Theorem dirkerper 37958

Description: the Dirichlet Kernel has period 2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	|- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2	|- T = ( 2 x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	|- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Distinct variable groups:   y, N   y, n

Allowed substitution hints:   D( x, y, n)   T( x, y, n)   N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( 2 x. pi )
2	1	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = T
3	2	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. T )
4		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
5		pire 23413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 9657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	1, 6	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR
8	7	recni 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. CC
9	8	mulid2i 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. T ) = T
10	3, 9	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = T
11	10	oveq2i 6301	. . . . . . . . 9 |- ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( x + T )
12	11	eqcomi 2460	. . . . . . . 8 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) )
13	12	oveq1i 6300	. . . . . . 7 |- ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) )
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> x e. RR )
16	15	ad2antlr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> x e. RR )
17		2rp 11307	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
18		pirp 23416	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR+
19		rpmulcl 11324	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
20	17, 18, 19	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
22		1z 10967	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
24		modcyc 12132	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
25	16, 21, 23, 24	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
26		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
27	14, 25, 26	3eqtrd 2489	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
28	27	iftrued 3889	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
29		iftrue 3887	. . . . 5 |- ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
30	29	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
31	28, 30	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
32		iffalse 3890	. . . . 5 |- ( -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
33	32	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
34		nncn 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
35		halfcn 10829	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
37	34, 36	addcld 9662	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
38	37	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
39		recn 9629	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
40	39	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> x e. CC )
41	38, 40	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC )
42	41	sincld 14184	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
43	42	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
44	6	recni 9655	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
46	40	halfcld 10857	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( x / 2 ) e. CC )
47	46	sincld 14184	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
48	45, 47	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
49	48	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
50		dirkerdenne0 37955	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
51	50	adantll 720	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
52	43, 49, 51	div2negd 10398	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
53	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
54	20, 22, 24	mp3an23 1356	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
56	55	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
57		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
58	57	neqned 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
59	56, 58	eqnetrd 2691	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
60	59	neneqd 2629	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
61		iffalse 3890	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) )
62	1	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x + T ) = ( x + ( 2 x. pi ) )
63	62	oveq2i 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) )
64	63	fveq2i 5868	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) )
65	62	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x + T ) / 2 ) = ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 )
66	65	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) )
67	66	oveq2i 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) )
68	64, 67	oveq12i 6302	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) )
69	61, 68	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
70	60, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	adantll 720	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
72	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 x. pi ) e. CC )
73	34, 36, 72	adddird 9668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
74		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		2cnne0 10824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
76		2cn 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
77		picn 23414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
78	76, 77	mulcli 9648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. CC
79		div32 10290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
80	74, 75, 78, 79	mp3an 1364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) )
81		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
82	78, 76, 81	divcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) e. CC
83	82	mulid2i 9646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / 2 )
84	77, 76, 81	divcan3i 10353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi
85	83, 84	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = pi
86	80, 85	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = pi
87	86	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi )
88	73, 87	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
89	88	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
90	89	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
91	38, 40, 45	adddid 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
92	34, 72	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
94	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> pi e. CC )
95	41, 93, 94	addassd 9665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
96	90, 91, 95	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) )
97	96	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) )
98	41, 93	addcld 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC )
99		sinppi 23444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
101		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. NN )
102	101	nnzd 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. ZZ )
103		sinper 23436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
104	41, 102, 103	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
105	104	negeqd 9869	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
106	97, 100, 105	3eqtrd 2489	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
107	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( 2 x. pi ) e. CC )
108	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 e. CC )
109	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 =/= 0 )
110	39, 107, 108, 109	divdird 10421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
111	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi )
112	111	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
113	110, 112	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
114	113	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) )
115	39	halfcld 10857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. CC )
116		sinppi 23444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
118	114, 117	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
119	118	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
120	119	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
121	106, 120	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
122	121	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
123	115	sincld 14184	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
124	107, 123	mulneg2d 10072	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) = -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
126	125	ad2antlr 733	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
127	71, 122, 126	3eqtrrd 2490	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
128	33, 52, 127	3eqtr2rd 2492	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
129	31, 128	pm2.61dan 800	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
130	7	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. RR -> T e. RR )
131	15, 130	readdcld 9670	. . 3 |- ( x e. RR -> ( x + T ) e. RR )
132		dirkerper.1	. . . 4 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
133	132	dirkerval2 37956	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x + T ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
134	131, 133	sylan2 477	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
135	132	dirkerval2 37956	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` x ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2495	1 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   ifcif 3881   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   mod cmo 12096   sincsin 14116   picpi 14119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  38081