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Theorem dirkeritg 38076
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkeritg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkeritg.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkeritg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkeritg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dirkeritg.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
dirkeritg.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkeritg  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    x, F    k, N, x    ph, k    x, n
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    A( n)    B( n)    D( x, k, n)    F( k, n)    G( x, k, n)    N( n)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
21cbvitgv 22813 . . 3  |-  S. ( A (,) B ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `  s
)  _d s )
4 elioore 11691 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
54adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6 halfre 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
109zred 11063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  RR )
1110adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
12 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  RR )
1311, 12remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  RR )
1413recoscld 14275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
158, 14fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
167, 15readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
17 pire 23492 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
19 pipos 23494 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2017, 19gt0ne0ii 10171 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
2216, 18, 21redivcld 10457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
235, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
24 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
2524fvmpt2 5972 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
265, 23, 25syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2928eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ) )
30 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  =  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
3130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
32 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
x  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
3332fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
3433oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
3531, 34oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
3629, 35ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
3736cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
3837mpteq2i 4479 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3927, 38eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
40 dirkeritg.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
41 dirkeritg.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( D `  N
)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 38075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
4342fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  s
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s ) )
4443adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
) )
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
46 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
k  x.  x )  =  ( k  x.  s ) )
4746fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( k  x.  x ) )  =  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )
4847oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k )  =  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
4948sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
5032, 49oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  =  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )
5150oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi )  =  ( ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5251cbvmptv 4488 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5345, 52eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5453oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )
55 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
57 recn 9647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5857halfcld 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
599zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
6157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
6260, 61mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
6362sincld 14261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
64 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  e.  RR )
65 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  RR )
66 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  1 )
68 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  k )
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  k )
7069gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =/=  0 )
7170adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =/=  0
)
7263, 60, 71divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
738, 72fsumcl 13876 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
7458, 73addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  e.  CC )
75 picn 23493 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
7774, 76, 21divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi )  e.  CC )
7877adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  /  pi )  e.  CC )
7922adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
8074adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  CC )
8116adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
8258adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
836a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
8457adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
85 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8656dvmptid 22990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
87 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
88 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 22998 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 1  /  2 ) ) )
9173adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
9215adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
93 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9493tgioo2 21899 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
95 reopn 37591 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
97 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
9872ancoms 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
99983adant1 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
10014ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
101100recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
1021013adant1 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  e.  CC )
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
10463ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
10559adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
107105, 106mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  s
)  e.  CC )
108107coscld 14262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
109105, 108mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
11057, 109sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
111 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
112 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
114113eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
)
115114oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
) )
116107sincld 14261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
117 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )
118116, 117fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC )
119109ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  A. s  e.  CC  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  CC )
120 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s  e.  CC  (
k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
122111, 121syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
123 dvsinax 37880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
12459, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
125124dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
126122, 125sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
127 dvcnre 37883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC  /\  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )
128118, 126, 127syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
129124reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
130 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) ) )
131111, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )
132129, 131syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
133115, 128, 1323eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
134103, 104, 110, 133, 59, 70dvmptdivc 22998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
) ) )
13559adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
13670adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
137101, 135, 136divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
)  =  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )
138137mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  k ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )
139134, 138eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
140139adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14194, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140dvmptfsum 23006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14256, 82, 83, 90, 91, 92, 141dvmptadd 22993 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
14375a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
14420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
14556, 80, 81, 142, 143, 144dvmptdivc 22998 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
146 dirkeritg.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
147 dirkeritg.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
148146, 147iccssred 37698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
149 iccntr 21917 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
150146, 147, 149syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
15156, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150dvmptres2 22995 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
15254, 151syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
153152, 23fvmpt2d 5974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  s )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
15426, 44, 1533eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( RR  _D  G
) `  s )
)
155154itgeq2dv 22818 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s  =  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `  s
)  _d s )
156 dirkeritg.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
157 ioosscn 37687 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
159 halfcn 10852 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
161 ssid 3437 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
162161a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
163158, 160, 162constcncfg 37845 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
164 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
165 coscn 23479 . . . . . . . . . . 11  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
167 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )
168167mulc1cncf 22015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
16959, 168syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
170166, 169cncfmpt1f 22023 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
171157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
172161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  CC  C_  CC )
1734, 101sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
174164, 170, 171, 172, 173cncfmptssg 37844 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
175174adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
176158, 97, 175fsumcncf 37852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
177163, 176addcncf 37847 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
178 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  =  ( s  e.  CC  |->  pi )
179 cncfmptc 22021 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18075, 161, 161, 179mp3an 1390 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC )
181180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
182 difssd 3550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
183 eldifsn 4088 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
18475, 20, 183mpbir2an 934 . . . . . . 7  |-  pi  e.  ( CC  \  { 0 } )
185184a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
186178, 181, 158, 182, 185cncfmptssg 37844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
187177, 186divcncf 37858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
188152, 187eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
189 ioossicc 11745 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
190189a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
191 ioombl 22597 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
192191a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
1936a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
194 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
19510adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
196148sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
197196adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  s  e.  RR )
198195, 197remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  RR )
199198recoscld 14275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  e.  RR )
200194, 199fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
201193, 200readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
20217a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  e.  RR )
20320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  =/=  0 )
204201, 202, 203redivcld 10457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
205148, 111syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
206205, 160, 162constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
207 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
208170adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
209162, 97, 208fsumcncf 37852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
210200recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
211207, 209, 205, 162, 210cncfmptssg 37844 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
212206, 211addcncf 37847 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
213184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
214205, 213, 182constcncfg 37845 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
215212, 214divcncf 37858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
216 cniccibl 22877 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
217146, 147, 215, 216syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
218190, 192, 204, 217iblss 22841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
219152, 218eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  L^1 )
220205, 162idcncfg 37846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  s )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
221 2cn 10702 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
222 eldifsn 4088 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
223221, 88, 222mpbir2an 934 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( CC  \  {
0 } )
224223a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
225205, 224, 182constcncfg 37845 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
226220, 225divcncf 37858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( s  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
227 sincn 23478 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
229228, 169cncfmpt1f 22023 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
230229adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
231205adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
232161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  CC  C_  CC )
23359ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  k  e.  CC )
234196recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  CC )
235234adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  CC )
236233, 235mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  CC )
237236sincld 14261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( sin `  ( k  x.  s ) )  e.  CC )
238117, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 37844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
239 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
24059, 70, 239sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
241240adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
242 difssd 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
243231, 241, 242constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  k )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
244238, 243divcncf 37858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
245205, 97, 244fsumcncf 37852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
246226, 245addcncf 37847 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
247246, 214divcncf 37858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
24853, 247syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
249146, 147, 156, 188, 219, 248ftc2 23075 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `
 s )  _d s  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
2503, 155, 2493eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810    mod cmo 12129   sum_csu 13829   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
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