Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkerper Structured version   Unicode version

Theorem dirkerper 37531
Description: the Dirichlet Kernel has period  2 pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkerper.2  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
Assertion
Ref Expression
dirkerper  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Distinct variable groups:    y, N    y, n
Allowed substitution hints:    D( x, y, n)    T( x, y, n)    N( x, n)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
21eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
32oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  T
)
4 2re 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
5 pire 23275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
71, 6eqeltri 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR
87recni 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e.  CC
98mulid2i 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  T )  =  T
103, 9eqtri 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  T
1110oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( x  +  T
)
1211eqcomi 2433 . . . . . . . 8  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
1312oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  (
2  x.  pi ) ) )  mod  (
2  x.  pi ) ) )
15 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
1615ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
17 2rp 11296 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
18 pirp 23278 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR+
19 rpmulcl 11313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
2017, 18, 19mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
22 1z 10956 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  1  e.  ZZ )
24 modcyc 12118 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  (
2  x.  pi ) ) )
26 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2714, 25, 263eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
2827iftrued 3914 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
29 iftrue 3912 . . . . 5  |-  ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3029adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
3128, 30eqtr4d 2464 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if (
( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
32 iffalse 3915 . . . . 5  |-  ( -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
3332adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
34 nncn 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
35 halfcn 10818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3734, 36addcld 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
3837adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
39 recn 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4039adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
4138, 40mulcld 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC )
4241sincld 14151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
4342adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  e.  CC )
446recni 9644 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
4640halfcld 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  /  2
)  e.  CC )
4746sincld 14151 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
x  /  2 ) )  e.  CC )
4845, 47mulcld 9652 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  / 
2 ) ) )  e.  CC )
4948adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  e.  CC )
50 dirkerdenne0 37528 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5150adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =/=  0 )
5243, 49, 51div2negd 10387 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5420, 22, 24mp3an23 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 1  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5553, 54eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
5655adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
57 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
5857neqned 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
5956, 58eqnetrd 2715 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
6059neneqd 2623 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  -.  ( (
x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
61 iffalse 3915 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )
621oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )
6362oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) )  =  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
6463fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
6562oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  +  T )  /  2 )  =  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
)
6665fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) )  =  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) )
6766oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )
6864, 67oveq12i 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )
6961, 68syl6eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7060, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) ) )
7170adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) ) ) )
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
7334, 36, 72adddird 9657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
74 ax-1cn 9586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
75 2cnne0 10813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
76 2cn 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
77 picn 23276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
7876, 77mulcli 9637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
79 div32 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) ) )
8074, 75, 78, 79mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  x.  (
( 2  x.  pi )  /  2 ) )
81 2ne0 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8278, 76, 81divcli 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  e.  CC
8382mulid2i 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  2
)
8477, 76, 81divcan3i 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi
8583, 84eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  ( ( 2  x.  pi )  / 
2 ) )  =  pi
8680, 85eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  pi
8786oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi )
8873, 87syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
8988oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9089adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9138, 40, 45adddid 9656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
9234, 72mulcld 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9392adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
9541, 93, 94addassd 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi )  =  ( (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( ( N  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) ) )
9690, 91, 953eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) )  +  pi ) ) )
9841, 93addcld 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
99 sinppi 23306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  +  pi ) )  =  -u ( sin `  ( ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  +  ( N  x.  (
2  x.  pi ) ) ) ) )
101 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
102101nnzd 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  ZZ )
103 sinper 23298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
10441, 102, 103syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) ) )
105104negeqd 9858 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  -> 
-u ( sin `  (
( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
)  +  ( N  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10697, 100, 1053eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) ) )
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  e.  CC )
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
11039, 107, 108, 109divdird 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2
) ) )
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  /  2 )  =  pi )
112111oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  /  2
)  +  ( ( 2  x.  pi )  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
113110, 112eqtrd 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )
114113fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( x  /  2
)  +  pi ) ) )
11539halfcld 10846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  CC )
116 sinppi 23306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  /  2 )  +  pi ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
118114, 117eqtrd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
x  /  2 ) ) )
119118oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  / 
2 ) ) ) )
120119adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
121106, 120oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
122121adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  (
( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  ( 2  x.  pi ) )  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
123115sincld 14151 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  e.  CC )
124107, 123mulneg2d 10061 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  ( x  /  2
) ) )  = 
-u ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )
125124oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
126125ad2antlr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  -u ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( -u ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) )
12771, 122, 1263eqtrrd 2466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  ( -u ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  -u (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) )  =  if ( ( ( x  +  T
)  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  (
x  +  T ) ) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( ( x  +  T )  /  2
) ) ) ) ) )
12833, 52, 1273eqtr2rd 2468 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
12931, 128pm2.61dan 798 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  x
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) ) ) ) )
1307a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  T  e.  RR )
13115, 130readdcld 9659 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
132 dirkerper.1 . . . 4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
133132dirkerval2 37529 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( D `
 N ) `  ( x  +  T
) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
134131, 133sylan2 476 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  if ( ( ( x  +  T )  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  ( x  +  T ) ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
( x  +  T
)  /  2 ) ) ) ) ) )
135132dirkerval2 37529 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  x
)  =  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2471 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( D `  N ) `  (
x  +  T ) )  =  ( ( D `  N ) `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   ifcif 3906    |-> cmpt 4475   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533   -ucneg 9850    / cdiv 10258   NNcn 10598   2c2 10648   ZZcz 10926   RR+crp 11291    mod cmo 12082   sincsin 14083   picpi 14086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-limc 22695  df-dv 22696
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  37653
  Copyright terms: Public domain W3C validator