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Theorem dirkertrigeqlem1 37998
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Distinct variable group:    n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6323 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
21oveq2d 6331 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) )
32sumeq1d 13816 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
43eqeq1d 2464 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
5 oveq2 6323 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
65oveq2d 6331 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) )
76sumeq1d 13816 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
87eqeq1d 2464 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
9 oveq2 6323 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
109oveq2d 6331 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
1110sumeq1d 13816 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1211eqeq1d 2464 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
13 oveq2 6323 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
1413oveq2d 6331 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) )
1514sumeq1d 13816 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1615eqeq1d 2464 . 2  |-  ( x  =  K  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
17 ax-1cn 9623 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
18172timesi 10759 . . . . 5  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918oveq2i 6326 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 2  x.  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
2019sumeq1i 13813 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
21 1z 10996 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 uzid 11202 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )
25 elfzelz 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
2625zcnd 11070 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
2726adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
28 picn 23463 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
3027, 29mulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
3130coscld 14234 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
32 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  ( 1  +  1 ) )
33 1p1e2 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3432, 33syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  2 )
3534oveq1d 6330 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 2  x.  pi ) )
3635fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
2  x.  pi ) ) )
3724, 31, 36fsump1 13866 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3837trud 1464 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )
39 coscl 14230 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
4028, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
41 oveq1 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 1  x.  pi ) )
4228mulid2i 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4341, 42syl6eq 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  pi )
4443fveq2d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4544fsum1 13857 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4621, 40, 45mp2an 683 . . . . . 6  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi )
47 cospi 23476 . . . . . 6  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
4846, 47eqtri 2484 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  -u 1
49 cos2pi 23480 . . . . 5  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
5048, 49oveq12i 6327 . . . 4  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( -u
1  +  1 )
51 neg1cn 10741 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
52 1pneg1e0 10746 . . . . 5  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5317, 51, 52addcomli 9851 . . . 4  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5438, 50, 533eqtri 2488 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5520, 54eqtri 2484 . 2  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5618oveq2i 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) )
57 2cnd 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
58 nncn 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
5917a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6057, 58, 59adddid 9693 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6157, 58mulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
6261, 59, 59addassd 9691 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
6356, 60, 623eqtr4a 2522 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
6463oveq2d 6331 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
6564sumeq1d 13816 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
6665adantr 471 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
67 1red 9684 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
68 2re 10707 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
70 nnre 10644 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7169, 70remulcld 9697 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
7271, 67readdcld 9696 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  RR )
73 2rp 11336 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
75 nnrp 11340 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
7674, 75rpmulcld 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR+ )
7767, 76ltaddrp2d 11401 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
7867, 72, 77ltled 9809 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
79 2z 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
81 nnz 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
8280, 81zmulcld 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ZZ )
8382peano2zd 11072 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
84 eluz 11201 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
8521, 83, 84sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
8678, 85mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
87 elfzelz 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 11070 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
8928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
9088, 89mulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
9190coscld 14234 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
9291adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
93 oveq1 6322 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )
9493fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )
9586, 92, 94fsump1 13866 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
9695adantr 471 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
97 1lt2 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
99 2t1e2 10787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
100 nnge1 10663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
10167, 70, 74lemul2d 11411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  y
) ) )
102100, 101mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  y ) )
10399, 102syl5eqbrr 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  y
) )
10467, 69, 71, 98, 103ltletrd 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  y
) )
10567, 71, 104ltled 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( 2  x.  y
) )
106 eluz 11201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
10721, 82, 106sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
108105, 107mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
109 elfzelz 11829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
110109zcnd 11070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
11128a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
112110, 111mulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
113112coscld 14234 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
114113adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
115 oveq1 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )
116115fveq2d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )
117108, 114, 116fsump1 13866 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y
) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
11833, 99eqtr4i 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
120119oveq2d 6331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
121120, 62, 603eqtr4d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
122121oveq1d 6330 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )
123122fveq2d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) ) )
12458, 59addcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
12528a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12657, 124, 125mulassd 9692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) ) )
127126oveq1d 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) ) )
128124, 125mulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
129 0re 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
130 pipos 23464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
131129, 130gtneii 9772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
13374rpne0d 11375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
134128, 125, 57, 132, 133divcan5d 10437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi ) )
135124, 125, 132divcan4d 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
136127, 134, 1353eqtrd 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( y  +  1 ) )
13781peano2zd 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
138136, 137eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
139 peano2cn 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14058, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14157, 140mulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
142141, 125mulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC )
143 coseq1 23526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
145138, 144mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1 )
146123, 145eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  1 )
147117, 146oveq12d 6333 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
148147adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
149 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
15061, 59, 125adddird 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
15161, 125mulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  e.  CC )
15242, 125syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  e.  CC )
153151, 152addcomd 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  +  ( ( 2  x.  y )  x.  pi ) ) )
15442a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
15557, 58mulcomd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  =  ( y  x.  2 ) )
156155oveq1d 6330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( ( y  x.  2 )  x.  pi ) )
15758, 57, 125mulassd 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
158156, 157eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
159154, 158oveq12d 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 1  x.  pi )  +  ( (
2  x.  y )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
160150, 153, 1593eqtrd 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
161160fveq2d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
162 cosper 23486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16328, 81, 162sylancr 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16447a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
165161, 163, 1643eqtrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  = 
-u 1 )
166165adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  -u 1
)
167149, 166oveq12d 6333 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  -u
1 ) )
168167oveq1d 6330 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( ( 0  +  -u
1 )  +  1 ) )
16951addid2i 9847 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
170169oveq1i 6325 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
171170, 53eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
172168, 171syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  0 )
173148, 172eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  0 )
17466, 96, 1733eqtrd 2500 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
175174ex 440 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
1764, 8, 12, 16, 55, 175nnind 10655 1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   T. wtru 1456    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    x. cmul 9570    < clt 9701    <_ cle 9702   -ucneg 9887    / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   ...cfz 11813   sum_csu 13801   cosccos 14166   picpi 14168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-pi 14175  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871
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