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Theorem dirkeritg 37533
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkeritg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkeritg.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkeritg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkeritg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dirkeritg.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
dirkeritg.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkeritg  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    x, F    k, N, x    ph, k    x, n
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    A( n)    B( n)    D( x, k, n)    F( k, n)    G( x, k, n)    N( n)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
21cbvitgv 22611 . . 3  |-  S. ( A (,) B ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `  s
)  _d s )
4 elioore 11666 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
54adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6 halfre 10828 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8 fzfid 12183 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
109zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  RR )
1110adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
12 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  RR )
1311, 12remulcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  RR )
1413recoscld 14176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
158, 14fsumrecl 13778 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
167, 15readdcld 9669 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
17 pire 23278 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
19 pipos 23280 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2017, 19gt0ne0ii 10149 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
2216, 18, 21redivcld 10434 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
235, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
24 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
2524fvmpt2 5973 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
265, 23, 25syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2928eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ) )
30 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  =  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
3130fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
32 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
x  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
3332fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
3433oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
3531, 34oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
3629, 35ifbieq2d 3940 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
3736cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
3837mpteq2i 4509 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3927, 38eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
40 dirkeritg.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
41 dirkeritg.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( D `  N
)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 37532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
4342fveq1d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  s
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s ) )
4443adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
) )
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
46 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
k  x.  x )  =  ( k  x.  s ) )
4746fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( k  x.  x ) )  =  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )
4847oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k )  =  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
4948sumeq2sdv 13748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
5032, 49oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  =  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )
5150oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi )  =  ( ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5251cbvmptv 4518 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5345, 52eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5453oveq2i 6316 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )
55 reelprrecn 9630 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
57 recn 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5857halfcld 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
599zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
6157adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
6260, 61mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
6362sincld 14162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
64 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  e.  RR )
65 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  RR )
66 0lt1 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  1 )
68 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  k )
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  k )
7069gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =/=  0 )
7170adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =/=  0
)
7263, 60, 71divcld 10382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
738, 72fsumcl 13777 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
7458, 73addcld 9661 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  e.  CC )
75 picn 23279 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
7774, 76, 21divcld 10382 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi )  e.  CC )
7877adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  /  pi )  e.  CC )
7922adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
8074adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  CC )
8116adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
8258adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
836a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
8457adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
85 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8656dvmptid 22788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
87 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
88 2ne0 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 22796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 1  /  2 ) ) )
9173adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
9215adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
93 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9493tgioo2 21732 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
95 reopn 37111 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
97 fzfid 12183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
9872ancoms 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
99983adant1 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
10014ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
101100recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
1021013adant1 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  e.  CC )
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
10463ancoms 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
10559adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
106 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
107105, 106mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  s
)  e.  CC )
108107coscld 14163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
109105, 108mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
11057, 109sylan2 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
111 ax-resscn 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
112 resmpt 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
114113eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
)
115114oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
) )
116107sincld 14162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
117 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )
118116, 117fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC )
119109ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  A. s  e.  CC  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  CC )
120 dmmptg 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s  e.  CC  (
k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
122111, 121syl5sseqr 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
123 dvsinax 37355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
12459, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
125124dmeqd 5057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
126122, 125sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
127 dvcnre 37358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC  /\  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )
128118, 126, 127syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
129124reseq1d 5124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
130 resmpt 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) ) )
131111, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )
132129, 131syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
133115, 128, 1323eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
134103, 104, 110, 133, 59, 70dvmptdivc 22796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
) ) )
13559adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
13670adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
137101, 135, 136divcan3d 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
)  =  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )
138137mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  k ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )
139134, 138eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
140139adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14194, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140dvmptfsum 22804 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14256, 82, 83, 90, 91, 92, 141dvmptadd 22791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
14375a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
14420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
14556, 80, 81, 142, 143, 144dvmptdivc 22796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
146 dirkeritg.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
147 dirkeritg.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
148146, 147iccssred 37187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
149 iccntr 21750 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
150146, 147, 149syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
15156, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150dvmptres2 22793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
15254, 151syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
153152, 23fvmpt2d 5975 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  s )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
15426, 44, 1533eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( RR  _D  G
) `  s )
)
155154itgeq2dv 22616 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s  =  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `  s
)  _d s )
156 dirkeritg.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
157 ioosscn 37176 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
159 halfcn 10829 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
161 ssid 3489 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
162161a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
163158, 160, 162constcncfg 37320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
164 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
165 coscn 23265 . . . . . . . . . . 11  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
167 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )
168167mulc1cncf 21833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
16959, 168syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
170166, 169cncfmpt1f 21841 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
171157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
172161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  CC  C_  CC )
1734, 101sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
174164, 170, 171, 172, 173cncfmptssg 37319 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
175174adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
176158, 97, 175fsumcncf 37327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
177163, 176addcncf 37322 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
178 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  =  ( s  e.  CC  |->  pi )
179 cncfmptc 21839 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18075, 161, 161, 179mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC )
181180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
182 difssd 3599 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
183 eldifsn 4128 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
18475, 20, 183mpbir2an 928 . . . . . . 7  |-  pi  e.  ( CC  \  { 0 } )
185184a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
186178, 181, 158, 182, 185cncfmptssg 37319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
187177, 186divcncf 37333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
188152, 187eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
189 ioossicc 11720 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
190189a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
191 ioombl 22395 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
192191a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
1936a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
194 fzfid 12183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
19510adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
196148sselda 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
197196adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  s  e.  RR )
198195, 197remulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  RR )
199198recoscld 14176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  e.  RR )
200194, 199fsumrecl 13778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
201193, 200readdcld 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
20217a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  e.  RR )
20320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  =/=  0 )
204201, 202, 203redivcld 10434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
205148, 111syl6ss 3482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
206205, 160, 162constcncfg 37320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
207 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
208170adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
209162, 97, 208fsumcncf 37327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
210200recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
211207, 209, 205, 162, 210cncfmptssg 37319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
212206, 211addcncf 37322 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
213184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
214205, 213, 182constcncfg 37320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
215212, 214divcncf 37333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
216 cniccibl 22675 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
217146, 147, 215, 216syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
218190, 192, 204, 217iblss 22639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
219152, 218eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  L^1 )
220205, 162idcncfg 37321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  s )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
221 2cn 10680 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
222 eldifsn 4128 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
223221, 88, 222mpbir2an 928 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( CC  \  {
0 } )
224223a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
225205, 224, 182constcncfg 37320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
226220, 225divcncf 37333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( s  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
227 sincn 23264 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
229228, 169cncfmpt1f 21841 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
230229adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
231205adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
232161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  CC  C_  CC )
23359ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  k  e.  CC )
234196recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  CC )
235234adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  CC )
236233, 235mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  CC )
237236sincld 14162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( sin `  ( k  x.  s ) )  e.  CC )
238117, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 37319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
239 eldifsn 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
24059, 70, 239sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
241240adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
242 difssd 3599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
243231, 241, 242constcncfg 37320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  k )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
244238, 243divcncf 37333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
245205, 97, 244fsumcncf 37327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
246226, 245addcncf 37322 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
247246, 214divcncf 37333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
24853, 247syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
249146, 147, 156, 188, 219, 248ftc2 22873 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `
 s )  _d s  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
2503, 155, 2493eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11782    mod cmo 12093   sum_csu 13730   sincsin 14094   cosccos 14095   picpi 14097   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295  ℂfldccnfld 18905   intcnt 19963   -cn->ccncf 21804   volcvol 22295   L^1cibl 22452   S.citg 22453    _D cdv 22695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642
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