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Theorem dirkertrigeq 37963
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkertrigeq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkertrigeq.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkertrigeq.h  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Distinct variable groups:    k, N, s    ph, k, s    n, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    D( k, n, s)    F( k, n, s)    H( k, n, s)    N( n)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3  |-  F  =  ( D `  N
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( D `
 N ) )
3 dirkertrigeq.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 dirkertrigeq.d . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
54dirkerval 37953 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
63, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
7 dirkertrigeq.h . . 3  |-  H  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
8 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
93nncnd 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
11 peano2cn 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
13 picn 23414 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
15 2ne0 10702 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17 pire 23413 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
18 pipos 23415 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1917, 18gt0ne0ii 10150 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 10414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 )  /  pi )  =  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
2221eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
2322ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
24 iftrue 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
2524adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2726zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
29 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
3029ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
31 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
3231, 13mulcli 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
3431, 13, 15, 19mulne0i 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3628, 30, 33, 35divassd 10418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  (
s  /  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3726adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
38 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
39 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
40 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
41 pirp 23416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR+
42 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
4340, 41, 42mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
44 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( s  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4539, 43, 44sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4638, 45mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4746adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
4837, 47zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  ( s  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
4936, 48eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
k  x.  s )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5027adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
5129adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
5250, 51mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
53 coseq1 23477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  x.  s )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1  <->  (
( k  x.  s
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1  <-> 
( ( k  x.  s )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5554adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1  <->  ( ( k  x.  s )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
5649, 55mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  =  1 )
5756ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  1 )
5857adantll 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  1 )
5958sumeq2d 13768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1 )
60 fzfid 12186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
61 1cnd 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
62 fsumconst 13851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  x.  1 ) )
6360, 61, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) 1  =  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  x.  1 ) )
643nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
65 hashfz1 12529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
6766oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  ( N  x.  1 ) )
689mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
6967, 68eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7069ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( # `  (
1 ... N ) )  x.  1 )  =  N )
7159, 63, 703eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  N )
7271oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  N ) )
739div1d 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  /  1
)  =  N )
7473eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( N  /  1 ) )
7574oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( N  / 
1 ) ) )
76 1cnd 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
77 ax-1ne0 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 10427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( N  /  1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  ( 2  x.  1 ) ) )
8076, 76mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  e.  CC )
819, 8mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  e.  CC )
8280, 81addcomd 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) ) )
839, 8mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
8476mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
8583, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
8682, 85eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
878mulid1d 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
8886, 87oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( N  x.  2 ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
8975, 79, 883eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9089ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9172, 90eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  2 ) )
9291oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  /  pi ) )
9323, 25, 923eqtr4rd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
94 iffalse 3890 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
9594adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
9829, 96, 97divcan1d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  s )
9998eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
10099ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
101 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  mod 
pi )  =  0 )
102 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
103 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
104102, 41, 103sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
105101, 104mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
106105adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  e.  ZZ )
107 rpreccl 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( 1  /  pi )  e.  RR+ )
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  pi )  e.  RR+
109 moddi 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  pi )  e.  RR+  /\  s  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
110108, 43, 109mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 1  /  pi )  x.  s )  mod  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
11129, 96, 97divrec2d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  s ) )
112111eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  s )  =  ( s  /  pi ) )
11396, 97reccld 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  pi )  e.  CC )
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
115113, 114mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) ) )
116 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
117116, 96, 113mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( 1  /  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  (
1  /  pi ) ) ) )
11813, 19recidi 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) )  =  1
119118oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
120116mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
121119, 120syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( pi  x.  ( 1  /  pi ) ) )  =  2 )
122115, 117, 1213eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  2 )
123112, 122oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  /  pi )  x.  s
)  mod  ( (
1  /  pi )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( s  /  pi )  mod  2 ) )
124110, 123eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
125124adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) ) )
126113adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  RR )
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
129127, 128modcld 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
130129recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
131130adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
132 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
133132, 13, 77, 19divne0i 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  /  pi )  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 1  /  pi )  =/=  0
)
135 neqne 37374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  -> 
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
136135adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
137126, 131, 134, 136mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) ) )  =/=  0
)
138125, 137eqnetrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0
)
139138adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )
140 oddfl 37487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  /  pi )  e.  ZZ  /\  (
( s  /  pi )  mod  2 )  =/=  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
141106, 139, 140syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
142141oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( s  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
143100, 142eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  =  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )
144143oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
k  x.  s )  =  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )
145144fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  =  ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
146145sumeq2sdv 13770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )
147146oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) ) )
148147oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  e.  RR  /\ 
-.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
149148adantlll 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi ) )
1503ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
152127, 151, 97redivcld 10435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  pi )  e.  RR )
153152rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  pi )  /  2 )  e.  RR )
154153flcld 12034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
155154ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) )  e.  ZZ )
156 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 37962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
158157adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
159141adantlll 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
s  /  pi )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 ) )
160159eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( s  /  pi ) )
161160oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( 2  x.  ( |_ `  (
( s  /  pi )  /  2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )
162161oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
( s  /  pi )  x.  pi )
) )
163162fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) ) )
164161oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 )  =  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) )
165164fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) )
166165oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( ( 2  x.  ( |_
`  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) ) ) )
167163, 166oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) ) )
16898oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) )  =  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
169168fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
17098oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 )  =  ( s  /  2
) )
171170fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
172171oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
174173adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
175174ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( s  /  pi )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( s  /  pi )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
176167, 175eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  / 
2 ) ) )  +  1 )  x.  pi ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( ( ( 2  x.  ( |_ `  ( ( s  /  pi )  /  2
) ) )  +  1 )  x.  pi )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
177149, 158, 1763eqtrrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
178 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  RR )
179 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )
180178, 41, 103sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( s  mod  pi )  =  0  <->  ( s  /  pi )  e.  ZZ ) )
181179, 180mtbid 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( s  /  pi )  e.  ZZ )
182178recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  s  e.  CC )
183 sineq0 23476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( sin `  s
)  =  0  <->  (
s  /  pi )  e.  ZZ ) )
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  s )  =  0  <-> 
( s  /  pi )  e.  ZZ )
)
185181, 184mtbird 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( sin `  s )  =  0 )
186185neqned 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( sin `  s
)  =/=  0 )
1873ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  N  e.  NN )
188178, 186, 187dirkertrigeqlem2 37961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
189188eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
190189adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  /\  -.  (
s  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
191177, 190pm2.61dan 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
19295, 191eqtr2d 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
19393, 192pm2.61dan 800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  =  if (
( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
194193mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
1957, 194syl5req 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  H )
1962, 6, 1953eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  F  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   ifcif 3881    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   ...cfz 11784   |_cfl 12026    mod cmo 12096   #chash 12515   sum_csu 13752   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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