Theorem dirkertrigeqlem1 37998

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	|- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Distinct variable group:   n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6323	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
2	1	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) )
3	2	sumeq1d 13816	. . 3 |- ( x = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
4	3	eqeq1d 2464	. 2 |- ( x = 1 -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
5		oveq2 6323	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
6	5	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( x = y -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. y ) ) )
7	6	sumeq1d 13816	. . 3 |- ( x = y -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
8	7	eqeq1d 2464	. 2 |- ( x = y -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
9		oveq2 6323	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
10	9	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) )
11	10	sumeq1d 13816	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
12	11	eqeq1d 2464	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
13		oveq2 6323	. . . . 5 |- ( x = K -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. K ) )
14	13	oveq2d 6331	. . . 4 |- ( x = K -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. K ) ) )
15	14	sumeq1d 13816	. . 3 |- ( x = K -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
16	15	eqeq1d 2464	. 2 |- ( x = K -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
17		ax-1cn 9623	. . . . . 6 |- 1 e. CC
18	17	2timesi 10759	. . . . 5 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
19	18	oveq2i 6326	. . . 4 |- ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
20	19	sumeq1i 13813	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
21		1z 10996	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
22		uzid 11202	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		elfzelz 11829	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. ZZ )
26	25	zcnd 11070	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. CC )
27	26	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> n e. CC )
28		picn 23463	. . . . . . . . 9 |- pi e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
30	27, 29	mulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
31	30	coscld 14234	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
32		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = ( 1 + 1 ) )
33		1p1e2 10751	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
34	32, 33	syl6eq 2512	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = 2 )
35	34	oveq1d 6330	. . . . . . 7 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( 2 x. pi ) )
36	35	fveq2d 5892	. . . . . 6 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
37	24, 31, 36	fsump1 13866	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) )
38	37	trud 1464	. . . 4 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
39		coscl 14230	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
40	28, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` pi ) e. CC
41		oveq1 6322	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = ( 1 x. pi ) )
42	28	mulid2i 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
43	41, 42	syl6eq 2512	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = pi )
44	43	fveq2d 5892	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
45	44	fsum1 13857	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
46	21, 40, 45	mp2an 683	. . . . . 6 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi )
47		cospi 23476	. . . . . 6 |- ( cos ` pi ) = -u 1
48	46, 47	eqtri 2484	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = -u 1
49		cos2pi 23480	. . . . 5 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
50	48, 49	oveq12i 6327	. . . 4 |- ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) = ( -u 1 + 1 )
51		neg1cn 10741	. . . . 5 |- -u 1 e. CC
52		1pneg1e0 10746	. . . . 5 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
53	17, 51, 52	addcomli 9851	. . . 4 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
54	38, 50, 53	3eqtri 2488	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
55	20, 54	eqtri 2484	. 2 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
56	18	oveq2i 6326	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) )
57		2cnd 10710	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 2 e. CC )
58		nncn 10645	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
59	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 e. CC )
60	57, 58, 59	adddid 9693	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
61	57, 58	mulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. CC )
62	61, 59, 59	addassd 9691	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) )
63	56, 60, 62	3eqtr4a 2522	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) )
64	63	oveq2d 6331	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) = ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) )
65	64	sumeq1d 13816	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66	65	adantr 471	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
67		1red 9684	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
68		2re 10707	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
70		nnre 10644	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
71	69, 70	remulcld 9697	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR )
72	71, 67	readdcld 9696	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. RR )
73		2rp 11336	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR+ )
75		nnrp 11340	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
76	74, 75	rpmulcld 11386	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR+ )
77	67, 76	ltaddrp2d 11401	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 < ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
78	67, 72, 77	ltled 9809	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
79		2z 10998	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
81		nnz 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
82	80, 81	zmulcld 11075	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
83	82	peano2zd 11072	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ )
84		eluz 11201	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
85	21, 83, 84	sylancr 674	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
86	78, 85	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87		elfzelz 11829	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
88	87	zcnd 11070	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. CC )
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
90	88, 89	mulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
91	90	coscld 14234	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
92	91	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
93		oveq1 6322	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) )
94	93	fveq2d 5892	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) )
95	86, 92, 94	fsump1 13866	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
96	95	adantr 471	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
97		1lt2 10805	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 2
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 1 < 2 )
99		2t1e2 10787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 1 ) = 2
100		nnge1 10663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
101	67, 70, 74	lemul2d 11411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) ) )
102	100, 101	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) )
103	99, 102	syl5eqbrr 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( 2 x. y ) )
104	67, 69, 71, 98, 103	ltletrd 9821	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 1 < ( 2 x. y ) )
105	67, 71, 104	ltled 9809	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( 2 x. y ) )
106		eluz 11201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
107	21, 82, 106	sylancr 674	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
108	105, 107	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfzelz 11829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
110	109	zcnd 11070	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. CC )
111	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
112	110, 111	mulcld 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
113	112	coscld 14234	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
114	113	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
115		oveq1 6322	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) )
116	115	fveq2d 5892	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) )
117	108, 114, 116	fsump1 13866	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
118	33, 99	eqtr4i 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
120	119	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
121	120, 62, 60	3eqtr4d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
122	121	oveq1d 6330	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) )
123	122	fveq2d 5892	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) )
124	58, 59	addcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
125	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> pi e. CC )
126	57, 124, 125	mulassd 9692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) = ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) )
127	126	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
128	124, 125	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( y + 1 ) x. pi ) e. CC )
129		0re 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
130		pipos 23464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < pi
131	129, 130	gtneii 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi =/= 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> pi =/= 0 )
133	74	rpne0d 11375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> 2 =/= 0 )
134	128, 125, 57, 132, 133	divcan5d 10437	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) )
135	124, 125, 132	divcan4d 10417	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) = ( y + 1 ) )
136	127, 134, 135	3eqtrd 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( y + 1 ) )
137	81	peano2zd 11072	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ )
138	136, 137	eqeltrd 2540	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
139		peano2cn 9831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( y + 1 ) e. CC )
140	58, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
141	57, 140	mulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) e. CC )
142	141, 125	mulcld 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC )
143		coseq1 23526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
145	138, 144	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 )
146	123, 145	eqtrd 2496	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = 1 )
147	117, 146	oveq12d 6333	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
148	147	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
149		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
150	61, 59, 125	adddird 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
151	61, 125	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) e. CC )
152	42, 125	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) e. CC )
153	151, 152	addcomd 9861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) )
154	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) = pi )
155	57, 58	mulcomd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) = ( y x. 2 ) )
156	155	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( ( y x. 2 ) x. pi ) )
157	58, 57, 125	mulassd 9692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
158	156, 157	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
159	154, 158	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
160	150, 153, 159	3eqtrd 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
161	160	fveq2d 5892	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
162		cosper 23486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ y e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
163	28, 81, 162	sylancr 674	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
164	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
165	161, 163, 164	3eqtrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
166	165	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
167	149, 166	oveq12d 6333	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
168	167	oveq1d 6330	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) )
169	51	addid2i 9847	. . . . . . . 8 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
170	169	oveq1i 6325	. . . . . . 7 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 )
171	170, 53	eqtri 2484	. . . . . 6 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = 0
172	168, 171	syl6eq 2512	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = 0 )
173	148, 172	eqtrd 2496	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = 0 )
174	66, 96, 173	3eqtrd 2500	. . 3 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
175	174	ex 440	. 2 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
176	4, 8, 12, 16, 55, 175	nnind 10655	1 |- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   T. wtru 1456   e. wcel 1898   =/= wne 2633   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   + caddc 9568   x. cmul 9570   < clt 9701   <_ cle 9702   -ucneg 9887   / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   ...cfz 11813   sum_csu 13801   cosccos 14166   picpi 14168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-pi 14175  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  38000