Theorem dirkerper 37531

Description: the Dirichlet Kernel has period 2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	|- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2	|- T = ( 2 x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	|- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Distinct variable groups:   y, N   y, n

Allowed substitution hints:   D( x, y, n)   T( x, y, n)   N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( 2 x. pi )
2	1	eqcomi 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = T
3	2	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. T )
4		2re 10668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
5		pire 23275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	1, 6	eqeltri 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR
8	7	recni 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- T e. CC
9	8	mulid2i 9635	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. T ) = T
10	3, 9	eqtri 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) = T
11	10	oveq2i 6307	. . . . . . . . 9 |- ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( x + T )
12	11	eqcomi 2433	. . . . . . . 8 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) )
13	12	oveq1i 6306	. . . . . . 7 |- ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) )
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
15		id 23	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> x e. RR )
16	15	ad2antlr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> x e. RR )
17		2rp 11296	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
18		pirp 23278	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR+
19		rpmulcl 11313	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
20	17, 18, 19	mp2an 676	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
22		1z 10956	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
24		modcyc 12118	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
25	16, 21, 23, 24	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
26		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
27	14, 25, 26	3eqtrd 2465	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
28	27	iftrued 3914	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
29		iftrue 3912	. . . . 5 |- ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
30	29	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
31	28, 30	eqtr4d 2464	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
32		iffalse 3915	. . . . 5 |- ( -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
33	32	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
34		nncn 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
35		halfcn 10818	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
37	34, 36	addcld 9651	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
38	37	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
39		recn 9618	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
40	39	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> x e. CC )
41	38, 40	mulcld 9652	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC )
42	41	sincld 14151	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
43	42	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) e. CC )
44	6	recni 9644	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
46	40	halfcld 10846	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( x / 2 ) e. CC )
47	46	sincld 14151	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
48	45, 47	mulcld 9652	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
49	48	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) e. CC )
50		dirkerdenne0 37528	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
51	50	adantll 718	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) =/= 0 )
52	43, 49, 51	div2negd 10387	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
53	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) )
54	20, 22, 24	mp3an23 1352	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 1 x. ( 2 x. pi ) ) ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
56	55	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = ( x mod ( 2 x. pi ) ) )
57		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
58	57	neqned 2625	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
59	56, 58	eqnetrd 2715	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
60	59	neneqd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
61		iffalse 3915	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) )
62	1	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( x + T ) = ( x + ( 2 x. pi ) )
63	62	oveq2i 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) )
64	63	fveq2i 5875	. . . . . . . . 9 |- ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) )
65	62	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x + T ) / 2 ) = ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 )
66	65	fveq2i 5875	. . . . . . . . . 10 |- ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) )
67	66	oveq2i 6307	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) )
68	64, 67	oveq12i 6308	. . . . . . . 8 |- ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) )
69	61, 68	syl6eq 2477	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
70	60, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	adantll 718	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) )
72	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 x. pi ) e. CC )
73	34, 36, 72	adddird 9657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
74		ax-1cn 9586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		2cnne0 10813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
76		2cn 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
77		picn 23276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
78	76, 77	mulcli 9637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. CC
79		div32 10279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
80	74, 75, 78, 79	mp3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) )
81		2ne0 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
82	78, 76, 81	divcli 10338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) e. CC
83	82	mulid2i 9635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / 2 )
84	77, 76, 81	divcan3i 10342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi
85	83, 84	eqtri 2449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = pi
86	80, 85	eqtri 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = pi
87	86	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi )
88	73, 87	syl6eq 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
89	88	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
90	89	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
91	38, 40, 45	adddid 9656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
92	34, 72	mulcld 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
93	92	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( N x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
94	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> pi e. CC )
95	41, 93, 94	addassd 9654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) = ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( ( N x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) ) )
96	90, 91, 95	3eqtr4d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) )
97	96	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) )
98	41, 93	addcld 9651	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC )
99		sinppi 23306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
101		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. NN )
102	101	nnzd 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> N e. ZZ )
103		sinper 23298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
104	41, 102, 103	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
105	104	negeqd 9858	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) + ( N x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
106	97, 100, 105	3eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
107	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( 2 x. pi ) e. CC )
108	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 e. CC )
109	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> 2 =/= 0 )
110	39, 107, 108, 109	divdird 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) )
111	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) / 2 ) = pi )
112	111	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( x / 2 ) + ( ( 2 x. pi ) / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
113	110, 112	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + pi ) )
114	113	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) )
115	39	halfcld 10846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x / 2 ) e. CC )
116		sinppi 23306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x / 2 ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
118	114, 117	eqtrd 2461	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) = -u ( sin ` ( x / 2 ) ) )
119	118	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
120	119	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
121	106, 120	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
122	121	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + ( 2 x. pi ) ) / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
123	115	sincld 14151	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` ( x / 2 ) ) e. CC )
124	107, 123	mulneg2d 10061	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) = -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
126	125	ad2antlr 731	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. -u ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) )
127	71, 122, 126	3eqtrrd 2466	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( -u ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / -u ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
128	33, 52, 127	3eqtr2rd 2468	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ x e. RR ) /\ -. ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
129	31, 128	pm2.61dan 798	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
130	7	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. RR -> T e. RR )
131	15, 130	readdcld 9659	. . 3 |- ( x e. RR -> ( x + T ) e. RR )
132		dirkerper.1	. . . 4 |- D = ( n e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
133	132	dirkerval2 37529	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x + T ) e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
134	131, 133	sylan2 476	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = if ( ( ( x + T ) mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( x + T ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( x + T ) / 2 ) ) ) ) ) )
135	132	dirkerval2 37529	. 2 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` x ) = if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2471	1 |- ( ( N e. NN /\ x e. RR ) -> ( ( D ` N ) ` ( x + T ) ) = ( ( D ` N ) ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   ifcif 3906   |-> cmpt 4475   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   + caddc 9531   x. cmul 9533   -ucneg 9850   / cdiv 10258   NNcn 10598   2c2 10648   ZZcz 10926   RR+crp 11291   mod cmo 12082   sincsin 14083   picpi 14086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-limc 22695  df-dv 22696

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  37653