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Theorem dirkercncflem4 37537
Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
dirkercncflem4.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dirkercncflem4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem4.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
dirkercncflem4.a  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
dirkercncflem4.b  |-  B  =  ( A  +  1 )
dirkercncflem4.c  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
dirkercncflem4.e  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    y, C    y, D    y, E    y, N    y, Y    y, n    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( y, n)    B( y, n)    C( n)    D( n)    E( n)    N( n)    Y( n)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 23264 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3 ioosscn 37176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  CC
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  CC )
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
87halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
96, 8addcld 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
10 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
124, 9, 11constcncfg 37320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
134, 11idcncfg 37321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  y )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1412, 13mulcncf 22279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
152, 14cncfmpt1f 21841 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
16 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  CC )
17 pirp 23281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR+ )
1918rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  CC )
2016, 19mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
21 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C (,) E )  C_  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  RR )
2322sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  RR )
2423recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  CC )
2524halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  CC )
2625sincld 14162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  CC )
2720, 26mulcld 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  CC )
28 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR+ )
3029rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  =/=  0 )
3118rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  =/=  0 )
3216, 19, 30, 31mulne0d 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  /  2 )  /  pi )  =  ( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  C  =  ( A  x.  (
2  x.  pi ) )
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  =  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
3635oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3734, 36eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  C  =  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )
3837oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
40 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR
41 pire 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  pi  e.  RR
4240, 41remulcli 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
44 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  RR
45 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  2
46 pipos 23280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  pi
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 9767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
4844, 47gtneii 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5039, 43, 49redivcld 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150flcld 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
5251zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  CC )
5443recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5553, 54, 49divcan4d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5638, 55syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
5756, 51eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5857adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
5952, 43remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6037, 59syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6160adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR )
6229, 18rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
63 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  e.  ( C (,) E ) )
6460rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6564adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  e.  RR* )
6635eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  A
6766oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  B  =  ( A  +  1 )
6967, 68eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  =  B
7069oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  E  =  ( B  x.  (
2  x.  pi ) )
7270, 71eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  E
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  E )
74 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7552, 74readdcld 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7675, 43remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
7773, 76eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7877rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR* )
80 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  E  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( C (,) E )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8165, 79, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  ( C (,) E
)  <->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) ) )
8263, 81mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  C  < 
y  /\  y  <  E ) )
8382simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  C  <  y )
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( y  /  (
2  x.  pi ) ) )
8577adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  E  e.  RR )
8682simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  y  <  E )
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( E  /  (
2  x.  pi ) ) )
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8988oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( ( ( A  x.  (
2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
9135, 53syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291, 54, 49divcan4d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  A )
9392oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( 2  x.  pi ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
9468oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9571, 94eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  E  =  ( ( A  + 
1 )  x.  (
2  x.  pi ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9891, 7addcld 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
9998, 54, 49divcan4d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( A  +  1 ) )
10097, 99eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10190, 93, 1003eqtrrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( E  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
10387, 102breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( C  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
104 btwnnz 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( C  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( C  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10558, 84, 103, 104syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10633, 105eqneltrd 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ )
107 sineq0 23341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0  <->  ( ( y  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
109106, 108mtbird 302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  ( sin `  ( y  / 
2 ) )  =  0 )
110109neqned 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  =/=  0
)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =/=  0
)
112111neneqd 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  =  0 )
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  2  e.  RR )
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  pi  e.  RR )
115113, 114remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
11623rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
117116resincld 14175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( y  /  2
) )  e.  RR )
118115, 117remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  RR )
119 elsncg 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  =  0 ) )
121112, 120mtbird 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) )  e. 
{ 0 } )
12227, 121eldifd 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
123 eqidd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )
124 eqidd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
125 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
126122, 123, 124, 125fmptco 6071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
127 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )
128 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
1294, 128, 11constcncfg 37320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  2 )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
131130rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
1324, 131, 11constcncfg 37320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  pi )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
133129, 132mulcncf 22279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 2  x.  pi ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13424, 16, 30divrecd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( y  /  2 )  =  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )
135134mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( y  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
1364, 8, 11constcncfg 37320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
13713, 136mulcncf 22279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  x.  (
1  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
138135, 137eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( y  /  2
) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
1392, 138cncfmpt1f 21841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( sin `  (
y  /  2 ) ) )  e.  ( ( C (,) E
) -cn-> CC ) )
140133, 139mulcncf 22279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
141 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C (,) E )  C_  ( C (,) E )
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  C_  ( C (,) E ) )
143 difssd 3599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 37319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) ) )
145 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
146 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
147146cdivcncf 21845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
149144, 148cncfco 21835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E ) -cn-> CC ) )
150126, 149eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( 1  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
15115, 150mulcncf 22279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( C (,) E )
-cn-> CC ) )
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
153152dirkerval 37522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154reseq1d 5124 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) ) )
15622resmptd 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) )  |`  ( C (,) E ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E
)  |->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) ) ) )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
158157, 130rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
160 mod0 12100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
16123, 159, 160syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
162105, 161mtbird 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  -.  (
y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
163162iffalsed 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  /  2
) ) ) ) )
1646adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  N  e.  CC )
165 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  1  e.  CC )
166165halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
167164, 166addcld 9661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC )
168167, 24mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y )  e.  CC )
169168sincld 14162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  e.  CC )
170169, 27, 111divrecd 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  y ) )  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) )
171163, 170eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C (,) E ) )  ->  if (
( y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  y
) )  x.  (
1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )
172171mpteq2dva 4512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  if ( ( y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( C (,) E )  |->  ( ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( y  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
173155, 156, 1723eqtrrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C (,) E ) 
|->  ( ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  y ) )  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
y  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) ) )
174 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
175174tgioo2 21732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
176175oveq1i 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )
177174cnfldtop 21715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
178 reex 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
179 restabs 20112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( C (,) E
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) ) )
180177, 21, 178, 179mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
181176, 180eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( C (,) E ) )
182 unicntop 37011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
183182restid 15291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
185184eqcomi 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
186174, 181, 185cncfcn 21837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C (,) E
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( C (,) E
) -cn-> CC )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1874, 11, 186syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) E ) -cn-> CC )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
188151, 173, 1873eltr3d 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
189 retopon 21695 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
191 resttopon 20108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( C (,) E
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
192190, 22, 191syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) ) )
193174cnfldtopon 21714 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
195 cncnp 20227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  e.  (TopOn `  ( C (,) E
) )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
196192, 194, 195syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( (
( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E
) --> CC  /\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
197188, 196mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> CC 
/\  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
198197simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =/=  0 )
200199neneqd 2632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
201 mod0 12100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
20239, 158, 201syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
203200, 202mtbid 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
204 flltnz 37125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR  /\  -.  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
20550, 203, 204syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) ) )
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 11393 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
20739recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
208207, 54, 49divcan1d 10383 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  Y )
209206, 208breqtrd 4450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  Y )
21037, 209syl5eqbr 4459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  Y )
211 fllelt 12030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  < 
( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Y  /  (
2  x.  pi ) ) )  <_  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) ) )
213212simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 ) )
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 11393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  x.  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( |_ `  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )  +  1 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
215214, 208, 733brtr3d 4455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  <  E )
21664, 78, 39, 210, 215eliood 37180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C (,) E ) )
217 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) )
218217eleq2d 2499 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
) ) )
219218rspccva 3187 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( C (,) E ) ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  /\  Y  e.  ( C (,) E ) )  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
220198, 216, 219syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  Y
) )
221177a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
222152dirkerf 37528 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D `  N ) : RR --> RR )
2235, 222syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  N
) : RR --> RR )
224223, 22fssresd 5767 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR )
225 ax-resscn 9595 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
226225a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
227 retop 21693 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
228 uniretop 21694 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
229228restuni 20109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) ) )
230227, 21, 229mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( C (,) E )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )
231230, 182cnprest2 20237 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) ) : ( C (,) E ) --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> 
( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
232221, 224, 226, 231syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  Y
)  <->  ( ( D `
 N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y ) ) )
233220, 232mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
) )
234175eqcomi 2442 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
235234a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
)
236235oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) )
237236fveq1d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  Y
)  =  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E
) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )
)
238233, 237eleqtrd 2519 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) )
239227a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
240 iooretop 21697 . . . . . . 7  |-  ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
241228isopn3 20013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( C (,) E )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) ) )
242240, 241mpbii 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E )  C_  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E ) )
243239, 22, 242syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  =  ( C (,) E
) )
244243eqcomd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C (,) E
)  =  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
245216, 244eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( C (,) E ) ) )
246228, 228cnprest 20236 . . 3  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( C (,) E ) 
C_  RR )  /\  ( Y  e.  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( C (,) E ) )  /\  ( D `  N ) : RR --> RR ) )  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  Y )  <->  ( ( D `  N
)  |`  ( C (,) E ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  Y
) ) )
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 1265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  N )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  Y )  <->  ( ( D `  N )  |`  ( C (,) E
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C (,) E ) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
) )
248238, 247mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( D `  N
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  CnP  ( topGen `  ran  (,) )
) `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   |_cfl 12023    mod cmo 12093   sincsin 14094   picpi 14097   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   intcnt 19963    Cn ccn 20171    CnP ccnp 20172   -cn->ccncf 21804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
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