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Theorem dirkertrigeqlem1 31721
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Distinct variable group:    n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
21oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) )
32sumeq1d 13503 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
43eqeq1d 2469 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
5 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
65oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) )
76sumeq1d 13503 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
87eqeq1d 2469 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
9 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
109oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
1110sumeq1d 13503 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1211eqeq1d 2469 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
13 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
1413oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) )
1514sumeq1d 13503 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1615eqeq1d 2469 . 2  |-  ( x  =  K  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
17 ax-1cn 9562 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
18172timesi 10668 . . . . 5  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 2  x.  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
2019sumeq1i 13500 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
21 1z 10906 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 uzid 11108 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )
25 elfzelz 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
2625zcnd 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
2726adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
28 pire 22718 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
2928recni 9620 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
3127, 30mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
3231coscld 13744 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
33 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  ( 1  +  1 ) )
34 2cn 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
3534mulid1i 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3618, 35eqtr3i 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
3833, 37eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  2 )
3938oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 2  x.  pi ) )
4039fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
2  x.  pi ) ) )
4124, 32, 40fsump1 13551 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4241trud 1388 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )
43 coscl 13740 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
4429, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
4521, 44pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )
46 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 1  x.  pi ) )
4729mulid2i 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
4946, 48eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  pi )
5049fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
5150fsum1 13544 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
5245, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi )
53 cospi 22731 . . . . . 6  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
5452, 53eqtri 2496 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  -u 1
55 cos2pi 22735 . . . . 5  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
5654, 55oveq12i 6307 . . . 4  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( -u
1  +  1 )
5753, 44eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
5857, 17addcomi 9782 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  1 )  =  ( 1  + 
-u 1 )
5917negidi 9900 . . . . 5  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
6058, 59eqtri 2496 . . . 4  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
6142, 56, 603eqtri 2500 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
6220, 61eqtri 2496 . 2  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
6334a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
64 nncn 10556 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
6517a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6663, 64, 65adddid 9632 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6718oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) )
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
6963, 64mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
7069, 65, 65addassd 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
7170eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
7266, 68, 713eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
7372oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
7473sumeq1d 13503 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
7574adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
76 1re 9607 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
7776a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
78 2re 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
80 nnre 10555 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
8179, 80remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
8281, 77readdcld 9635 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  RR )
83 2rp 11237 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
85 nnrp 11241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
8684, 85rpmulcld 11284 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR+ )
87 ltaddrp 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  y
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 2  x.  y ) ) )
8877, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 1  +  ( 2  x.  y ) ) )
8965, 69addcomd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  y ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
9088, 89breqtrd 4477 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
9177, 82, 90ltled 9744 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
9221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
93 2z 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
9493a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
95 nnz 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
9694, 95zmulcld 10984 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ZZ )
9796, 92zaddcld 10982 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
98 eluz 11107 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
10091, 99mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
101 elfzelz 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
102101zcnd 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
10329a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
104102, 103mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
105104coscld 13744 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
106105adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
107 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )
108107fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )
109100, 106, 108fsump1 13551 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
110109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
111 1lt2 10714 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
112111a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
11335eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 2  x.  1 )
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
115 nnge1 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
11677, 80, 84lemul2d 11308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  y
) ) )
117115, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  y ) )
118114, 117eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  y
) )
11977, 79, 81, 112, 118ltletrd 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  y
) )
12077, 81, 119ltled 9744 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( 2  x.  y
) )
121 eluz 11107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
12292, 96, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
123120, 122mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
124 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
125124zcnd 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
12629a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
127125, 126mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
128127coscld 13744 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
129128adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
130 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )
131130fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )
132123, 129, 131fsump1 13551 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y
) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
13336, 113eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
135134oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
13666eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
13770, 135, 1363eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
138137oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )
139138fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) ) )
14064, 65addcld 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
14263, 140, 141mulassd 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) ) )
143142oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) ) )
144140, 141mulcld 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
145 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
146 pipos 22720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
147 ltne 9693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  pi  =/=  0 )
148145, 146, 147mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
15084rpne0d 11273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
151144, 141, 63, 149, 150divcan5d 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi ) )
152140, 141, 149divcan4d 10338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
153143, 151, 1523eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( y  +  1 ) )
15495peano2zd 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
155153, 154eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
156 peano2cn 9763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
15764, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
15863, 157jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC ) )
159 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
161160, 141jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC ) )
162 mulcl 9588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC )
164 coseq1 22781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
166155, 165mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1 )
167 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  =  1 )
168139, 166, 1673eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  1 )
169132, 168oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
170169adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
171 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
17269, 65, 141adddird 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
17369, 141mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  e.  CC )
17447, 141syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  e.  CC )
175173, 174addcomd 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  +  ( ( 2  x.  y )  x.  pi ) ) )
17647a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
17763, 64mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  =  ( y  x.  2 ) )
178177oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( ( y  x.  2 )  x.  pi ) )
17964, 63, 141mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
180178, 179eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
181176, 180oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 1  x.  pi )  +  ( (
2  x.  y )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
182172, 175, 1813eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
183182fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
184 cosper 22741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
185141, 95, 184syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
18653a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
187183, 185, 1863eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  = 
-u 1 )
188187adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  -u 1
)
189171, 188oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  -u
1 ) )
190189oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( ( 0  +  -u
1 )  +  1 ) )
19157addid2i 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
192191oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
193192, 60eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
194193a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 0  + 
-u 1 )  +  1 )  =  0 )
195190, 194eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  0 )
196170, 195eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  0 )
19775, 110, 1963eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
198197ex 434 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
1994, 8, 12, 16, 62, 198nnind 10566 1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ...cfz 11684   sum_csu 13488   cosccos 13679   picpi 13681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
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