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Theorem dirkertrigeqlem1 37779
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Distinct variable group:    n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
21oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) )
32sumeq1d 13754 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
43eqeq1d 2424 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
5 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
65oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) )
76sumeq1d 13754 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
87eqeq1d 2424 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
9 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
109oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
1110sumeq1d 13754 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1211eqeq1d 2424 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
13 oveq2 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
1413oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
1 ... ( 2  x.  x ) )  =  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) )
1514sumeq1d 13754 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  x ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
1615eqeq1d 2424 . 2  |-  ( x  =  K  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  x ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
17 ax-1cn 9597 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
18172timesi 10730 . . . . 5  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
1918oveq2i 6312 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 2  x.  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
2019sumeq1i 13751 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )
21 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 uzid 11173 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  1 )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )
25 elfzelz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
2625zcnd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
2726adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
28 picn 23400 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
3027, 29mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
3130coscld 14172 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
32 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  ( 1  +  1 ) )
33 1p1e2 10723 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3432, 33syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  n  =  2 )
3534oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 2  x.  pi ) )
3635fveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( 1  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
2  x.  pi ) ) )
3724, 31, 36fsump1 13804 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3837trud 1446 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )
39 coscl 14168 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  CC  ->  ( cos `  pi )  e.  CC )
4028, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( cos `  pi )  e.  CC
41 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  ( 1  x.  pi ) )
4228mulid2i 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4341, 42syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  pi )  =  pi )
4443fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4544fsum1 13795 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( cos `  pi )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi ) )
4621, 40, 45mp2an 676 . . . . . 6  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( cos `  pi )
47 cospi 23413 . . . . . 6  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
4846, 47eqtri 2451 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  -u 1
49 cos2pi 23417 . . . . 5  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
5048, 49oveq12i 6313 . . . 4  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( -u
1  +  1 )
51 neg1cn 10713 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
52 1pneg1e0 10718 . . . . 5  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5317, 51, 52addcomli 9825 . . . 4  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5438, 50, 533eqtri 2455 . . 3  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
1  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5520, 54eqtri 2451 . 2  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0
5618oveq2i 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) )
57 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
58 nncn 10617 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
5917a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6057, 58, 59adddid 9667 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6157, 58mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
6261, 59, 59addassd 9665 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
6356, 60, 623eqtr4a 2489 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
6463oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
6564sumeq1d 13754 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
6665adantr 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) ) )
67 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
68 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
70 nnre 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7169, 70remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
7271, 67readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  RR )
73 2rp 11307 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
75 nnrp 11311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
7674, 75rpmulcld 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  RR+ )
7767, 76ltaddrp2d 11372 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
7867, 72, 77ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
79 2z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
81 nnz 10959 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
8280, 81zmulcld 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ZZ )
8382peano2zd 11043 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
84 eluz 11172 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
8521, 83, 84sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( ( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
8678, 85mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
87 elfzelz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
8928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
9088, 89mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
9190coscld 14172 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
9291adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
93 oveq1 6308 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )
9493fveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )
9586, 92, 94fsump1 13804 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
9695adantr 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
97 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
99 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
100 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  y )
10167, 70, 74lemul2d 11382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  y
) ) )
102100, 101mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  y ) )
10399, 102syl5eqbrr 4455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  <_  ( 2  x.  y
) )
10467, 69, 71, 98, 103ltletrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  y
) )
10567, 71, 104ltled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( 2  x.  y
) )
106 eluz 11172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
10721, 82, 106sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  <->  1  <_  ( 2  x.  y ) ) )
108105, 107mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
109 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
110109zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  n  e.  CC )
11128a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  pi  e.  CC )
112110, 111mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  (
n  x.  pi )  e.  CC )
113112coscld 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  e.  CC )
114113adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  ->  ( cos `  (
n  x.  pi ) )  e.  CC )
115 oveq1 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  (
n  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )
116115fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  ->  ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )
117108, 114, 116fsump1 13804 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y
) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
11833, 99eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
120119oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
121120, 62, 603eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
122121oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )
123122fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) ) )
12458, 59addcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
12528a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12657, 124, 125mulassd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) ) )
127126oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) ) )
128124, 125mulcld 9663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  x.  pi )  e.  CC )
129 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
130 pipos 23401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
131129, 130gtneii 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
13374rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
134128, 125, 57, 132, 133divcan5d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( y  +  1 )  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi ) )
135124, 125, 132divcan4d 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  +  1 )  x.  pi )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
136127, 134, 1353eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( y  +  1 ) )
13781peano2zd 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
138136, 137eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
139 peano2cn 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14058, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
14157, 140mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
142141, 125mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC )
143 coseq1 23463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( cos `  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1  <->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
145138, 144mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  pi ) )  =  1 )
146123, 145eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) )  =  1 )
147117, 146oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  +  ( cos `  (
( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
148147adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
149 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
15061, 59, 125adddird 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
15161, 125mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  e.  CC )
15242, 125syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  e.  CC )
153151, 152addcomd 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( 1  x.  pi )  +  ( ( 2  x.  y )  x.  pi ) ) )
15442a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
15557, 58mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  =  ( y  x.  2 ) )
156155oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( ( y  x.  2 )  x.  pi ) )
15758, 57, 125mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  x.  2 )  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
158156, 157eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  x.  pi )  =  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
159154, 158oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 1  x.  pi )  +  ( (
2  x.  y )  x.  pi ) )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
160150, 153, 1593eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
161160fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
162 cosper 23423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( y  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16328, 81, 162sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( pi  +  ( y  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
16447a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  pi )  = 
-u 1 )
165161, 163, 1643eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  = 
-u 1 )
166165adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( cos `  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) )  =  -u 1
)
167149, 166oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  -u
1 ) )
168167oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( ( 0  +  -u
1 )  +  1 ) )
16951addid2i 9821 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
170169oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
171170, 53eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
172168, 171syl6eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  y ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  0 )
173148, 172eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  +  ( cos `  ( ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  0 )
17466, 96, 1733eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
175174ex 435 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( 2  x.  y ) ) ( cos `  ( n  x.  pi ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 ) )
1764, 8, 12, 16, 55, 175nnind 10627 1  |-  ( K  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... (
2  x.  K ) ) ( cos `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784   sum_csu 13739   cosccos 14104   picpi 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
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