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Theorem dirkertrigeq 37783
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet Kernel (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkertrigeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeq.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkertrigeq.h  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Distinct variable groups:    k, N, s    ph, k, s    n, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    D( k, n, s)    F( k, n, s)    H( k, n, s)    N( n)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3  |-  F  =  ( D `  N
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( D `
 N ) )
3 dirkertrigeq.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dirkertrigeq.d . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
54dirkerval 37773 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
63, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
7 dirkertrigeq.h . . 3  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
8 2cnd 10683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
93nncnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
11 peano2cn 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
13 picn 23401 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
15 2ne0 10703 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17 pire 23400 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
18 pipos 23402 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1917, 18gt0ne0ii 10151 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 10415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  /  pi )  =  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
2221eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
2322ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
24 iftrue 3915 . . . . . . 7  |-  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
2524adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26 elfzelz 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2726zcnd 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
2827adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
29 recn 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
31 2cn 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
3231, 13mulcli 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
3431, 13, 15, 19mulne0i 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3628, 30, 33, 35divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  (
s  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
38 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
39 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
40 2rp 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
41 pirp 23403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR+
42 rpmulcl 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
4340, 41, 42mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
44 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( s  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4539, 43, 44sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4638, 45mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4837, 47zmulcld 11047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  ( s  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
4936, 48eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5027adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
5129adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
5250, 51mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
53 coseq1 23464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  x.  s )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1  <->  (
( k  x.  s
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1  <-> 
( ( k  x.  s )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5554adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1  <->  ( ( k  x.  s )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5649, 55mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1 )
5756ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1 )
5857adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1 )
5958sumeq2d 13756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1 )
60 fzfid 12186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
61 1cnd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
62 fsumconst 13839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  x.  1 ) )
6360, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  x.  1 ) )
643nnnn0d 10926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
65 hashfz1 12529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
6766oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  ( N  x.  1 ) )
689mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
6967, 68eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7069ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7159, 63, 703eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  N )
7271oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  N ) )
739div1d 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  /  1
)  =  N )
7473eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( N  /  1 ) )
7574oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  / 
1 ) ) )
76 1cnd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
77 ax-1ne0 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 10428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  /  1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  ( 2  x.  1 ) ) )
8076, 76mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  e.  CC )
819, 8mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  e.  CC )
8280, 81addcomd 9836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) ) )
839, 8mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
8476mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
8583, 84oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
8682, 85eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
878mulid1d 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
8886, 87oveq12d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
8975, 79, 883eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9089ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9172, 90eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9291oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
9323, 25, 923eqtr4rd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
94 iffalse 3918 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
9594adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
9829, 96, 97divcan1d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  s )
9998eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
10099ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
101 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  mod 
pi )  =  0 )
102 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
103 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
104102, 41, 103sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
105101, 104mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
106105adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  e.  ZZ )
107 rpreccl 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( 1  /  pi )  e.  RR+ )
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  pi )  e.  RR+
109 moddi 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  pi )  e.  RR+  /\  s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
110108, 43, 109mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
11129, 96, 97divrec2d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  s ) )
112111eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  s )  =  ( s  /  pi ) )
11396, 97reccld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  pi )  e.  CC )
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
115113, 114mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) ) )
116 2cnd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
117116, 96, 113mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  (
1  /  pi ) ) ) )
11813, 19recidi 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) )  =  1
119118oveq2i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
120116mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
121119, 120syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  2 )
122115, 117, 1213eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  2 )
123112, 122oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  /  pi )  x.  s
)  mod  ( (
1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( s  /  pi )  mod  2 ) )
124110, 123eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
126113adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
127 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  RR )
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
129127, 128modcld 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
130129recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
131130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
132 ax-1cn 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
133132, 13, 77, 19divne0i 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  pi )  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  =/=  0
)
135 neqne 37235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  -> 
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
136135adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
137126, 131, 134, 136mulne0d 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) ) )  =/=  0
)
138125, 137eqnetrd 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0
)
139138adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )
140 oddfl 37329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  /  pi )  e.  ZZ  /\  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
141106, 139, 140syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
142141oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
143100, 142eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
144143oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
k  x.  s )  =  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )
145144fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
146145sumeq2sdv 13758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
147146oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) ) )
148147oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
149148adantlll 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
1503ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
152127, 151, 97redivcld 10436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  e.  RR )
153152rehalfcld 10860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  /  2 )  e.  RR )
154153flcld 12034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
155154ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) )  e.  ZZ )
156 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 37782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
158157adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
159141adantlll 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
160159eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( s  /  pi ) )
161160oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
162161oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( s  /  pi )  x.  pi )
) )
163162fveq2d 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) ) )
164161oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 )  =  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) )
165164fveq2d 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) )
166165oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) ) ) )
167163, 166oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
16898oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
169168fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
17098oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 )  =  ( s  /  2
) )
171170fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
172171oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
174173adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
175174ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
176167, 175eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
177149, 158, 1763eqtrrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
178 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
179 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )
180178, 41, 103sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
181179, 180mtbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
182178recnd 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  CC )
183 sineq0 23463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( sin `  s
)  =  0  <->  (
s  /  pi )  e.  ZZ ) )
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  s )  =  0  <-> 
( s  /  pi )  e.  ZZ )
)
185181, 184mtbird 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( sin `  s )  =  0 )
186185neqned 2627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  s
)  =/=  0 )
1873ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
188178, 186, 187dirkertrigeqlem2 37781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
189188eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
190189adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  -.  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
191177, 190pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
19295, 191eqtr2d 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
19393, 192pm2.61dan 798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
194193mpteq2dva 4507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
1957, 194syl5req 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  H )
1962, 6, 1953eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   ifcif 3909    |-> cmpt 4479   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   RR+crp 11303   ...cfz 11785   |_cfl 12026    mod cmo 12096   #chash 12515   sum_csu 13740   sincsin 14104   cosccos 14105   picpi 14107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809
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