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Theorem dirkercncflem4 38069
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkercncflem4.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkercncflem4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem4.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
dirkercncflem4.a  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
dirkercncflem4.b  |-  B  =  ( A  +  1 )
dirkercncflem4.c  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
dirkercncflem4.e  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    y, C    y, D    y, E    y, N    y, Y    y, n    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( y, n)    B( y, n)    C( n)    D( n)    E( n)    N( n)    Y( n)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 23455 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3 ioosscn 37676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  CC
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  CC )
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nncnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
87halfcld 10891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
96, 8addcld 9693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10 ssid 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
124, 9, 11constcncfg 37834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
134, 11idcncfg 37835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  y )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1412, 13mulcncf 22453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
152, 14cncfmpt1f 22000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
16 2cnd 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  CC )
17 pirp 23472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR+ )
1918rpcnd 11377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  CC )
2016, 19mulcld 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
21 ioossre 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C (,) E )  C_  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  RR )
2322sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  RR )
2423recnd 9700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  CC )
2524halfcld 10891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
2625sincld 14239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  CC )
2720, 26mulcld 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  CC )
28 2rp 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR+ )
3029rpne0d 11380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  =/=  0 )
3118rpne0d 11380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  =/=  0 )
3216, 19, 30, 31mulne0d 10297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  /  2 )  /  pi )  =  ( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
3635oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3734, 36eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  C  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3837oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
40 2re 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR
41 pire 23469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  pi  e.  RR
4240, 41remulcli 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
44 0re 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  RR
45 2pos 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  2
46 pipos 23471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  pi
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
4844, 47gtneii 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5039, 43, 49redivcld 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150flcld 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
5251zred 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
5443recnd 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5553, 54, 49divcan4d 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5638, 55syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5756, 51eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5857adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5952, 43remulcld 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6037, 59syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6160adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR )
6229, 18rpmulcld 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
63 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  ( C (,) E ) )
6460rexrd 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6564adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR* )
6635eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  A
6766oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  B  =  ( A  +  1 )
6967, 68eqtr4i 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  B
7069oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
7270, 71eqtr4i 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  E
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  E )
74 1red 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7552, 74readdcld 9701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7675, 43remulcld 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
7773, 76eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7877rexrd 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
7978adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR* )
80 elioo2 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  E  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( C (,) E )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8165, 79, 80syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  ( C (,) E
)  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8263, 81mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) )
8382simp2d 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  <  y )
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
8577adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR )
8682simp3d 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  <  E )
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( E  /  (
2  x.  pi ) ) )
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8988oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( ( ( A  x.  (
2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
9135, 53syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291, 54, 49divcan4d 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  A )
9392oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
9468oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9571, 94eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  E  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9891, 7addcld 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
9998, 54, 49divcan4d 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( A  +  1 ) )
10097, 99eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10190, 93, 1003eqtrrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
102101adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( E  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
10387, 102breqtrd 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
104 btwnnz 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10558, 84, 103, 104syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10633, 105eqneltrd 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ )
107 sineq0 23532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0  <->  ( ( y  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
109106, 108mtbird 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0 )
110109neqned 2642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  =/=  0
)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =/=  0
)
112111neneqd 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  =  0 )
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR )
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR )
115113, 114remulcld 9702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
11623rehalfcld 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
117116resincld 14252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  RR )
118115, 117remulcld 9702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  RR )
119 elsncg 4003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
121112, 120mtbird 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 } )
12227, 121eldifd 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
123 eqidd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )
124 eqidd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
125 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
126122, 123, 124, 125fmptco 6085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
127 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )
128 2cnd 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1294, 128, 11constcncfg 37834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  2 )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
131130rpcnd 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
1324, 131, 11constcncfg 37834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  pi )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
133129, 132mulcncf 22453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 2  x.  pi ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13424, 16, 30divrecd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  =  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )
135134mpteq2dva 4505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( y  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
1364, 8, 11constcncfg 37834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13713, 136mulcncf 22453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
138135, 137eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1392, 138cncfmpt1f 22000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
140133, 139mulcncf 22453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
141 ssid 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  ( C (,) E )
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  ( C (,) E ) )
143 difssd 3573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 37833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
145 ax-1cn 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
146 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
147146cdivcncf 22004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
149144, 148cncfco 21994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
150126, 149eqeltrrd 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
15115, 150mulcncf 22453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
153152dirkerval 38054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154reseq1d 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) ) )
15622resmptd 5178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
158157, 130rpmulcld 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
159158adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
160 mod0 12141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
16123, 159, 160syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
162105, 161mtbird 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
163162iffalsed 3904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )
1646adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  N  e.  CC )
165 1cnd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  1  e.  CC )
166165halfcld 10891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
167164, 166addcld 9693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
168167, 24mulcld 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y )  e.  CC )
169168sincld 14239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  CC )
170169, 27, 111divrecd 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  y ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
171163, 170eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  x.  (
1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )
172171mpteq2dva 4505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
173155, 156, 1723eqtrrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) ) )
174 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
175174tgioo2 21876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
176175oveq1i 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )
177174cnfldtop 21859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
178 reex 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
179 restabs 20236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( C (,) E
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) ) )
180177, 21, 178, 179mp3an 1373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
181176, 180eqtri 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
182 unicntop 37411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
183182restid 15387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
185184eqcomi 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
186174, 181, 185cncfcn 21996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C (,) E
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( C (,) E
) -cn-> CC )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1874, 11, 186syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) E ) -cn-> CC )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
188151, 173, 1873eltr3d 2554 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
189 retopon 21839 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
191 resttopon 20232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( C (,) E
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
192190, 22, 191syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
193174cnfldtopon 21858 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
195 cncnp 20351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
196192, 194, 195syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
197188, 196mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC 
/\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
198197simprd 469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
200199neneqd 2640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
201 mod0 12141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
20239, 158, 201syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
203200, 202mtbid 306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
204 flltnz 37591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR  /\  -.  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
20550, 203, 204syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 11427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
20739recnd 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
208207, 54, 49divcan1d 10417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  Y )
209206, 208breqtrd 4443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  Y )
21037, 209syl5eqbr 4452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  Y )
211 fllelt 12071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
213212simprd 469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 11427 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
215214, 208, 733brtr3d 4448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  <  E )
21664, 78, 39, 210, 215eliood 37680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C (,) E ) )
217 fveq2 5892 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) )
218217eleq2d 2525 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) ) )
219218rspccva 3161 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  /\  Y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
220198, 216, 219syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
221177a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
222152dirkerf 38060 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N ) : RR --> RR )
2235, 222syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  N
) : RR --> RR )
224223, 22fssresd 5777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR )
225 ax-resscn 9627 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
226225a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
227 retop 21837 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
228 uniretop 21838 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
229228restuni 20233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) ) )
230227, 21, 229mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )
231230, 182cnprest2 20361 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
232221, 224, 226, 231syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
233220, 232mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
) )
234175eqcomi 2471 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
235234a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
)
236235oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) )
237236fveq1d 5894 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )
)
238233, 237eleqtrd 2542 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) )
239227a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
240 iooretop 21841 . . . . . . 7  |-  ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
241228isopn3 20137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) ) )
242240, 241mpbii 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E ) )
243239, 22, 242syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) )
244243eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  =  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
245216, 244eleqtrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
246228, 228cnprest 20360 . . 3  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E ) 
C_  RR )  /\  ( Y  e.  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  /\  ( D `  N ) : RR --> RR ) )  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )  <->  ( ( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) ) )
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 1277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  Y )  <->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
) )
248238, 247mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ifcif 3893   {csn 3980   U.cuni 4212   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   ran crn 4857    |` cres 4858    o. ccom 4860   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    x. cmul 9575   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707    / cdiv 10302   NNcn 10642   2c2 10692   ZZcz 10971   RR+crp 11336   (,)cioo 11669   |_cfl 12064    mod cmo 12134   sincsin 14171   picpi 14174   ↾t crest 15374   TopOpenctopn 15375   topGenctg 15391  ℂfldccnfld 19025   Topctop 19972  TopOnctopon 19973   intcnt 20087    Cn ccn 20295    CnP ccnp 20296   -cn->ccncf 21963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-ef 14176  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-mulg 16731  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cncf 21965  df-limc 22877  df-dv 22878
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