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Theorem dirkercncflem4 32049
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkercncflem4.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkercncflem4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem4.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
dirkercncflem4.a  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
dirkercncflem4.b  |-  B  =  ( A  +  1 )
dirkercncflem4.c  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
dirkercncflem4.e  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    y, C    y, D    y, E    y, N    y, Y    y, n    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( y, n)    B( y, n)    C( n)    D( n)    E( n)    N( n)    Y( n)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 22964 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3 ioosscn 31688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  CC
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  CC )
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
87halfcld 10804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
96, 8addcld 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
124, 9, 11constcncfg 31834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
134, 11idcncfg 31835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  y )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1412, 13mulcncf 21984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
152, 14cncfmpt1f 21542 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
16 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  CC )
17 pirp 22979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR+ )
1918rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  CC )
2016, 19mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
21 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C (,) E )  C_  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  RR )
2322sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  RR )
2423recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  CC )
2524halfcld 10804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
2625sincld 13876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  CC )
2720, 26mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  CC )
28 2rp 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR+ )
3029rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  =/=  0 )
3118rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  =/=  0 )
3216, 19, 30, 31mulne0d 10222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  /  2 )  /  pi )  =  ( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
3635oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3734, 36eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  C  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3837oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
40 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR
41 pire 22976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  pi  e.  RR
4240, 41remulcli 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
44 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  RR
45 2pos 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  2
46 pipos 22978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  pi
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
4844, 47gtneii 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5039, 43, 49redivcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150flcld 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
5251zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
5443recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5553, 54, 49divcan4d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5638, 55syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5756, 51eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5952, 43remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6037, 59syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR )
6229, 18rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  ( C (,) E ) )
6460rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR* )
6635eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  A
6766oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  B  =  ( A  +  1 )
6967, 68eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  B
7069oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
7270, 71eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  E
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  E )
74 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7552, 74readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7675, 43remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
7773, 76eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7877rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR* )
80 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  E  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( C (,) E )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8165, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  ( C (,) E
)  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8263, 81mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) )
8382simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  <  y )
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
8577adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR )
8682simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  <  E )
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( E  /  (
2  x.  pi ) ) )
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8988oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( ( ( A  x.  (
2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
9135, 53syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291, 54, 49divcan4d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  A )
9392oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
9468oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9571, 94eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  E  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9891, 7addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
9998, 54, 49divcan4d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( A  +  1 ) )
10097, 99eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10190, 93, 1003eqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( E  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
10387, 102breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
104 btwnnz 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10558, 84, 103, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10633, 105eqneltrd 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ )
107 sineq0 23039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
10825, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0  <->  ( ( y  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
109106, 108mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0 )
110109neqned 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  =/=  0
)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =/=  0
)
112111neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  =  0 )
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR )
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR )
115113, 114remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
11623rehalfcld 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
117116resincld 13889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  RR )
118115, 117remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  RR )
119 elsncg 4055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
121112, 120mtbird 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 } )
12227, 121eldifd 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
123 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )
124 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
125 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
126122, 123, 124, 125fmptco 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
127 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )
128 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1294, 128, 11constcncfg 31834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  2 )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
131130rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
1324, 131, 11constcncfg 31834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  pi )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
133129, 132mulcncf 21984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 2  x.  pi ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13424, 16, 30divrecd 10344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  =  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )
135134mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( y  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
1364, 8, 11constcncfg 31834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13713, 136mulcncf 21984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
138135, 137eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1392, 138cncfmpt1f 21542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
140133, 139mulcncf 21984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
141 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  ( C (,) E )
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  ( C (,) E ) )
143 difssd 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 31833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
145 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
146 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
147146cdivcncf 21546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
148145, 147mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
149144, 148cncfco 21536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
150126, 149eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
15115, 150mulcncf 21984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
153152dirkerval 32034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
1545, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154reseq1d 5282 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) ) )
15622resmptd 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
158157, 130rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
160 mod0 12005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
16123, 159, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
162105, 161mtbird 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
163162iffalsed 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )
1646adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  N  e.  CC )
165 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  1  e.  CC )
166165halfcld 10804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
167164, 166addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
168167, 24mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y )  e.  CC )
169168sincld 13876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  CC )
170169, 27, 111divrecd 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  y ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
171163, 170eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  x.  (
1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )
172171mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
173155, 156, 1723eqtrrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) ) )
174 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
175174tgioo2 21433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
176175oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )
177174cnfldtop 21416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
178 reex 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
179 restabs 19792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( C (,) E
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) ) )
180177, 21, 178, 179mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
181176, 180eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
182 unicntop 31592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
183182restid 14850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
185184eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
186174, 181, 185cncfcn 21538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C (,) E
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( C (,) E
) -cn-> CC )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1874, 11, 186syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) E ) -cn-> CC )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
188151, 173, 1873eltr3d 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
189 retopon 21395 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
191 resttopon 19788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( C (,) E
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
192190, 22, 191syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
193174cnfldtopon 21415 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
195 cncnp 19907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
196192, 194, 195syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
197188, 196mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC 
/\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
198197simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
200199neneqd 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
201 mod0 12005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
20239, 158, 201syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
203200, 202mtbid 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
204 flltnz 31659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR  /\  -.  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
20550, 203, 204syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 11332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
20739recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
208207, 54, 49divcan1d 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  Y )
209206, 208breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  Y )
21037, 209syl5eqbr 4489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  Y )
211 fllelt 11936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
21250, 211syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
213212simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 11332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
215214, 208, 733brtr3d 4485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  <  E )
21664, 78, 39, 210, 215eliood 31692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C (,) E ) )
217 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) )
218217eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) ) )
219218rspccva 3209 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  /\  Y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
220198, 216, 219syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
221177a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
222152dirkerf 32040 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N ) : RR --> RR )
2235, 222syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  N
) : RR --> RR )
224223, 22fssresd 5758 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR )
225 ax-resscn 9566 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
226225a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
227 retop 21393 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
228 uniretop 21394 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
229228restuni 19789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) ) )
230227, 21, 229mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )
231230, 182cnprest2 19917 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
232221, 224, 226, 231syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
233220, 232mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
) )
234175eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
235234a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
)
236235oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) )
237236fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )
)
238233, 237eleqtrd 2547 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) )
239227a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
240 iooretop 21398 . . . . . . 7  |-  ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
241228isopn3 19693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) ) )
242240, 241mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E ) )
243239, 22, 242syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) )
244243eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  =  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
245216, 244eleqtrd 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
246228, 228cnprest 19916 . . 3  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E ) 
C_  RR )  /\  ( Y  e.  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  /\  ( D `  N ) : RR --> RR ) )  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )  <->  ( ( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) ) )
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  Y )  <->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
) )
248238, 247mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   |_cfl 11929    mod cmo 11998   sincsin 13810   picpi 13813   ↾t crest 14837   TopOpenctopn 14838   topGenctg 14854  ℂfldccnfld 18546   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   intcnt 19644    Cn ccn 19851    CnP ccnp 19852   -cn->ccncf 21505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396
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