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Theorem dirkertrigeq 31772
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet Kernel (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkertrigeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeq.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkertrigeq.h  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Distinct variable groups:    k, N, s    ph, k, s    n, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    D( k, n, s)    F( k, n, s)    H( k, n, s)    N( n)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3  |-  F  =  ( D `  N
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( D `
 N ) )
3 dirkertrigeq.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dirkertrigeq.d . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
54dirkerval 31762 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
7 dirkertrigeq.h . . 3  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
8 2cnd 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
93nncnd 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
11 peano2cn 9755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
13 picn 22828 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
15 2ne0 10635 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17 pire 22827 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
18 pipos 22829 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1917, 18gt0ne0ii 10096 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 10358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  /  pi )  =  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
2221eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
2322ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
24 iftrue 3932 . . . . . . 7  |-  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
2524adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26 elfzelz 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2726zcnd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
29 recn 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
31 2cn 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
3231, 13mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
3431, 13, 15, 19mulne0i 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3628, 30, 33, 35divassd 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  (
s  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
40 2rp 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
41 pirp 22830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR+
42 rpmulcl 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
4340, 41, 42mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
44 mod0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( s  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4539, 43, 44sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4638, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4837, 47zmulcld 10981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  ( s  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
4936, 48eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5027adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
5129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
5250, 51mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
53 coseq1 22891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  x.  s )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1  <->  (
( k  x.  s
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1  <-> 
( ( k  x.  s )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1  <->  ( ( k  x.  s )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5649, 55mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1 )
5756ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1 )
5857adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1 )
5958sumeq2d 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1 )
60 fzfid 12064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
61 1cnd 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
62 fsumconst 13586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  x.  1 ) )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  x.  1 ) )
643nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
65 hashfz1 12400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
6766oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  ( N  x.  1 ) )
689mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
6967, 68eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7159, 63, 703eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  N )
7271oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  N ) )
739div1d 10319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  /  1
)  =  N )
7473eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( N  /  1 ) )
7574oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  / 
1 ) ) )
76 1cnd 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
77 ax-1ne0 9564 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  /  1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  ( 2  x.  1 ) ) )
8076, 76mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  e.  CC )
819, 8mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  e.  CC )
8280, 81addcomd 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) ) )
839, 8mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
8476mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
8583, 84oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
8682, 85eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
878mulid1d 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
8886, 87oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
8975, 79, 883eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9089ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9172, 90eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9291oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
9323, 25, 923eqtr4rd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
94 iffalse 3935 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
9594adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
9829, 96, 97divcan1d 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  s )
9998eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  mod 
pi )  =  0 )
102 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
103 mod0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
104102, 41, 103sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
105101, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  e.  ZZ )
107 rpreccl 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( 1  /  pi )  e.  RR+ )
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  pi )  e.  RR+
109 moddi 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  pi )  e.  RR+  /\  s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
110108, 43, 109mp3an13 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
11129, 96, 97divrec2d 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  s ) )
112111eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  s )  =  ( s  /  pi ) )
11396, 97reccld 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  pi )  e.  CC )
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
115113, 114mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) ) )
116 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
117116, 96, 113mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  (
1  /  pi ) ) ) )
11813, 19recidi 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) )  =  1
119118oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
120116mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
121119, 120syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  2 )
122115, 117, 1213eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  2 )
123112, 122oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  /  pi )  x.  s
)  mod  ( (
1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( s  /  pi )  mod  2 ) )
124110, 123eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
126113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  RR )
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
129127, 128modcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
130129recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
132 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
133132, 13, 77, 19divne0i 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  pi )  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  =/=  0
)
135 neqne 31388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  -> 
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
137126, 131, 134, 136mulne0d 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) ) )  =/=  0
)
138125, 137eqnetrd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0
)
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )
140 oddfl 31408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  /  pi )  e.  ZZ  /\  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
141106, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
142141oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
143100, 142eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
144143oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
k  x.  s )  =  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )
145144fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
146145sumeq2sdv 13507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
147146oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) ) )
148147oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
149148adantlll 717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
1503ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
152127, 151, 97redivcld 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  e.  RR )
153152rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  /  2 )  e.  RR )
154153flcld 11916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) )  e.  ZZ )
156 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 31771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
158157adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
159141adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
160159eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( s  /  pi ) )
161160oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
162161oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( s  /  pi )  x.  pi )
) )
163162fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) ) )
164161oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 )  =  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) )
165164fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) )
166165oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) ) ) )
167163, 166oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
16898oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
169168fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
17098oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 )  =  ( s  /  2
) )
171170fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
172171oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
174173adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
175174ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
176167, 175eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
177149, 158, 1763eqtrrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
178 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
179 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )
180178, 41, 103sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
181179, 180mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
182178recnd 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  CC )
183 sineq0 22890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( sin `  s
)  =  0  <->  (
s  /  pi )  e.  ZZ ) )
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  s )  =  0  <-> 
( s  /  pi )  e.  ZZ )
)
185181, 184mtbird 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( sin `  s )  =  0 )
186185neqned 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  s
)  =/=  0 )
1873ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
188178, 186, 187dirkertrigeqlem2 31770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
189188eqcomd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
190189adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  -.  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
191177, 190pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
19295, 191eqtr2d 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
19393, 192pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
194193mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
1957, 194syl5req 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  H )
1962, 6, 1953eqtrd 2488 1  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   ifcif 3926    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   RR+crp 11230   ...cfz 11682   |_cfl 11908    mod cmo 11977   #chash 12386   sum_csu 13489   sincsin 13780   cosccos 13781   picpi 13783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786  df-cos 13787  df-pi 13789  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-lp 19614  df-perf 19615  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-haus 19793  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cncf 21359  df-limc 22247  df-dv 22248
This theorem is referenced by:  dirkeritg  31773  fourierdlem83  31861
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