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Theorem dirkertrigeq 38075
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkertrigeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeq.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkertrigeq.h  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Distinct variable groups:    k, N, s    ph, k, s    n, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    D( k, n, s)    F( k, n, s)    H( k, n, s)    N( n)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3  |-  F  =  ( D `  N
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( D `
 N ) )
3 dirkertrigeq.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dirkertrigeq.d . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
54dirkerval 38065 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
63, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
7 dirkertrigeq.h . . 3  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
8 2cnd 10704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
93nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
11 peano2cn 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
13 picn 23493 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
15 2ne0 10724 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17 pire 23492 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
18 pipos 23494 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1917, 18gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  /  pi )  =  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
2221eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
2322ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
24 iftrue 3878 . . . . . . 7  |-  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
2524adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2726zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
29 recn 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
3029ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
31 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
3231, 13mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
3431, 13, 15, 19mulne0i 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3628, 30, 33, 35divassd 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  (
s  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
38 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
39 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
40 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
41 pirp 23495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR+
42 rpmulcl 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
4340, 41, 42mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
44 mod0 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( s  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4539, 43, 44sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4638, 45mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4837, 47zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  ( s  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
4936, 48eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5027adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
5129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
5250, 51mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
53 coseq1 23556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  x.  s )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1  <->  (
( k  x.  s
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1  <-> 
( ( k  x.  s )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5554adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1  <->  ( ( k  x.  s )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5649, 55mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1 )
5756ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1 )
5857adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1 )
5958sumeq2d 13845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1 )
60 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
61 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
62 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  x.  1 ) )
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  x.  1 ) )
643nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
65 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
6766oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  ( N  x.  1 ) )
689mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
6967, 68eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7069ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7159, 63, 703eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  N )
7271oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  N ) )
739div1d 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  /  1
)  =  N )
7473eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( N  /  1 ) )
7574oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  / 
1 ) ) )
76 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
77 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 10449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  /  1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  ( 2  x.  1 ) ) )
8076, 76mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  e.  CC )
819, 8mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  e.  CC )
8280, 81addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) ) )
839, 8mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
8476mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
8583, 84oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
8682, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
878mulid1d 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
8886, 87oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
8975, 79, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9089ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9172, 90eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9291oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
9323, 25, 923eqtr4rd 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
94 iffalse 3881 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
9594adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
9829, 96, 97divcan1d 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  s )
9998eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
10099ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  mod 
pi )  =  0 )
102 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
103 mod0 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
104102, 41, 103sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
105101, 104mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
106105adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  e.  ZZ )
107 rpreccl 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( 1  /  pi )  e.  RR+ )
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  pi )  e.  RR+
109 moddi 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  pi )  e.  RR+  /\  s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
110108, 43, 109mp3an13 1381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
11129, 96, 97divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  s ) )
112111eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  s )  =  ( s  /  pi ) )
11396, 97reccld 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  pi )  e.  CC )
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
115113, 114mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) ) )
116 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
117116, 96, 113mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  (
1  /  pi ) ) ) )
11813, 19recidi 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) )  =  1
119118oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
120116mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
121119, 120syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  2 )
122115, 117, 1213eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  2 )
123112, 122oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  /  pi )  x.  s
)  mod  ( (
1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( s  /  pi )  mod  2 ) )
124110, 123eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
126113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  RR )
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
129127, 128modcld 12135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
130129recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
131130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
132 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
133132, 13, 77, 19divne0i 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  pi )  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  =/=  0
)
135 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  -> 
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
137126, 131, 134, 136mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) ) )  =/=  0
)
138125, 137eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0
)
139138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )
140 oddfl 37577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  /  pi )  e.  ZZ  /\  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
141106, 139, 140syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
142141oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
143100, 142eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
k  x.  s )  =  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )
145144fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
146145sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
147146oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) ) )
148147oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
149148adantlll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
1503ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
152127, 151, 97redivcld 10457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  e.  RR )
153152rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  /  2 )  e.  RR )
154153flcld 12067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
155154ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) )  e.  ZZ )
156 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 38074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
158157adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
159141adantlll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
160159eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( s  /  pi ) )
161160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
162161oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( s  /  pi )  x.  pi )
) )
163162fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) ) )
164161oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 )  =  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) )
165164fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) )
166165oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) ) ) )
167163, 166oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
16898oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
169168fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
17098oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 )  =  ( s  /  2
) )
171170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
172171oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
174173adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
175174ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
176167, 175eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
177149, 158, 1763eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
178 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
179 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )
180178, 41, 103sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
181179, 180mtbid 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
182178recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  CC )
183 sineq0 23555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( sin `  s
)  =  0  <->  (
s  /  pi )  e.  ZZ ) )
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  s )  =  0  <-> 
( s  /  pi )  e.  ZZ )
)
185181, 184mtbird 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( sin `  s )  =  0 )
186185neqned 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  s
)  =/=  0 )
1873ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
188178, 186, 187dirkertrigeqlem2 38073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
189188eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
190189adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  -.  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
191177, 190pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
19295, 191eqtr2d 2506 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
19393, 192pm2.61dan 808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
194193mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
1957, 194syl5req 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  H )
1962, 6, 1953eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059    mod cmo 12129   #chash 12553   sum_csu 13829   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  dirkeritg  38076  fourierdlem83  38165
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