Theorem dirkertrigeqlem1 32062

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	|- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Distinct variable group:   n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
2	1	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) )
3	2	sumeq1d 13535	. . 3 |- ( x = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
4	3	eqeq1d 2459	. 2 |- ( x = 1 -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
5		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
6	5	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = y -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. y ) ) )
7	6	sumeq1d 13535	. . 3 |- ( x = y -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
8	7	eqeq1d 2459	. 2 |- ( x = y -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
9		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
10	9	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) )
11	10	sumeq1d 13535	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
12	11	eqeq1d 2459	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
13		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = K -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. K ) )
14	13	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( x = K -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. K ) ) )
15	14	sumeq1d 13535	. . 3 |- ( x = K -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
16	15	eqeq1d 2459	. 2 |- ( x = K -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
17		ax-1cn 9567	. . . . . 6 |- 1 e. CC
18	17	2timesi 10677	. . . . 5 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
19	18	oveq2i 6307	. . . 4 |- ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
20	19	sumeq1i 13532	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
21		1z 10915	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
22		uzid 11120	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		elfzelz 11713	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. ZZ )
26	25	zcnd 10991	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. CC )
27	26	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> n e. CC )
28		picn 22978	. . . . . . . . 9 |- pi e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
30	27, 29	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
31	30	coscld 13878	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
32		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = ( 1 + 1 ) )
33		1p1e2 10670	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
34	32, 33	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = 2 )
35	34	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( 2 x. pi ) )
36	35	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
37	24, 31, 36	fsump1 13583	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) )
38	37	trud 1404	. . . 4 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
39		coscl 13874	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
40	28, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` pi ) e. CC
41		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = ( 1 x. pi ) )
42	28	mulid2i 9616	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
43	41, 42	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = pi )
44	43	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
45	44	fsum1 13576	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
46	21, 40, 45	mp2an 672	. . . . . 6 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi )
47		cospi 22991	. . . . . 6 |- ( cos ` pi ) = -u 1
48	46, 47	eqtri 2486	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = -u 1
49		cos2pi 22995	. . . . 5 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
50	48, 49	oveq12i 6308	. . . 4 |- ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) = ( -u 1 + 1 )
51		neg1cn 10660	. . . . 5 |- -u 1 e. CC
52		1pneg1e0 10665	. . . . 5 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
53	17, 51, 52	addcomli 9789	. . . 4 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
54	38, 50, 53	3eqtri 2490	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
55	20, 54	eqtri 2486	. 2 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
56	18	oveq2i 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) )
57		2cnd 10629	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 2 e. CC )
58		nncn 10564	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
59	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 e. CC )
60	57, 58, 59	adddid 9637	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
61	57, 58	mulcld 9633	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. CC )
62	61, 59, 59	addassd 9635	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) )
63	56, 60, 62	3eqtr4a 2524	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) )
64	63	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) = ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) )
65	64	sumeq1d 13535	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66	65	adantr 465	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
67		1red 9628	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
68		2re 10626	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
70		nnre 10563	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
71	69, 70	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR )
72	71, 67	readdcld 9640	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. RR )
73		2rp 11250	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR+ )
75		nnrp 11254	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
76	74, 75	rpmulcld 11297	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR+ )
77	67, 76	ltaddrp2d 11311	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 < ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
78	67, 72, 77	ltled 9750	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
79		2z 10917	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
81		nnz 10907	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
82	80, 81	zmulcld 10996	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
83	82	peano2zd 10993	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ )
84		eluz 11119	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
85	21, 83, 84	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
86	78, 85	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87		elfzelz 11713	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
88	87	zcnd 10991	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. CC )
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
90	88, 89	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
91	90	coscld 13878	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
92	91	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
93		oveq1 6303	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) )
94	93	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) )
95	86, 92, 94	fsump1 13583	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
96	95	adantr 465	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
97		1lt2 10723	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 2
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 1 < 2 )
99		2t1e2 10705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 1 ) = 2
100		nnge1 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
101	67, 70, 74	lemul2d 11321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) ) )
102	100, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) )
103	99, 102	syl5eqbrr 4490	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( 2 x. y ) )
104	67, 69, 71, 98, 103	ltletrd 9759	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 1 < ( 2 x. y ) )
105	67, 71, 104	ltled 9750	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( 2 x. y ) )
106		eluz 11119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
107	21, 82, 106	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
108	105, 107	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
110	109	zcnd 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. CC )
111	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
112	110, 111	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
113	112	coscld 13878	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
114	113	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
115		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) )
116	115	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) )
117	108, 114, 116	fsump1 13583	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
118	33, 99	eqtr4i 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
120	119	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
121	120, 62, 60	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
122	121	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) )
123	122	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) )
124	58, 59	addcld 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
125	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> pi e. CC )
126	57, 124, 125	mulassd 9636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) = ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) )
127	126	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
128	124, 125	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( y + 1 ) x. pi ) e. CC )
129		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
130		pipos 22979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < pi
131	129, 130	gtneii 9713	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi =/= 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> pi =/= 0 )
133	74	rpne0d 11286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> 2 =/= 0 )
134	128, 125, 57, 132, 133	divcan5d 10367	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) )
135	124, 125, 132	divcan4d 10347	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) = ( y + 1 ) )
136	127, 134, 135	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( y + 1 ) )
137	81	peano2zd 10993	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ )
138	136, 137	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
139		peano2cn 9769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( y + 1 ) e. CC )
140	58, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
141	57, 140	mulcld 9633	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) e. CC )
142	141, 125	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC )
143		coseq1 23041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
145	138, 144	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 )
146	123, 145	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = 1 )
147	117, 146	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
148	147	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
149		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
150	61, 59, 125	adddird 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
151	61, 125	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) e. CC )
152	42, 125	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) e. CC )
153	151, 152	addcomd 9799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) )
154	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) = pi )
155	57, 58	mulcomd 9634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) = ( y x. 2 ) )
156	155	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( ( y x. 2 ) x. pi ) )
157	58, 57, 125	mulassd 9636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
158	156, 157	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
159	154, 158	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
160	150, 153, 159	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
161	160	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
162		cosper 23001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ y e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
163	28, 81, 162	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
164	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
165	161, 163, 164	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
166	165	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
167	149, 166	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
168	167	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) )
169	51	addid2i 9785	. . . . . . . 8 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
170	169	oveq1i 6306	. . . . . . 7 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 )
171	170, 53	eqtri 2486	. . . . . 6 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = 0
172	168, 171	syl6eq 2514	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = 0 )
173	148, 172	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = 0 )
174	66, 96, 173	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
175	174	ex 434	. 2 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
176	4, 8, 12, 16, 55, 175	nnind 10574	1 |- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   sum_csu 13520   cosccos 13812   picpi 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  32064