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Theorem dirkertrigeqlem1 32062
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Distinct variable group:    n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
21oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) )
32sumeq1d 13535 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
43eqeq1d 2459 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
5 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
65oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) )
76sumeq1d 13535 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
87eqeq1d 2459 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
9 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
109oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
1110sumeq1d 13535 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1211eqeq1d 2459 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
13 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
1413oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) )
1514sumeq1d 13535 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1615eqeq1d 2459 . 2  |-  ( x  =  K  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
17 ax-1cn 9567 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
18172timesi 10677 . . . . 5  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918oveq2i 6307 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 2  x.  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
2019sumeq1i 13532 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
21 1z 10915 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 uzid 11120 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )
25 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
2625zcnd 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
2726adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
28 picn 22978 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
3027, 29mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
3130coscld 13878 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
32 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  ( 1  +  1 ) )
33 1p1e2 10670 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3432, 33syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  2 )
3534oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 2  x.  pi ) )
3635fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
2  x.  pi ) ) )
3724, 31, 36fsump1 13583 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3837trud 1404 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )
39 coscl 13874 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
4028, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
41 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 1  x.  pi ) )
4228mulid2i 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  pi )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4544fsum1 13576 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4621, 40, 45mp2an 672 . . . . . 6  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi )
47 cospi 22991 . . . . . 6  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
4846, 47eqtri 2486 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  -u 1
49 cos2pi 22995 . . . . 5  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
5048, 49oveq12i 6308 . . . 4  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( -u
1  +  1 )
51 neg1cn 10660 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
52 1pneg1e0 10665 . . . . 5  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5317, 51, 52addcomli 9789 . . . 4  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5438, 50, 533eqtri 2490 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5520, 54eqtri 2486 . 2  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5618oveq2i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) )
57 2cnd 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
58 nncn 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
5917a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6057, 58, 59adddid 9637 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6157, 58mulcld 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
6261, 59, 59addassd 9635 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
6356, 60, 623eqtr4a 2524 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
6463oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
6564sumeq1d 13535 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
6665adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
67 1red 9628 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
68 2re 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
70 nnre 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7169, 70remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
7271, 67readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  RR )
73 2rp 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
75 nnrp 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
7674, 75rpmulcld 11297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR+ )
7767, 76ltaddrp2d 11311 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
7867, 72, 77ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
79 2z 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
81 nnz 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
8280, 81zmulcld 10996 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ZZ )
8382peano2zd 10993 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
84 eluz 11119 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
8521, 83, 84sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
8678, 85mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
87 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
8928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
9088, 89mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
9190coscld 13878 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
9291adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
93 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )
9493fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )
9586, 92, 94fsump1 13583 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
9695adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
97 1lt2 10723 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
99 2t1e2 10705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
100 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
10167, 70, 74lemul2d 11321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  y
) ) )
102100, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  y ) )
10399, 102syl5eqbrr 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  y
) )
10467, 69, 71, 98, 103ltletrd 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  y
) )
10567, 71, 104ltled 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( 2  x.  y
) )
106 eluz 11119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
10721, 82, 106sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
108105, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
109 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
110109zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
11128a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
112110, 111mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
113112coscld 13878 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
114113adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
115 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )
116115fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )
117108, 114, 116fsump1 13583 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y
) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
11833, 99eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
120119oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
121120, 62, 603eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )
123122fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) ) )
12458, 59addcld 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
12528a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12657, 124, 125mulassd 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) ) )
127126oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) ) )
128124, 125mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
129 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
130 pipos 22979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
131129, 130gtneii 9713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
13374rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
134128, 125, 57, 132, 133divcan5d 10367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi ) )
135124, 125, 132divcan4d 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
136127, 134, 1353eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( y  +  1 ) )
13781peano2zd 10993 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
138136, 137eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
139 peano2cn 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14058, 139syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14157, 140mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
142141, 125mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC )
143 coseq1 23041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
145138, 144mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1 )
146123, 145eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  1 )
147117, 146oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
148147adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
149 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
15061, 59, 125adddird 9638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
15161, 125mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  e.  CC )
15242, 125syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  e.  CC )
153151, 152addcomd 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  +  ( ( 2  x.  y )  x.  pi ) ) )
15442a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
15557, 58mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  =  ( y  x.  2 ) )
156155oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( ( y  x.  2 )  x.  pi ) )
15758, 57, 125mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
158156, 157eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
159154, 158oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 1  x.  pi )  +  ( (
2  x.  y )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
160150, 153, 1593eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
161160fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
162 cosper 23001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16328, 81, 162sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16447a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
165161, 163, 1643eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  = 
-u 1 )
166165adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  -u 1
)
167149, 166oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  -u
1 ) )
168167oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( ( 0  +  -u
1 )  +  1 ) )
16951addid2i 9785 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
170169oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
171170, 53eqtri 2486 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
172168, 171syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  0 )
173148, 172eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  0 )
17466, 96, 1733eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
175174ex 434 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
1764, 8, 12, 16, 55, 175nnind 10574 1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   sum_csu 13520   cosccos 13812   picpi 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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