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Theorem dirkertrigeqlem2 37780
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkertrigeqlem2.sinne0  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =/=  0 )
dirkertrigeqlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N    ph, n

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21halfcld 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
3 fzfid 12185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
4 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
54zcnd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  CC )
65adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  e.  CC )
7 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
106, 9mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  e.  CC )
1110coscld 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
123, 11fsumcl 13786 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
132, 12addcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
148sincld 14171 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
15 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =/=  0 )
1613, 14, 15divcan4d 10389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
n  x.  A ) ) ) )
1716eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) ) )
183, 14, 11fsummulc1 13833 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )
1914adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
2011, 19mulcomd 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  ( n  x.  A
) ) ) )
21 sinmulcos 37559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( n  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
229, 10, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
23 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
246, 23, 9adddird 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  +  1 )  x.  A )  =  ( ( n  x.  A )  +  ( 1  x.  A
) ) )
2523, 9mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
1  x.  A )  e.  CC )
2610, 25addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( 1  x.  A )  +  ( n  x.  A
) ) )
278mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
2827oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  A )  +  ( n  x.  A ) )  =  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )
2928adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( 1  x.  A
)  +  ( n  x.  A ) )  =  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )
3024, 26, 293eqtrrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  +  ( n  x.  A ) )  =  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )
3130fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )  =  ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) ) )
3210, 9negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( n  x.  A
)  -  A )  =  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )
3332eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  -  ( n  x.  A ) )  = 
-u ( ( n  x.  A )  -  A ) )
3433fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )  =  ( sin `  -u (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3510, 9subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  A )  e.  CC )
36 sinneg 14187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  x.  A
)  -  A )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( ( n  x.  A )  -  A ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  -u ( ( n  x.  A )  -  A ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3834, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A
) ) )  = 
-u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) )
3931, 38oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  +  -u ( sin `  (
( n  x.  A
)  -  A ) ) ) )
409, 10addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  +  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
4140sincld 14171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
4231, 41eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
4335sincld 14171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) )  e.  CC )
4442, 43negsubd 9992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  +  -u ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) ) ) )
456, 9mulsubfacd 10078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  A )  =  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )
4645fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A ) )  =  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )
4746oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  x.  A )  -  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
4839, 44, 473eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )
4948oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sin `  ( A  +  ( n  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( A  -  ( n  x.  A ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )  /  2
) )
5020, 22, 493eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) )  /  2 ) )
5150sumeq2dv 13756 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 ) )
52 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 peano2cnm 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
5554, 9mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( n  -  1 )  x.  A )  e.  CC )
5655sincld 14171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
5742, 56subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
58 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
603, 52, 57, 59fsumdivc 13834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 ) )
613, 57fsumcl 13786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
6261, 52, 59divrec2d 10387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
6360, 62eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  / 
2 )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
6418, 51, 633eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
6564oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
662, 12, 14adddird 9668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( sin `  A
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) ) )
672, 14, 61adddid 9667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) ) )
6865, 66, 673eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
6968oveq1d 6316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
n  x.  A ) ) )  x.  ( sin `  A ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  /  ( sin `  A ) ) )
7010sincld 14171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( n  x.  A ) )  e.  CC )
7142, 70, 56npncand 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )
7271eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( n  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( n  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )
7372sumeq2dv 13756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
7442, 70subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  e.  CC )
7570, 56subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
763, 74, 75fsumadd 13792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( n  x.  A ) ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
77 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  (
j  x.  A )  =  ( n  x.  A ) )
7877fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  n  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
n  x.  A ) ) )
79 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
j  x.  A )  =  ( ( n  +  1 )  x.  A ) )
8079fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) ) )
81 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  1  ->  (
j  x.  A )  =  ( 1  x.  A ) )
8281fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  1  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )
83 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  x.  A )  =  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )
8483fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )
85 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8685nnzd 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
87 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8885, 87syl6eleq 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
89 peano2uz 11212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
91 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
9291zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  CC )
9392adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  j  e.  CC )
948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
9593, 94mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
j  x.  A )  e.  CC )
9695sincld 14171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( sin `  ( j  x.  A ) )  e.  CC )
9778, 80, 82, 84, 86, 90, 96telfsum2 13852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) ) )
98 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
995, 98pncand 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( n  +  1 )  -  1 )  =  n )
10099eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
101100adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  n  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
102101oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
n  x.  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
103102fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sin `  ( n  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
104103oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
105104sumeq2dv 13756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )
106 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
107106oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  n  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( n  -  1 )  x.  A ) )
108107fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( n  -  1 )  x.  A ) ) )
109 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
110109oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
111110fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
112 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  1  ->  (
j  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
113112oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( 1  -  1 )  x.  A ) )
114113fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  1  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) ) )
115 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
116115oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  1 )  x.  A ) )
117116fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) ) )
118 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
11993, 118subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  CC )
120119, 94mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( j  -  1 )  x.  A )  e.  CC )
121120sincld 14171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( sin `  ( ( j  -  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
122108, 111, 114, 117, 86, 90, 121telfsum2 13852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( 1  -  1 )  x.  A
) ) ) )
12385nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
124123recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
125124, 1pncand 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
126125oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  x.  A
)  =  ( N  x.  A ) )
127126fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )
1281subidd 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
129128oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  x.  A
)  =  ( 0  x.  A ) )
1308mul02d 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
131129, 130eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  x.  A
)  =  0 )
132131fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  0 ) )
133 sin0 14190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  0 )  =  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  0
)  =  0 )
135132, 134eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( 1  -  1 )  x.  A ) )  =  0 )
136127, 135oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( 1  -  1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) )
137105, 122, 1363eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) )
13897, 137oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( n  x.  A
) ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
n  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
13973, 76, 1383eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( sin `  (
( n  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( ( n  - 
1 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) ) )
140139oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  A )  +  ( ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  (
1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
14127fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
1  x.  A ) )  =  ( sin `  A ) )
142141oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )
143142oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
144143oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
145124, 1addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
146145, 8mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  e.  CC )
147146sincld 14171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  e.  CC )
148147, 14subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  e.  CC )
149124, 8mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  A
)  e.  CC )
150149sincld 14171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  A )
)  e.  CC )
151 0cnd 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
152150, 151subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 )  e.  CC )
15314, 148, 152addassd 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) ) )
154153eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( ( sin `  A
)  +  ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )
15514, 147pncan3d 9989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A
) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )
156150subid1d 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 )  =  ( sin `  ( N  x.  A )
) )
157155, 156oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) ) )
158147, 150addcomd 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
159157, 158eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  A )  +  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  -  0 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
160144, 154, 1593eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  ( ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  -  ( sin `  ( 1  x.  A
) ) )  +  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  -  0 ) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )
161140, 160eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) ) )
162161oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
163162oveq1d 6316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  A
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( ( n  + 
1 )  x.  A
) )  -  ( sin `  ( ( n  -  1 )  x.  A ) ) ) ) )  /  ( sin `  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  +  ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) ) ) )  /  ( sin `  A ) ) )
16417, 69, 1633eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  /  ( sin `  A
) ) )
165 halfre 10828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
166165a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
167123, 166readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
168167, 7remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  RR )
169168recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  CC )
1702, 8mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  e.  CC )
171 sinmulcos 37559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2
) )
172169, 170, 171syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2 ) )
173124, 2, 8adddird 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
174173oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( ( N  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
175149, 170, 170addassd 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  /  2 )  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )
1762, 2, 8adddird 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
17712halvesd 10858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
178177oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( 1  x.  A ) )
179176, 178eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( 1  x.  A ) )
180179oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( N  x.  A )  +  ( 1  x.  A ) ) )
181124, 1, 8adddird 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  =  ( ( N  x.  A )  +  ( 1  x.  A ) ) )
182180, 181eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  A )  +  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  A ) )
183174, 175, 1823eqtrrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  A
)  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
184183fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
185173oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( ( ( N  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
186149, 170pncand 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  A )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =  ( N  x.  A ) )
187185, 186eqtr2d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  A
)  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
188187fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  A )
)  =  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
189184, 188oveq12d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) )  +  ( sin `  ( N  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  A )  -  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) ) )
190189oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  +  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  -  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )  /  2
) )
191172, 190eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 ) )
192158oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) )  +  ( sin `  ( N  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  A ) )  +  ( sin `  (
( N  +  1 )  x.  A ) ) )  /  2
) )
193150, 147addcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) )  e.  CC )
194193, 52, 59divrec2d 10387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( N  x.  A
) )  +  ( sin `  ( ( N  +  1 )  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) ) )
195191, 192, 1943eqtrrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) ) )
196195oveq1d 6316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( sin `  ( N  x.  A )
)  +  ( sin `  ( ( N  + 
1 )  x.  A
) ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  / 
( sin `  A
) ) )
1978, 52, 59divcan2d 10385 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
198197eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  ( 2  x.  ( A  / 
2 ) ) )
199198fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2 ) ) ) )
2008halfcld 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
201 sin2t 14218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
202200, 201syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
2  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
203199, 202eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  A
)  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) )  x.  ( cos `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
204203oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )  / 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
205200sincld 14171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
206200coscld 14172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  e.  CC )
20752, 205, 206mulassd 9666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
2088, 52, 59divrec2d 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
209208fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) )
210209oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )
211207, 210eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) ) ) )
212211oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) ) )
213169sincld 14171 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  e.  CC )
21452, 205mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  e.  CC )
215170coscld 14172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  e.  CC )
216205, 206mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  e.  CC )
217203, 15eqnetrrd 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  =/=  0
)
21852, 216, 217mulne0bbd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  =/=  0 )
219205, 206, 218mulne0bad 10267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
22052, 205, 59, 219mulne0d 10264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =/=  0 )
221205, 206, 218mulne0bbd 10268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  /  2 ) )  =/=  0 )
222209, 221eqnetrrd 2718 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  A ) )  =/=  0 )
223213, 214, 215, 220, 222divcan5rd 10410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
224204, 212, 2233eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )  /  ( sin `  A
) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
225164, 196, 2243eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
226225oveq1d 6316 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )
227 picn 23400 . . . 4  |-  pi  e.  CC
228227a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
229 pire 23399 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
230 pipos 23401 . . . . 5  |-  0  <  pi
231229, 230gt0ne0ii 10150 . . . 4  |-  pi  =/=  0
232231a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
233213, 214, 228, 220, 232divdiv32d 10408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
234213, 228, 214, 232, 220divdiv1d 10414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
235228, 52, 205mulassd 9666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ) ) )
236228, 52mulcomd 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  2 )  =  ( 2  x.  pi ) )
237236oveq1d 6316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( sin `  ( A  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
238235, 237eqtr3d 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  (
2  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )
239238oveq2d 6317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( pi  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
240234, 239eqtrd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  pi )  /  ( 2  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  A ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
241226, 233, 2403eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( n  x.  A ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  A
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   sum_csu 13739   sincsin 14103   cosccos 14104   picpi 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
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