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Theorem dirkerper 37958
Description: the Dirichlet Kernel has period  2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkerper  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Distinct variable groups:    y, N    y, n
Allowed substitution hints:    D( x, y, n)    T( x, y, n)    N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
21eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
32oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  T
)
4 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5 pire 23413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
71, 6eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR
87recni 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e.  CC
98mulid2i 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  T )  =  T
103, 9eqtri 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  T
1110oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( x  +  T
)
1211eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
1312oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) ) )
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
1615ad2antlr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
17 2rp 11307 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
18 pirp 23416 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
19 rpmulcl 11324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
2017, 18, 19mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
22 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
24 modcyc 12132 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  (
2  x.  pi ) ) )
26 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2714, 25, 263eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2827iftrued 3889 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
29 iftrue 3887 . . . . 5  |-  ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3029adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3128, 30eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
32 iffalse 3890 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
3332adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
34 nncn 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 halfcn 10829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3734, 36addcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
3837adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
39 recn 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4039adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
4138, 40mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC )
4241sincld 14184 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
4342adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
446recni 9655 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
4640halfcld 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  /  2
)  e.  CC )
4746sincld 14184 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
x  /  2 ) )  e.  CC )
4845, 47mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  / 
2 ) ) )  e.  CC )
4948adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  e.  CC )
50 dirkerdenne0 37955 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5150adantll 720 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =/=  0 )
5243, 49, 51div2negd 10398 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5420, 22, 24mp3an23 1356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5553, 54eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5655adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
57 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
5857neqned 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
5956, 58eqnetrd 2691 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
6059neneqd 2629 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
61 iffalse 3890 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )
621oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )
6362oveq2i 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
6463fveq2i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
6562oveq1i 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  +  T )  /  2 )  =  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
)
6665fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) )
6766oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )
6864, 67oveq12i 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )
6961, 68syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7060, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) ) )
7170adantll 720 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
7334, 36, 72adddird 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
74 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
75 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
76 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
77 picn 23414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
7876, 77mulcli 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
79 div32 10290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) ) )
8074, 75, 78, 79mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  (
( 2  x.  pi )  /  2 ) )
81 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8278, 76, 81divcli 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  e.  CC
8382mulid2i 9646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  2
)
8477, 76, 81divcan3i 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi
8583, 84eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  pi
8680, 85eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  pi
8786oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )
8873, 87syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
8988oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9089adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9138, 40, 45adddid 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
9234, 72mulcld 9663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
9541, 93, 94addassd 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi )  =  ( (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9690, 91, 953eqtr4d 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )
9796fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi ) ) )
9841, 93addcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
99 sinppi 23444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) ) ) )
101 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
102101nnzd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  ZZ )
103 sinper 23436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
10441, 102, 103syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
105104negeqd 9869 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  -> 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10697, 100, 1053eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  e.  CC )
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
11039, 107, 108, 109divdird 10421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2
) ) )
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi )
112111oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  /  2
)  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
113110, 112eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
114113fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( x  /  2
)  +  pi ) ) )
11539halfcld 10857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  CC )
116 sinppi 23444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
118114, 117eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
119118oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  / 
2 ) ) ) )
120119adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
121106, 120oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
122121adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
123115sincld 14184 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  e.  CC )
124107, 123mulneg2d 10072 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) )  = 
-u ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
125124oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
126125ad2antlr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
12771, 122, 1263eqtrrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) ) )
12833, 52, 1273eqtr2rd 2492 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
12931, 128pm2.61dan 800 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
1307a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  T  e.  RR )
13115, 130readdcld 9670 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
132 dirkerper.1 . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
133132dirkerval2 37956 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( D `
 N ) `  ( x  +  T
) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
134131, 133sylan2 477 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
135132dirkerval2 37956 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  x
)  =  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2495 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   ifcif 3881    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302    mod cmo 12096   sincsin 14116   picpi 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  38081
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