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Theorem dirkerper 32124
Description: the Dirichlet Kernel has period  2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkerper  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Distinct variable groups:    y, N    y, n
Allowed substitution hints:    D( x, y, n)    T( x, y, n)    N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
21eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
32oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  T
)
4 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5 pire 23068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
71, 6eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR
87recni 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e.  CC
98mulid2i 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  T )  =  T
103, 9eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  T
1110oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( x  +  T
)
1211eqcomi 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
1312oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) ) )
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
17 2rp 11250 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
18 pirp 23071 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
19 rpmulcl 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
2017, 18, 19mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
22 1z 10915 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
24 modcyc 12034 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  (
2  x.  pi ) ) )
26 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2714, 25, 263eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2827iftrued 3952 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
29 iftrue 3950 . . . . 5  |-  ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3128, 30eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
32 iffalse 3953 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
34 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 halfcn 10776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3734, 36addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
39 recn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4039adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
4138, 40mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC )
4241sincld 13968 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
446recni 9625 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
4640halfcld 10804 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  /  2
)  e.  CC )
4746sincld 13968 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
x  /  2 ) )  e.  CC )
4845, 47mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  / 
2 ) ) )  e.  CC )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  e.  CC )
50 dirkerdenne0 32121 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5150adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =/=  0 )
5243, 49, 51div2negd 10356 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5420, 22, 24mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5553, 54eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
57 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
5857neqned 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
5956, 58eqnetrd 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
6059neneqd 2659 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
61 iffalse 3953 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )
621oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )
6362oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
6463fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
6562oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  +  T )  /  2 )  =  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
)
6665fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) )
6766oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )
6864, 67oveq12i 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )
6961, 68syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7060, 69syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) ) )
7170adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
7334, 36, 72adddird 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
74 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
75 2cnne0 10771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
76 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
77 picn 23069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
7876, 77mulcli 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
79 div32 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) ) )
8074, 75, 78, 79mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  (
( 2  x.  pi )  /  2 ) )
81 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8278, 76, 81divcli 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  e.  CC
8382mulid2i 9616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  2
)
8477, 76, 81divcan3i 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi
8583, 84eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  pi
8680, 85eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  pi
8786oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )
8873, 87syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
8988oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9138, 40, 45adddid 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
9234, 72mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
9541, 93, 94addassd 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi )  =  ( (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9690, 91, 953eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi ) ) )
9841, 93addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
99 sinppi 23099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) ) ) )
101 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
102101nnzd 10989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  ZZ )
103 sinper 23091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
10441, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
105104negeqd 9833 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  -> 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10697, 100, 1053eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  e.  CC )
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
11039, 107, 108, 109divdird 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2
) ) )
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi )
112111oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  /  2
)  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
113110, 112eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
114113fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( x  /  2
)  +  pi ) ) )
11539halfcld 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  CC )
116 sinppi 23099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
118114, 117eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
119118oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  / 
2 ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
121106, 120oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
122121adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
123115sincld 13968 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  e.  CC )
124107, 123mulneg2d 10031 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) )  = 
-u ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
125124oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
126125ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
12771, 122, 1263eqtrrd 2503 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) ) )
12833, 52, 1273eqtr2rd 2505 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
12931, 128pm2.61dan 791 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
1307a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  T  e.  RR )
13115, 130readdcld 9640 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
132 dirkerper.1 . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
133132dirkerval2 32122 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( D `
 N ) `  ( x  +  T
) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
134131, 133sylan2 474 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
135132dirkerval2 32122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  x
)  =  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2508 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ifcif 3944    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   RR+crp 11245    mod cmo 11999   sincsin 13902   picpi 13905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-pi 13911  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-haus 20034  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-limc 22487  df-dv 22488
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  32246
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