Theorem dirkerper 38070

Description: the Dirichlet Kernel has period 2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	|- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2	|- T = ( 2 x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	|- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Distinct variable groups:   y, N   y, n

Allowed substitution hints:   D( x, y, n)   T( x, y, n)   N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( 2 x. pi )
2	1	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = T
3	2	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. T )
4		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
5		pire 23492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	1, 6	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR
8	7	recni 9673	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. CC
9	8	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. T ) = T
10	3, 9	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = T
11	10	oveq2i 6319	. . . . . . . . 9 |- ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( x + T )
12	11	eqcomi 2480	. . . . . . . 8 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) )
13	12	oveq1i 6318	. . . . . . 7 |- ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) )
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> x e. RR )
16	15	ad2antlr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> x e. RR )
17		2rp 11330	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
18		pirp 23495	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR+
19		rpmulcl 11347	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
20	17, 18, 19	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
22		1z 10991	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
24		modcyc 12165	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
25	16, 21, 23, 24	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
26		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
27	14, 25, 26	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
28	27	iftrued 3880	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
29		iftrue 3878	. . . . 5 |- ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
30	29	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
31	28, 30	eqtr4d 2508	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
32		iffalse 3881	. . . . 5 |- ( -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
33	32	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
34		nncn 10639	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
35		halfcn 10852	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
37	34, 36	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
38	37	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
39		recn 9647	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
40	39	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> x e. CC )
41	38, 40	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC )
42	41	sincld 14261	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
43	42	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
44	6	recni 9673	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
46	40	halfcld 10880	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( x / 2 ) e. CC )
47	46	sincld 14261	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
48	45, 47	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
49	48	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
50		dirkerdenne0 38067	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
51	50	adantll 728	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
52	43, 49, 51	div2negd 10420	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
53	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
54	20, 22, 24	mp3an23 1382	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
56	55	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
57		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
58	57	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
59	56, 58	eqnetrd 2710	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
60	59	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
61		iffalse 3881	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) )
62	1	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( x + T ) = ( x + ( 2 x. pi ) )
63	62	oveq2i 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) )
64	63	fveq2i 5882	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) )
65	62	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x + T ) / 2 ) = ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 )
66	65	fveq2i 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) )
67	66	oveq2i 6319	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) )
68	64, 67	oveq12i 6320	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) )
69	61, 68	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
70	60, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	adantll 728	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
72	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 x. pi ) e. CC )
73	34, 36, 72	adddird 9686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
74		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		2cnne0 10847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
76		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
77		picn 23493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
78	76, 77	mulcli 9666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. CC
79		div32 10312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
80	74, 75, 78, 79	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) )
81		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
82	78, 76, 81	divcli 10371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) e. CC
83	82	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / 2 )
84	77, 76, 81	divcan3i 10375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi
85	83, 84	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = pi
86	80, 85	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = pi
87	86	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi )
88	73, 87	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
89	88	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
90	89	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
91	38, 40, 45	adddid 9685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
92	34, 72	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
93	92	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
94	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> pi e. CC )
95	41, 93, 94	addassd 9683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
96	90, 91, 95	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) )
97	96	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) )
98	41, 93	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC )
99		sinppi 23523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
101		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. NN )
102	101	nnzd 11062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. ZZ )
103		sinper 23515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
104	41, 102, 103	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
105	104	negeqd 9889	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
106	97, 100, 105	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
107	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( 2 x. pi ) e. CC )
108	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 e. CC )
109	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 =/= 0 )
110	39, 107, 108, 109	divdird 10443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
111	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi )
112	111	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
113	110, 112	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
114	113	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) )
115	39	halfcld 10880	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. CC )
116		sinppi 23523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
118	114, 117	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
119	118	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
120	119	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
121	106, 120	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
122	121	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
123	115	sincld 14261	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
124	107, 123	mulneg2d 10093	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) = -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
126	125	ad2antlr 741	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
127	71, 122, 126	3eqtrrd 2510	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
128	33, 52, 127	3eqtr2rd 2512	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
129	31, 128	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
130	7	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. RR -> T e. RR )
131	15, 130	readdcld 9688	. . 3 |- ( x e. RR -> ( x + T ) e. RR )
132		dirkerper.1	. . . 4 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
133	132	dirkerval2 38068	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x + T ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
134	131, 133	sylan2 482	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
135	132	dirkerval2 38068	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` x ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2515	1 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   ifcif 3872   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325   mod cmo 12129   sincsin 14193   picpi 14196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  38193