl 37577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =/=  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )
230226, 228, 229syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  N  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )
231230oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )
232231sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
233 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =  1  ->  ( N  /  2 )  =  ( 1  /  2
) )
234233fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  ( |_ `  (
1  /  2 ) ) )
235 halffl 37601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |_
`  ( 1  / 
2 ) )  =  0
236234, 235syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  =  0 )
237236oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
238 2t0e0 10788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
239237, 238syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  =  0 )
240239oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
24190addid2i 9839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
242240, 241syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  1 )
243242oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) )  =  ( 1 ... 1
) )
244243sumeq1d 13844 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )
245 1z 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
246 coscl 14258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
24714, 246ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
248 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  1 ) )
24914mulid1i 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
250248, 249syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
pi  x.  n )  =  pi )
251250fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
252251fsum1 13885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  pi ) )
253245, 247, 252mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi )
254253a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  ( cos `  pi ) )
255 cospi 23506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
257244, 254, 2563eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
258257adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
259 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  NN )
26167rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
262261flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
263262adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
264 2div2e1 10755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  /  2 )  =  1
26573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR )
26667adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  N  e.  RR )
26769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  e.  RR+ )
268 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  N  =  1  ->  N  =/=  1 )
269 nnne1ge2 37594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
2  <_  N )
27048, 268, 269syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
2  <_  N )
271265, 266, 267, 270lediv1dd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  /  2
)  <_  ( N  /  2 ) )
272264, 271syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( N  /  2 ) )
273261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
274 flge 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
275273, 245, 274sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 1  <_  ( N  /  2 )  <->  1  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
276272, 275mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
1  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
277 elnnz1 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
278263, 276, 277sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN )
279260, 278nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  NN )
280 nnuz 11218 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
281279, 280syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
28214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
283 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
284283zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
285284adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
286282, 285mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  e.  CC )
287286coscld 14262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  N  =  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  e.  CC )
288 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  (
pi  x.  n )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 ) ) )
289288fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
290281, 287, 289fsump1 13894 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
29114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  pi  e.  CC )
292 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
293292zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
294291, 293mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( pi  x.  n )  =  ( n  x.  pi ) )
295294fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  ->  ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  ( cos `  ( n  x.  pi ) ) )
296295sumeq2i 13842 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
297 dirkertrigeqlem1 38072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
298278, 297syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
299296, 298syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) ) ( cos `  ( pi  x.  n
) )  =  0 )
300262zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  CC )
30150, 300mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  e.  CC )
302107, 301, 109adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) ) )
303107, 50, 300mul13d 37579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
304249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
305303, 304oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) ) )  +  ( pi  x.  1 ) )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
306300, 192mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
307306, 107addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
308302, 305, 3073eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
309308fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  ( cos `  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
310 cosper 23516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
311107, 262, 310syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
312255a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  pi )  =  -u 1 )
313309, 311, 3123eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
314313adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( cos `  (
pi  x.  ( (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) )  =  -u 1
)
315299, 314oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  +  ( cos `  ( pi  x.  (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  -u 1
) )
316 neg1cn 10735 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
317316addid2i 9839 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
318317a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  -> 
( 0  +  -u
1 )  =  -u
1 )
319290, 315, 3183eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
320258, 319pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 ) ) ( cos `  ( pi  x.  n ) )  =  -u 1 )
321320adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 ) ) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
322232, 321eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
)  =  -u 1
)
323322oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
pi  x.  n )
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
) )
324323oveq1d 6323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( pi  x.  n
) ) )  /  pi )  =  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
325168, 172eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
326325adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
327230oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
328301, 109, 107adddird 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( (
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
329107mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  pi )  =  pi )
330329oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi )  +  pi ) )
331301, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  e.  CC )
332331, 107addcomd 9853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi )  +  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
333328, 330, 3323eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
334333adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) ) )
33550, 300mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 ) )
336335oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  2 )  x.  pi ) )
337300, 50, 107mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
338336, 337eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
339338oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( pi  +  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
340339adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
pi  +  ( ( 2  x.  ( |_
`  ( N  / 
2 ) ) )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
341327, 334, 3403eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( N  x.  pi )  =  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
342341oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
343193adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC )
34414a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
345306adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
346343, 344, 345addassd 9683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  ( pi  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
347342, 346eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
348347fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
349348oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  ( N  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) ) )
350193, 107addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC )
351 sinper 23515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  e.  CC  /\  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
352350, 262, 351syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
) )
353 sinppi 23523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
354193, 353syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi )  +  pi )
)  =  -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )
355352, 354eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )
356355oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) ) )
357195oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
358194, 194, 215divnegd 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )
359218negeqd 9889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
360358, 359eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) ) )  =  -u 1 )
361360oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
362194negcld 9992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  e.  CC )
363362, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi ) )  / 
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  /  ( ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
36486, 90negsubi 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( ( 1  / 
2 )  -  1 )
36590, 86negsubdi2i 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  - 
1 )
366 1mhlfehlf 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
367366negeqi 9888 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( 1  / 
2 )
368 divneg 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 ) )
36990, 118, 51, 368mp3an 1390 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 )
370367, 369eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  -  ( 1  /  2 ) )  =  ( -u 1  /  2 )
371364, 365, 3703eqtr2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  =  ( -u 1  / 
2 )
372371oveq1i 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi )  =  ( ( -u
1  /  2 )  /  pi )
373 divdiv1 10340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( -u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) ) )
374316, 91, 95, 373mp3an 1390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  /  2
)  /  pi )  =  ( -u 1  /  ( 2  x.  pi ) )
375372, 374eqtr2i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  -u 1 )  /  pi )
376375a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / 
( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi ) )
377361, 363, 3763eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( sin `  ( ( K  +  ( 1  /  2
) )  x.  pi ) )  /  (
( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  -u 1
)  /  pi ) )
378356, 357, 3773eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
379378adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( ( ( K  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  pi )  +  pi )  +  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( K  +  ( 1  /  2 ) )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
-u 1 )  /  pi ) )
380326, 349, 3793eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  -u
1 )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
381225, 324, 3803eqtrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  /  pi )  =  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
382224, 381pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059    mod cmo 12129   sum_csu 13829   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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