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Theorem dirkerper 38070
Description: the Dirichlet Kernel has period  2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkerper  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Distinct variable groups:    y, N    y, n
Allowed substitution hints:    D( x, y, n)    T( x, y, n)    N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
21eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
32oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  T
)
4 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5 pire 23492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 9675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
71, 6eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR
87recni 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e.  CC
98mulid2i 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  T )  =  T
103, 9eqtri 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  T
1110oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( x  +  T
)
1211eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
1312oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) ) )
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
1615ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
17 2rp 11330 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
18 pirp 23495 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
19 rpmulcl 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
2017, 18, 19mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
22 1z 10991 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
24 modcyc 12165 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  (
2  x.  pi ) ) )
26 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2714, 25, 263eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2827iftrued 3880 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
29 iftrue 3878 . . . . 5  |-  ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3029adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3128, 30eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
32 iffalse 3881 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
3332adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
34 nncn 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 halfcn 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3734, 36addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
3837adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
39 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4039adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
4138, 40mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC )
4241sincld 14261 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
4342adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
446recni 9673 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
4640halfcld 10880 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  /  2
)  e.  CC )
4746sincld 14261 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
x  /  2 ) )  e.  CC )
4845, 47mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  / 
2 ) ) )  e.  CC )
4948adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  e.  CC )
50 dirkerdenne0 38067 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5150adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =/=  0 )
5243, 49, 51div2negd 10420 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5420, 22, 24mp3an23 1382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5553, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5655adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
57 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
5857neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
5956, 58eqnetrd 2710 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
6059neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
61 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )
621oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )
6362oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
6463fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
6562oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  +  T )  /  2 )  =  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
)
6665fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) )
6766oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )
6864, 67oveq12i 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )
6961, 68syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7060, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) ) )
7170adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
7334, 36, 72adddird 9686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
74 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
75 2cnne0 10847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
76 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
77 picn 23493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
7876, 77mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
79 div32 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) ) )
8074, 75, 78, 79mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  (
( 2  x.  pi )  /  2 ) )
81 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8278, 76, 81divcli 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  e.  CC
8382mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  2
)
8477, 76, 81divcan3i 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi
8583, 84eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  pi
8680, 85eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  pi
8786oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )
8873, 87syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
8988oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9089adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9138, 40, 45adddid 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
9234, 72mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
9541, 93, 94addassd 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi )  =  ( (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9690, 91, 953eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )
9796fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi ) ) )
9841, 93addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
99 sinppi 23523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) ) ) )
101 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
102101nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  ZZ )
103 sinper 23515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
10441, 102, 103syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
105104negeqd 9889 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  -> 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10697, 100, 1053eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  e.  CC )
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
11039, 107, 108, 109divdird 10443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2
) ) )
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi )
112111oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  /  2
)  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
113110, 112eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
114113fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( x  /  2
)  +  pi ) ) )
11539halfcld 10880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  CC )
116 sinppi 23523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
118114, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
119118oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  / 
2 ) ) ) )
120119adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
121106, 120oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
122121adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
123115sincld 14261 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  e.  CC )
124107, 123mulneg2d 10093 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) )  = 
-u ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
125124oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
126125ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
12771, 122, 1263eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) ) )
12833, 52, 1273eqtr2rd 2512 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
12931, 128pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
1307a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  T  e.  RR )
13115, 130readdcld 9688 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
132 dirkerper.1 . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
133132dirkerval2 38068 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( D `
 N ) `  ( x  +  T
) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
134131, 133sylan2 482 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
135132dirkerval2 38068 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  x
)  =  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2515 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325    mod cmo 12129   sincsin 14193   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  38193
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