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Theorem dirkeritg 32045
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkeritg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkeritg.f  |-  F  =  ( D `  N
)
dirkeritg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dirkeritg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dirkeritg.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
dirkeritg.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkeritg  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    x, F    k, N, x    ph, k    x, n
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    A( n)    B( n)    D( x, k, n)    F( k, n)    G( x, k, n)    N( n)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
21cbvitgv 22308 . . 3  |-  S. ( A (,) B ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( F `  s
)  _d s )
4 elioore 11584 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6 halfre 10775 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8 fzfid 12085 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
109zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
12 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  RR )
1311, 12remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  RR )
1413recoscld 13890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
158, 14fsumrecl 13567 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
167, 15readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
17 pire 22976 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  RR )
19 pipos 22978 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2017, 19gt0ne0ii 10110 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  =/=  0 )
2216, 18, 21redivcld 10393 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
235, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
24 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
2524fvmpt2 5964 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  RR  /\  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
265, 23, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s )  =  ( ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) ) )
2928eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ) )
30 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x )  =  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
3130fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  x ) )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
32 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
x  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( x  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
3433oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( x  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
3531, 34oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
3629, 35ifbieq2d 3969 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  if ( ( x  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) )  =  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
3736cbvmptv 4548 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
3837mpteq2i 4540 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  x ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
x  /  2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3927, 38eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
40 dirkeritg.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
41 dirkeritg.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( D `  N
)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 32044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
4342fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  s
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s ) )
4443adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) `  s
) )
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( x  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi ) )
46 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
k  x.  x )  =  ( k  x.  s ) )
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( sin `  ( k  x.  x ) )  =  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )
4847oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k )  =  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
4948sumeq2sdv 13537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )
5032, 49oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  =  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )
5150oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  x ) )  /  k ) )  /  pi )  =  ( ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5251cbvmptv 4548 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( x  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  x
) )  /  k
) )  /  pi ) )  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5345, 52eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )
5453oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )
55 reelprrecn 9601 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
57 recn 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5857halfcld 10804 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
599zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  CC )
6157adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  s  e.  CC )
6260, 61mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  x.  s )  e.  CC )
6362sincld 13876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
64 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  e.  RR )
65 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  RR )
66 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  1 )
68 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  k )
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  0  <  k )
7069gt0ne0d 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =/=  0 )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =/=  0
)
7263, 60, 71divcld 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  RR  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
738, 72fsumcl 13566 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
7458, 73addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  e.  CC )
75 picn 22977 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
7774, 76, 21divcld 10341 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi )  e.  CC )
7877adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) )  /  pi )  e.  CC )
7922adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
8074adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( s  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  CC )
8116adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
8258adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
836a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
8457adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
85 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8656dvmptid 22485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
87 2cnd 10629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
88 2ne0 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 22493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 1  /  2 ) ) )
9173adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
)  e.  CC )
9215adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
93 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9493tgioo2 21433 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
95 reopn 31637 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
97 fzfid 12085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
9872ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
99983adant1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( k  x.  s ) )  /  k )  e.  CC )
10014ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
101100recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
1021013adant1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
)  /\  s  e.  RR )  ->  ( cos `  ( k  x.  s
) )  e.  CC )
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
10463ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
10559adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
107105, 106mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  s
)  e.  CC )
108107coscld 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
109105, 108mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
11057, 109sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  CC )
111 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
112 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
113111, 112mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )
114113eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
)
115114oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  |`  RR )
) )
116107sincld 13876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
117 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )
118116, 117fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC )
119109ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  A. s  e.  CC  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  CC )
120 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s  e.  CC  (
k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  CC )
122111, 121syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
123 dvsinax 31869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
12459, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
125124dmeqd 5215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
126122, 125sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
127 dvcnre 31872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) : CC --> CC  /\  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )
128118, 126, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s
) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
129124reseq1d 5282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
130 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) ) )
131111, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s
) ) ) )
132129, 131syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
133115, 128, 1323eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( sin `  (
k  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) ) )
134103, 104, 110, 133, 59, 70dvmptdivc 22493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
) ) )
13559adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
13670adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
137101, 135, 136divcan3d 10346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  k
)  =  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )
138137mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( k  x.  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  k ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) )
139134, 138eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
140139adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14194, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140dvmptfsum 22501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )
14256, 82, 83, 90, 91, 92, 141dvmptadd 22488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( s  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( sin `  ( k  x.  s
) )  /  k
) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) ) ) )
14375a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
14420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
14556, 80, 81, 142, 143, 144dvmptdivc 22493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
146 dirkeritg.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
147 dirkeritg.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
148146, 147iccssred 31700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
149 iccntr 21451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
150146, 147, 149syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
15156, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150dvmptres2 22490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
15254, 151syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) ) )
153152, 23fvmpt2d 5966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  s )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )
15426, 44, 1533eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  s )  =  ( ( RR  _D  G
) `  s )
)
155154itgeq2dv 22313 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 s )  _d s  =  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `  s
)  _d s )
156 dirkeritg.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
157 ioosscn 31688 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
159 halfcn 10776 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
161 ssid 3518 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
162161a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
163158, 160, 162constcncfg 31834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
164 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s
) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
165 coscn 22965 . . . . . . . . . . 11  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
167 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )
168167mulc1cncf 21534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
16959, 168syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( k  x.  s ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
170166, 169cncfmpt1f 21542 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
171157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
172161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  CC  C_  CC )
1734, 101sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
174164, 170, 171, 172, 173cncfmptssg 31833 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
175174adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
176158, 97, 175fsumcncf 31841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
177163, 176addcncf 31836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
178 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  =  ( s  e.  CC  |->  pi )
179 cncfmptc 21540 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18075, 161, 161, 179mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC )
181180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  pi )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
182 difssd 3628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
183 eldifsn 4157 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
18475, 20, 183mpbir2an 920 . . . . . . 7  |-  pi  e.  ( CC  \  { 0 } )
185184a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
186178, 181, 158, 182, 185cncfmptssg 31833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
187177, 186divcncf 31847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
188152, 187eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
189 ioossicc 11635 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
190189a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
191 ioombl 22100 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
192191a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
1936a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
194 fzfid 12085 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
19510adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
196148sselda 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
197196adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  s  e.  RR )
198195, 197remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  RR )
199198recoscld 13890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( cos `  ( k  x.  s ) )  e.  RR )
200194, 199fsumrecl 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  RR )
201193, 200readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
1  /  2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  RR )
20217a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  e.  RR )
20320a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  pi  =/=  0 )
204201, 202, 203redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi )  e.  RR )
205148, 111syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
206205, 160, 162constcncfg 31834 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
207 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )
208170adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
209162, 97, 208fsumcncf 31841 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
210200recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( cos `  (
k  x.  s ) )  e.  CC )
211207, 209, 205, 162, 210cncfmptssg 31833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
212206, 211addcncf 31836 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
213184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
214205, 213, 182constcncfg 31834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  pi )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
215212, 214divcncf 31847 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
216 cniccibl 22372 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( ( 1  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  ( k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
217146, 147, 215, 216syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
218190, 192, 204, 217iblss 22336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( 1  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( cos `  (
k  x.  s ) ) )  /  pi ) )  e.  L^1 )
219152, 218eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  e.  L^1 )
220205, 162idcncfg 31835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  s )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
221 2cn 10627 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
222 eldifsn 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
223221, 88, 222mpbir2an 920 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( CC  \  {
0 } )
224223a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
225205, 224, 182constcncfg 31834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
226220, 225divcncf 31847 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( s  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
227 sincn 22964 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
229228, 169cncfmpt1f 21542 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
230229adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  CC  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
231205adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
232161a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  CC  C_  CC )
23359ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  k  e.  CC )
234196recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  CC )
235234adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  CC )
236233, 235mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
k  x.  s )  e.  CC )
237236sincld 13876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( sin `  ( k  x.  s ) )  e.  CC )
238117, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 31833 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( sin `  ( k  x.  s ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
239 eldifsn 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
24059, 70, 239sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
241240adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
242 difssd 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
243231, 241, 242constcncfg 31834 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  k )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
244238, 243divcncf 31847 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
245205, 97, 244fsumcncf 31841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
246226, 245addcncf 31836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( s  / 
2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
247246, 214divcncf 31847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( s  /  2 )  + 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( sin `  (
k  x.  s ) )  /  k ) )  /  pi ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
24853, 247syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
249146, 147, 156, 188, 219, 248ftc2 22570 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  G ) `
 s )  _d s  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
2503, 155, 2493eqtrd 2502 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( F `
 x )  _d x  =  ( ( G `  B )  -  ( G `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697    mod cmo 11998   sum_csu 13519   sincsin 13810   cosccos 13811   picpi 13813   TopOpenctopn 14838   topGenctg 14854  ℂfldccnfld 18546   intcnt 19644   -cn->ccncf 21505   volcvol 22000   L^1cibl 22151   S.citg 22152    _D cdv 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154  df-itg2 22155  df-ibl 22156  df-itg 22157  df-0p 22202  df-limc 22395  df-dv 22396
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  32153  fourierdlem104  32154
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