Theorem dirkertrigeqlem1 37779

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	|- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Distinct variable group:   n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
2	1	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) )
3	2	sumeq1d 13754	. . 3 |- ( x = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
4	3	eqeq1d 2424	. 2 |- ( x = 1 -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
5		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
6	5	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = y -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. y ) ) )
7	6	sumeq1d 13754	. . 3 |- ( x = y -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
8	7	eqeq1d 2424	. 2 |- ( x = y -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
9		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
10	9	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) )
11	10	sumeq1d 13754	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
12	11	eqeq1d 2424	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
13		oveq2 6309	. . . . 5 |- ( x = K -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. K ) )
14	13	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( x = K -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. K ) ) )
15	14	sumeq1d 13754	. . 3 |- ( x = K -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
16	15	eqeq1d 2424	. 2 |- ( x = K -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
17		ax-1cn 9597	. . . . . 6 |- 1 e. CC
18	17	2timesi 10730	. . . . 5 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
19	18	oveq2i 6312	. . . 4 |- ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
20	19	sumeq1i 13751	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
21		1z 10967	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
22		uzid 11173	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		elfzelz 11800	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. ZZ )
26	25	zcnd 11041	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. CC )
27	26	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> n e. CC )
28		picn 23400	. . . . . . . . 9 |- pi e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
30	27, 29	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
31	30	coscld 14172	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
32		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = ( 1 + 1 ) )
33		1p1e2 10723	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
34	32, 33	syl6eq 2479	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = 2 )
35	34	oveq1d 6316	. . . . . . 7 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( 2 x. pi ) )
36	35	fveq2d 5881	. . . . . 6 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
37	24, 31, 36	fsump1 13804	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) )
38	37	trud 1446	. . . 4 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
39		coscl 14168	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
40	28, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` pi ) e. CC
41		oveq1 6308	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = ( 1 x. pi ) )
42	28	mulid2i 9646	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
43	41, 42	syl6eq 2479	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = pi )
44	43	fveq2d 5881	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
45	44	fsum1 13795	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
46	21, 40, 45	mp2an 676	. . . . . 6 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi )
47		cospi 23413	. . . . . 6 |- ( cos ` pi ) = -u 1
48	46, 47	eqtri 2451	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = -u 1
49		cos2pi 23417	. . . . 5 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
50	48, 49	oveq12i 6313	. . . 4 |- ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) = ( -u 1 + 1 )
51		neg1cn 10713	. . . . 5 |- -u 1 e. CC
52		1pneg1e0 10718	. . . . 5 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
53	17, 51, 52	addcomli 9825	. . . 4 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
54	38, 50, 53	3eqtri 2455	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
55	20, 54	eqtri 2451	. 2 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
56	18	oveq2i 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) )
57		2cnd 10682	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 2 e. CC )
58		nncn 10617	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
59	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 e. CC )
60	57, 58, 59	adddid 9667	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
61	57, 58	mulcld 9663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. CC )
62	61, 59, 59	addassd 9665	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) )
63	56, 60, 62	3eqtr4a 2489	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) )
64	63	oveq2d 6317	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) = ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) )
65	64	sumeq1d 13754	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66	65	adantr 466	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
67		1red 9658	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
68		2re 10679	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
70		nnre 10616	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
71	69, 70	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR )
72	71, 67	readdcld 9670	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. RR )
73		2rp 11307	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR+ )
75		nnrp 11311	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
76	74, 75	rpmulcld 11357	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR+ )
77	67, 76	ltaddrp2d 11372	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 < ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
78	67, 72, 77	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
79		2z 10969	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
81		nnz 10959	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
82	80, 81	zmulcld 11046	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
83	82	peano2zd 11043	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ )
84		eluz 11172	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
85	21, 83, 84	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
86	78, 85	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87		elfzelz 11800	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
88	87	zcnd 11041	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. CC )
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
90	88, 89	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
91	90	coscld 14172	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
92	91	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
93		oveq1 6308	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) )
94	93	fveq2d 5881	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) )
95	86, 92, 94	fsump1 13804	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
96	95	adantr 466	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
97		1lt2 10776	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 2
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 1 < 2 )
99		2t1e2 10758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 1 ) = 2
100		nnge1 10635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
101	67, 70, 74	lemul2d 11382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) ) )
102	100, 101	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) )
103	99, 102	syl5eqbrr 4455	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( 2 x. y ) )
104	67, 69, 71, 98, 103	ltletrd 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 1 < ( 2 x. y ) )
105	67, 71, 104	ltled 9783	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( 2 x. y ) )
106		eluz 11172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
107	21, 82, 106	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
108	105, 107	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
110	109	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. CC )
111	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
112	110, 111	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
113	112	coscld 14172	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
114	113	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
115		oveq1 6308	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) )
116	115	fveq2d 5881	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) )
117	108, 114, 116	fsump1 13804	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
118	33, 99	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
120	119	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
121	120, 62, 60	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
122	121	oveq1d 6316	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) )
123	122	fveq2d 5881	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) )
124	58, 59	addcld 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
125	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> pi e. CC )
126	57, 124, 125	mulassd 9666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) = ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) )
127	126	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
128	124, 125	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( y + 1 ) x. pi ) e. CC )
129		0re 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
130		pipos 23401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < pi
131	129, 130	gtneii 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi =/= 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> pi =/= 0 )
133	74	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> 2 =/= 0 )
134	128, 125, 57, 132, 133	divcan5d 10409	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) )
135	124, 125, 132	divcan4d 10389	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) = ( y + 1 ) )
136	127, 134, 135	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( y + 1 ) )
137	81	peano2zd 11043	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ )
138	136, 137	eqeltrd 2510	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
139		peano2cn 9805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( y + 1 ) e. CC )
140	58, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
141	57, 140	mulcld 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) e. CC )
142	141, 125	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC )
143		coseq1 23463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
145	138, 144	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 )
146	123, 145	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = 1 )
147	117, 146	oveq12d 6319	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
148	147	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
149		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
150	61, 59, 125	adddird 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
151	61, 125	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) e. CC )
152	42, 125	syl5eqel 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) e. CC )
153	151, 152	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) )
154	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) = pi )
155	57, 58	mulcomd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) = ( y x. 2 ) )
156	155	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( ( y x. 2 ) x. pi ) )
157	58, 57, 125	mulassd 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
158	156, 157	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
159	154, 158	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
160	150, 153, 159	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
161	160	fveq2d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
162		cosper 23423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ y e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
163	28, 81, 162	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
164	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
165	161, 163, 164	3eqtrd 2467	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
166	165	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
167	149, 166	oveq12d 6319	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
168	167	oveq1d 6316	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) )
169	51	addid2i 9821	. . . . . . . 8 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
170	169	oveq1i 6311	. . . . . . 7 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 )
171	170, 53	eqtri 2451	. . . . . 6 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = 0
172	168, 171	syl6eq 2479	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = 0 )
173	148, 172	eqtrd 2463	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = 0 )
174	66, 96, 173	3eqtrd 2467	. . 3 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
175	174	ex 435	. 2 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
176	4, 8, 12, 16, 55, 175	nnind 10627	1 |- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1868   =/= wne 2618   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784   sum_csu 13739   cosccos 14104   picpi 14106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  37781