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Theorem dirkeritg 37958
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkeritg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkeritg.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkeritg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkeritg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dirkeritg.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
dirkeritg.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkeritg  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    x, F    k, N, x    ph, k    x, n
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    A( n)    B( n)    D( x, k, n)    F( k, n)    G( x, k, n)    N( n)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
21cbvitgv 22727 . . 3  |-  S. ( A (,) B ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `  s
)  _d s )
4 elioore 11663 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
54adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6 halfre 10825 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8 fzfid 12183 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
109zred 11037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  RR )
1110adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
12 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  RR )
1311, 12remulcld 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  RR )
1413recoscld 14191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
158, 14fsumrecl 13793 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
167, 15readdcld 9667 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
17 pire 23406 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
19 pipos 23408 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2017, 19gt0ne0ii 10147 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
2216, 18, 21redivcld 10432 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
235, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
24 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
2524fvmpt2 5955 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
265, 23, 25syl2anc 666 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2928eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ) )
30 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  =  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
3130fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
32 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
x  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
3332fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
3433oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
3531, 34oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
3629, 35ifbieq2d 3905 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
3736cbvmptv 4494 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
3837mpteq2i 4485 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3927, 38eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
40 dirkeritg.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
41 dirkeritg.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( D `  N
)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 37957 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
4342fveq1d 5865 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  s
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s ) )
4443adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
) )
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
46 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
k  x.  x )  =  ( k  x.  s ) )
4746fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( k  x.  x ) )  =  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )
4847oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k )  =  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
4948sumeq2sdv 13763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
5032, 49oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  =  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )
5150oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi )  =  ( ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5251cbvmptv 4494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5345, 52eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5453oveq2i 6299 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )
55 reelprrecn 9628 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
57 recn 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5857halfcld 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
599zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
6157adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
6260, 61mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
6362sincld 14177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
64 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  e.  RR )
65 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  RR )
66 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  1 )
68 elfzle1 11799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  k )
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  k )
7069gt0ne0d 10175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =/=  0 )
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =/=  0
)
7263, 60, 71divcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
738, 72fsumcl 13792 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
7458, 73addcld 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  e.  CC )
75 picn 23407 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
7774, 76, 21divcld 10380 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi )  e.  CC )
7877adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  /  pi )  e.  CC )
7922adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
8074adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  CC )
8116adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
8258adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
836a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
8457adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
85 1red 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8656dvmptid 22904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
87 2cnd 10679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
88 2ne0 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 22912 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 1  /  2 ) ) )
9173adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
9215adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
93 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9493tgioo2 21814 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
95 reopn 37496 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
97 fzfid 12183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
9872ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
99983adant1 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
10014ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
101100recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
1021013adant1 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  e.  CC )
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
10463ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
10559adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
106 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
107105, 106mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  s
)  e.  CC )
108107coscld 14178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
109105, 108mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
11057, 109sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
111 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
112 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
114113eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
)
115114oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
) )
116107sincld 14177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
117 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )
118116, 117fmptd 6044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC )
119109ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  A. s  e.  CC  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  CC )
120 dmmptg 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s  e.  CC  (
k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
122111, 121syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
123 dvsinax 37777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
12459, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
125124dmeqd 5036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
126122, 125sseqtr4d 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
127 dvcnre 37780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC  /\  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )
128118, 126, 127syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
129124reseq1d 5103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
130 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) ) )
131111, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )
132129, 131syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
133115, 128, 1323eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
134103, 104, 110, 133, 59, 70dvmptdivc 22912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
) ) )
13559adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
13670adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
137101, 135, 136divcan3d 10385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
)  =  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )
138137mpteq2dva 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  k ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )
139134, 138eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
140139adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14194, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140dvmptfsum 22920 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14256, 82, 83, 90, 91, 92, 141dvmptadd 22907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
14375a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
14420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
14556, 80, 81, 142, 143, 144dvmptdivc 22912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
146 dirkeritg.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
147 dirkeritg.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
148146, 147iccssred 37596 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
149 iccntr 21832 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
150146, 147, 149syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
15156, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150dvmptres2 22909 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
15254, 151syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
153152, 23fvmpt2d 5957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  s )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
15426, 44, 1533eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( RR  _D  G
) `  s )
)
155154itgeq2dv 22732 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s  =  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `  s
)  _d s )
156 dirkeritg.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
157 ioosscn 37585 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
159 halfcn 10826 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
161 ssid 3450 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
162161a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
163158, 160, 162constcncfg 37742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
164 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
165 coscn 23393 . . . . . . . . . . 11  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
167 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )
168167mulc1cncf 21930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
16959, 168syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
170166, 169cncfmpt1f 21938 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
171157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
172161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  CC  C_  CC )
1734, 101sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
174164, 170, 171, 172, 173cncfmptssg 37741 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
175174adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
176158, 97, 175fsumcncf 37749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
177163, 176addcncf 37744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
178 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  =  ( s  e.  CC  |->  pi )
179 cncfmptc 21936 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18075, 161, 161, 179mp3an 1363 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC )
181180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
182 difssd 3560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
183 eldifsn 4096 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
18475, 20, 183mpbir2an 930 . . . . . . 7  |-  pi  e.  ( CC  \  { 0 } )
185184a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
186178, 181, 158, 182, 185cncfmptssg 37741 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
187177, 186divcncf 37755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
188152, 187eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
189 ioossicc 11717 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
190189a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
191 ioombl 22511 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
192191a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
1936a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
194 fzfid 12183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
19510adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
196148sselda 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
197196adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  s  e.  RR )
198195, 197remulcld 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  RR )
199198recoscld 14191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  e.  RR )
200194, 199fsumrecl 13793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
201193, 200readdcld 9667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
20217a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  e.  RR )
20320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  =/=  0 )
204201, 202, 203redivcld 10432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
205148, 111syl6ss 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
206205, 160, 162constcncfg 37742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
207 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
208170adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
209162, 97, 208fsumcncf 37749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
210200recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
211207, 209, 205, 162, 210cncfmptssg 37741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
212206, 211addcncf 37744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
213184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
214205, 213, 182constcncfg 37742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
215212, 214divcncf 37755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
216 cniccibl 22791 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
217146, 147, 215, 216syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
218190, 192, 204, 217iblss 22755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
219152, 218eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  L^1 )
220205, 162idcncfg 37743 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  s )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
221 2cn 10677 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
222 eldifsn 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
223221, 88, 222mpbir2an 930 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( CC  \  {
0 } )
224223a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
225205, 224, 182constcncfg 37742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
226220, 225divcncf 37755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( s  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
227 sincn 23392 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
229228, 169cncfmpt1f 21938 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
230229adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
231205adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
232161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  CC  C_  CC )
23359ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  k  e.  CC )
234196recnd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  CC )
235234adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  CC )
236233, 235mulcld 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  CC )
237236sincld 14177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( sin `  ( k  x.  s ) )  e.  CC )
238117, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 37741 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
239 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
24059, 70, 239sylanbrc 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
241240adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
242 difssd 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
243231, 241, 242constcncfg 37742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  k )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
244238, 243divcncf 37755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
245205, 97, 244fsumcncf 37749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
246226, 245addcncf 37744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
247246, 214divcncf 37755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
24853, 247syl5eqel 2532 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
249146, 147, 156, 188, 219, 248ftc2 22989 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `
 s )  _d s  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
2503, 155, 2493eqtrd 2488 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736    \ cdif 3400    C_ wss 3403   ifcif 3880   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   ...cfz 11781    mod cmo 12093   sum_csu 13745   sincsin 14109   cosccos 14110   picpi 14112   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   intcnt 20025   -cn->ccncf 21901   volcvol 22408   L^1cibl 22568   S.citg 22569    _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573  df-itg 22574  df-0p 22621  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38067  fourierdlem104  38068
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