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Theorem dirkertrigeqlem2 31722
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkertrigeqlem2.sinne0  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =/=  0 )
dirkertrigeqlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N    ph, n

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
32halfcld 10795 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
4 fzfid 12063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
5 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
65zcnd 10979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
76adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  CC )
8 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
98recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
109adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
117, 10mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  e.  CC )
1211coscld 13744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
134, 12fsumcl 13535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
143, 13addcld 9627 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
159sincld 13743 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
16 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =/=  0 )
1714, 15, 16divcan4d 10338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) ) )
1817eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) ) )
193, 13, 15adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) ) )
204, 15, 12fsummulc1 13580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )
2115adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2212, 21mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  ( n  x.  A
) ) ) )
23 sinmulcos 31524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( n  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
2410, 11, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
267, 25, 10adddird 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  +  1 )  x.  A )  =  ( ( n  x.  A )  +  ( 1  x.  A
) ) )
2725, 10mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  A )  e.  CC )
2811, 27addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 1  x.  A )  +  ( n  x.  A
) ) )
299mulid2d 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
3029oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  A )  +  ( n  x.  A ) )  =  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1  x.  A
)  +  ( n  x.  A ) )  =  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )
3226, 28, 313eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  +  ( n  x.  A ) )  =  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )  =  ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) ) )
3411, 10negsubdi2d 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( n  x.  A
)  -  A )  =  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )
3534eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  -  ( n  x.  A ) )  = 
-u ( ( n  x.  A )  -  A ) )
3635fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )  =  ( sin `  -u (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3711, 10subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  A )  e.  CC )
38 sinneg 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  x.  A
)  -  A )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( ( n  x.  A )  -  A ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  -u ( ( n  x.  A )  -  A ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
4036, 39eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
4133, 40oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  +  -u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) ) )
4210, 11addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  +  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
4342sincld 13743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
4433, 43eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
4537sincld 13743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) )  e.  CC )
4644, 45negsubd 9948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  +  -u ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) ) ) )
477, 25, 10subdird 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  -  1 )  x.  A )  =  ( ( n  x.  A )  -  ( 1  x.  A
) ) )
4829adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  A )  =  A )
4948oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( n  x.  A )  -  A ) )
5047, 49eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  A )  =  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )
5150fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) )  =  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )
5251oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
5341, 46, 523eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )  /  2
) )
5522, 24, 543eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) )  /  2 ) )
5655ralrimiva 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) )  /  2 ) )
5756sumeq2d 13504 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 ) )
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  CC  ->  n  e.  CC )
591a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  CC  ->  1  e.  CC )
6058, 59subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
617, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
6261, 10jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  -  1 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )
)
63 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  x.  A
)  e.  CC )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  -  1 )  x.  A )  e.  CC )
65 sincl 13739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  -  1 )  x.  A )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
6744, 66jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC ) )
68 subcl 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
704, 69fsumcl 13535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
71 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
73 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7570, 72, 74divrec2d 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
7675eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 ) )
774, 72, 69, 74fsumdivc 13581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 ) )
7876, 77eqtr2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
7920, 57, 783eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
8079oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
813, 15, 70adddid 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) ) )
8281eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( ( sin `  A )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) ) )
8319, 80, 823eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
8483oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  /  ( sin `  A ) ) )
8511sincld 13743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
8644, 85, 66npncand 9966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )
8786eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( n  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( n  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
8887ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( n  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( n  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
8988sumeq2d 13504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
9044, 85subcld 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
9185, 66subcld 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
924, 90, 91fsumadd 13541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( n  x.  A ) ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
93 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  (
j  x.  A )  =  ( n  x.  A ) )
9493fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
n  x.  A ) ) )
95 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
j  x.  A )  =  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) ) )
97 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  1  ->  (
j  x.  A )  =  ( 1  x.  A ) )
9897fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  1  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )
99 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  x.  A )  =  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )
10099fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )
101 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
102101nnzd 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
103 nnuz 11129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
105101, 104eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
106 peano2uz 11146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
108 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
109108zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  CC )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  j  e.  CC )
1119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
112110, 111mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
j  x.  A )  e.  CC )
113112sincld 13743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  e.  CC )
11494, 96, 98, 100, 102, 107, 113telfsum2 13599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) ) )
1151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
1166, 115pncand 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( n  +  1 )  -  1 )  =  n )
117116eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
119118oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
120119fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( n  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
121120oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
122121ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
123122sumeq2d 13504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
124 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
125124oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  n  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )
126125fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )
127 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
128127oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
129128fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
130 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  (
j  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
131130oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( 1  -  1 )  x.  A ) )
132131fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  1  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) ) )
133 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
134133oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
135134fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
1361a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
137110, 136subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  CC )
138137, 111mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  e.  CC )
139138sincld 13743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
140126, 129, 132, 135, 102, 107, 139telfsum2 13599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( 1  -  1 )  x.  A
) ) ) )
141101nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
142141recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
143142, 2pncand 9943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
144143oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  x.  A
)  =  ( N  x.  A ) )
145144fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )
1462subidd 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
147146oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  x.  A
)  =  ( 0  x.  A ) )
1489mul02d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
149147, 148eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  x.  A
)  =  0 )
150149fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  0 ) )
151 sin0 13762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  0 )  =  0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  0
)  =  0 )
153150, 152eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) )  =  0 )
154145, 153oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( 1  -  1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) )
155123, 140, 1543eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) )
156114, 155oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
15789, 92, 1563eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) ) )
158157oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  A )  +  ( ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
15929fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
1  x.  A ) )  =  ( sin `  A ) )
160159oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )
161160oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
162161oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
163142, 2addcld 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
164163, 9mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  e.  CC )
165164sincld 13743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
166165, 15subcld 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  e.  CC )
167142, 9jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
168 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  x.  A
)  e.  CC )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  A
)  e.  CC )
170 sincl 13739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  x.  A )  e.  CC  ->  ( sin `  ( N  x.  A ) )  e.  CC )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  A )
)  e.  CC )
172 0cn 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
174171, 173subcld 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 )  e.  CC )
17515, 166, 174addassd 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
176175eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  +  ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
17715, 165pncan3d 9945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A
) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )
178171subid1d 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 )  =  ( sin `  ( N  x.  A )
) )
179177, 178oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) )
180165, 171addcomd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
181179, 180eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
182162, 176, 1813eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
183158, 182eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) ) )
184183oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
185184oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  /  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  +  ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) ) ) )  /  ( sin `  A ) ) )
18618, 84, 1853eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  /  ( sin `  A
) ) )
187142, 3, 9adddird 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
188187oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( ( N  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
1893, 9mulcld 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  e.  CC )
190169, 189, 189addassd 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  /  2 )  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )
1913, 3, 9adddird 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
192191eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )
19322halvesd 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
194193oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( 1  x.  A ) )
195192, 194eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( 1  x.  A ) )
196195oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( N  x.  A )  +  ( 1  x.  A ) ) )
197142, 2, 9adddird 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  =  ( ( N  x.  A )  +  ( 1  x.  A ) ) )
198197eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  A )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )
199196, 198eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )
200188, 190, 1993eqtrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
201200fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
202187oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( ( N  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
203169, 189pncand 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( N  x.  A ) )
204202, 203eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  A
)  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
205204fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  A )
)  =  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
206201, 205oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) ) )
207206oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2
) )
208 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
209208rehalfcli 10799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
211141, 210readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
212211, 8remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  RR )
213212recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  CC )
214 sinmulcos 31524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2
) )
215213, 189, 214syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
216215eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )
217 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )
218207, 216, 2173eqtrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 ) )
219180oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )  /  2
) )
220171, 165addcld 9627 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
221220, 72, 74divrec2d 10336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  +  ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
222218, 219, 2213eqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )
223222oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  / 
( sin `  A
) ) )
2249, 72, 74divcan2d 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
225224eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  ( 2  x.  ( A  / 
2 ) ) )
226225fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )
2279, 72, 74divcld 10332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
228 sin2t 13790 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
229227, 228syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
2  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
230226, 229eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
231230oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  / 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
232227sincld 13743 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
233227coscld 13744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
23472, 232, 233mulassd 9631 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
235234eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )
2369, 72, 74divrec2d 10336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
237236fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) )
238237oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )
239235, 238eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
240239oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) ) )
241213sincld 13743 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  e.  CC )
24272, 232mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  CC )
243189coscld 13744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  e.  CC )
244230, 16eqnetrrd 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =/=  0
)
245232, 233mulcld 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  e.  CC )
24672, 245mulne0bd 10212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  =/=  0  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =/=  0 )  <-> 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =/=  0
) )
247244, 246mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  =/=  0  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =/=  0 ) )
248247simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =/=  0 )
249232, 233mulne0bd 10212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( A  /  2
) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )  <->  ( ( sin `  ( A  / 
2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =/=  0 ) )
250248, 249mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =/=  0 ) )
251250simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
25272, 232, 74, 251mulne0d 10213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =/=  0 )
253250simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
254237, 253eqnetrrd 2761 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =/=  0 )
255241, 242, 243, 252, 254divcan5rd 10359 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
256231, 240, 2553eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
257186, 223, 2563eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
258257oveq1d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )
259 pire 22718 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
260259recni 9620 . . . 4  |-  pi  e.  CC
261260a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
262 pipos 22720 . . . . 5  |-  0  <  pi
263 0re 9608 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
264263, 259ltnei 9720 . . . . 5  |-  ( 0  <  pi  ->  pi  =/=  0 )
265262, 264ax-mp 5 . . . 4  |-  pi  =/=  0
266265a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
267241, 242, 261, 252, 266divdiv32d 10357 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
268241, 261, 242, 266, 252divdiv1d 10363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
269261, 72, 232mulassd 9631 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
270269eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) )  =  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
271261, 72mulcomd 9629 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  2 )  =  ( 2  x.  pi ) )
272271oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
273270, 272eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
274273oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
275268, 274eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
276258, 267, 2753eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   sum_csu 13488   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
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