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Theorem dirkercncflem4 37909
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkercncflem4.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkercncflem4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem4.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
dirkercncflem4.a  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
dirkercncflem4.b  |-  B  =  ( A  +  1 )
dirkercncflem4.c  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
dirkercncflem4.e  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    y, C    y, D    y, E    y, N    y, Y    y, n    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( y, n)    B( y, n)    C( n)    D( n)    E( n)    N( n)    Y( n)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 23398 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3 ioosscn 37541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  CC
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  CC )
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
87halfcld 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
96, 8addcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10 ssid 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
124, 9, 11constcncfg 37689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
134, 11idcncfg 37690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  y )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1412, 13mulcncf 22397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
152, 14cncfmpt1f 21944 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
16 2cnd 10690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  CC )
17 pirp 23415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR+ )
1918rpcnd 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  CC )
2016, 19mulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
21 ioossre 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C (,) E )  C_  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  RR )
2322sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  RR )
2423recnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  CC )
2524halfcld 10865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
2625sincld 14184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  CC )
2720, 26mulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  CC )
28 2rp 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR+ )
3029rpne0d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  =/=  0 )
3118rpne0d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  =/=  0 )
3216, 19, 30, 31mulne0d 10272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  /  2 )  /  pi )  =  ( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
3635oveq1i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3734, 36eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  C  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3837oveq1i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
40 2re 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR
41 pire 23412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  pi  e.  RR
4240, 41remulcli 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
44 0re 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  RR
45 2pos 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  2
46 pipos 23414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  pi
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
4844, 47gtneii 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5039, 43, 49redivcld 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150flcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
5251zred 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
5443recnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5553, 54, 49divcan4d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5638, 55syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5756, 51eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5857adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5952, 43remulcld 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6037, 59syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6160adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR )
6229, 18rpmulcld 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
63 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  ( C (,) E ) )
6460rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6564adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR* )
6635eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  A
6766oveq1i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  B  =  ( A  +  1 )
6967, 68eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  B
7069oveq1i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
7270, 71eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  E
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  E )
74 1red 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7552, 74readdcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7675, 43remulcld 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
7773, 76eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7877rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR* )
80 elioo2 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  E  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( C (,) E )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8165, 79, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  ( C (,) E
)  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8263, 81mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) )
8382simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  <  y )
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
8577adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR )
8682simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  <  E )
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( E  /  (
2  x.  pi ) ) )
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8988oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( ( ( A  x.  (
2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
9135, 53syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291, 54, 49divcan4d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  A )
9392oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
9468oveq1i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9571, 94eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  E  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9891, 7addcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
9998, 54, 49divcan4d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( A  +  1 ) )
10097, 99eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10190, 93, 1003eqtrrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( E  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
10387, 102breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
104 btwnnz 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10558, 84, 103, 104syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10633, 105eqneltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ )
107 sineq0 23475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0  <->  ( ( y  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
109106, 108mtbird 302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0 )
110109neqned 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  =/=  0
)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =/=  0
)
112111neneqd 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  =  0 )
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR )
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR )
115113, 114remulcld 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
11623rehalfcld 10867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
117116resincld 14197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  RR )
118115, 117remulcld 9679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  RR )
119 elsncg 4021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
121112, 120mtbird 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 } )
12227, 121eldifd 3447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
123 eqidd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )
124 eqidd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
125 oveq2 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
126122, 123, 124, 125fmptco 6072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
127 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )
128 2cnd 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1294, 128, 11constcncfg 37689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  2 )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
131130rpcnd 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
1324, 131, 11constcncfg 37689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  pi )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
133129, 132mulcncf 22397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 2  x.  pi ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13424, 16, 30divrecd 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  =  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )
135134mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( y  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
1364, 8, 11constcncfg 37689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13713, 136mulcncf 22397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
138135, 137eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1392, 138cncfmpt1f 21944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
140133, 139mulcncf 22397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
141 ssid 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  ( C (,) E )
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  ( C (,) E ) )
143 difssd 3593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 37688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
145 ax-1cn 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
146 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
147146cdivcncf 21948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
149144, 148cncfco 21938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
150126, 149eqeltrrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
15115, 150mulcncf 22397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
153152dirkerval 37894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154reseq1d 5123 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) ) )
15622resmptd 5175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
158157, 130rpmulcld 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
160 mod0 12110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
16123, 159, 160syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
162105, 161mtbird 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
163162iffalsed 3922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )
1646adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  N  e.  CC )
165 1cnd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  1  e.  CC )
166165halfcld 10865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
167164, 166addcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
168167, 24mulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y )  e.  CC )
169168sincld 14184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  CC )
170169, 27, 111divrecd 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  y ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
171163, 170eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  x.  (
1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )
172171mpteq2dva 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
173155, 156, 1723eqtrrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) ) )
174 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
175174tgioo2 21820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
176175oveq1i 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )
177174cnfldtop 21803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
178 reex 9638 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
179 restabs 20180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( C (,) E
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) ) )
180177, 21, 178, 179mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
181176, 180eqtri 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
182 unicntop 37345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
183182restid 15332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
185184eqcomi 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
186174, 181, 185cncfcn 21940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C (,) E
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( C (,) E
) -cn-> CC )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1874, 11, 186syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) E ) -cn-> CC )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
188151, 173, 1873eltr3d 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
189 retopon 21783 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
191 resttopon 20176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( C (,) E
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
192190, 22, 191syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
193174cnfldtopon 21802 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
195 cncnp 20295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
196192, 194, 195syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
197188, 196mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC 
/\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
198197simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
200199neneqd 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
201 mod0 12110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
20239, 158, 201syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
203200, 202mtbid 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
204 flltnz 37471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR  /\  -.  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
20550, 203, 204syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 11401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
20739recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
208207, 54, 49divcan1d 10392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  Y )
209206, 208breqtrd 4448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  Y )
21037, 209syl5eqbr 4457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  Y )
211 fllelt 12040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
213212simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 11401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
215214, 208, 733brtr3d 4453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  <  E )
21664, 78, 39, 210, 215eliood 37545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C (,) E ) )
217 fveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) )
218217eleq2d 2492 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) ) )
219218rspccva 3181 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  /\  Y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
220198, 216, 219syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
221177a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
222152dirkerf 37900 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N ) : RR --> RR )
2235, 222syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  N
) : RR --> RR )
224223, 22fssresd 5767 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR )
225 ax-resscn 9604 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
226225a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
227 retop 21781 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
228 uniretop 21782 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
229228restuni 20177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) ) )
230227, 21, 229mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )
231230, 182cnprest2 20305 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
232221, 224, 226, 231syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
233220, 232mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
) )
234175eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
235234a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
)
236235oveq2d 6322 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) )
237236fveq1d 5884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )
)
238233, 237eleqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) )
239227a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
240 iooretop 21785 . . . . . . 7  |-  ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
241228isopn3 20081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) ) )
242240, 241mpbii 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E ) )
243239, 22, 242syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) )
244243eqcomd 2430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  =  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
245216, 244eleqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
246228, 228cnprest 20304 . . 3  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E ) 
C_  RR )  /\  ( Y  e.  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  /\  ( D `  N ) : RR --> RR ) )  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )  <->  ( ( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) ) )
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 1265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  Y )  <->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
) )
248238, 247mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ifcif 3911   {csn 3998   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550    x. cmul 9552   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684    / cdiv 10277   NNcn 10617   2c2 10667   ZZcz 10945   RR+crp 11310   (,)cioo 11643   |_cfl 12033    mod cmo 12103   sincsin 14116   picpi 14119   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   Topctop 19916  TopOnctopon 19917   intcnt 20031    Cn ccn 20239    CnP ccnp 20240   -cn->ccncf 21907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13131  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-nei 20113  df-lp 20151  df-perf 20152  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-haus 20330  df-tx 20576  df-hmeo 20769  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-xms 21334  df-ms 21335  df-tms 21336  df-cncf 21909  df-limc 22820  df-dv 22821
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