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Theorem dirkercncflem1 37533
Description: If  Y is a multiple of  pi then it belongs to an open inerval  ( A (,) B ) such that for any other point  y in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a  |-  A  =  ( Y  -  pi )
dirkercncflem1.b  |-  B  =  ( Y  +  pi )
dirkercncflem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem1.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Distinct variable groups:    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4  |-  A  =  ( Y  -  pi )
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 pire 23278 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
52, 4resubcld 10046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR )
65rexrd 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
8 dirkercncflem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Y  +  pi )
92, 4readdcld 9669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR )
109rexrd 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR* )
118, 10syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
12 pipos 23280 . . . . . 6  |-  0  <  pi
13 ltsubpos 10105 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  ( Y  -  pi )  <  Y ) )
1412, 13mpbii 214 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
154, 2, 14syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
161, 15syl5eqbr 4459 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  Y )
17 ltaddpos 10103 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  Y  <  ( Y  +  pi ) ) )
1812, 17mpbii 214 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
194, 2, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
2019, 8syl6breqr 4466 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  <  B )
217, 11, 2, 16, 20eliood 37179 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A (,) B ) )
22 eldifi 3593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
23 elioore 11666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  RR )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  RR )
2524adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  RR )
2625recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  CC )
27 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  e.  CC )
28 picn 23279 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  e.  CC )
30 2ne0 10702 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  =/=  0 )
323, 12gt0ne0ii 10149 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  =/=  0 )
3426, 27, 29, 31, 33divdiv1d 10413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  pi )  =  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
35 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
36 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
38 pirp 23281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
4037, 39rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
41 mod0 12100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
422, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4335, 42mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
44 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4745zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
491, 5syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5049, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5240rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR )
5440rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5625, 53, 55redivcld 10434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5752recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5857, 54dividd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  1 )
5958eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
6059oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
612recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6261, 57, 57, 54divsubdird 10421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
6360, 62eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
642, 52resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6528mulid2i 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
6665eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( 1  x.  pi )
67 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  2
68 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
69 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
7068, 69, 3, 12ltmul1ii 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi ) )
7167, 70mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi )
7266, 71eqbrtri 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
744, 52, 2, 73ltsub2dd 10225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  -  pi ) )
7574, 1syl6breqr 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  A )
7664, 49, 40, 75ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7763, 76eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7877adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7949adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR )
8040adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
8122adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR* )
8311adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR* )
84 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <  B ) ) )
8582, 83, 84syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) )
8681, 85mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )
8786simp2d 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  <  y )
8879, 25, 80, 87ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
8948, 51, 56, 78, 88lttrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9124ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  e.  RR )
922ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
9340ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
94 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  <  Y )
9591, 92, 93, 94ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9661, 57, 54divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9796adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
98 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  CC )
9997, 98npcand 9989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10099eqcomd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
101100adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
10295, 101breqtrd 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
103 btwnnz 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10446, 90, 102, 103syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10543ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1062ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
10725adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  y  e.  RR )
10880adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
10925adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  e.  RR )
1102ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
111 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <_  Y )
112 eldifsni 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  =/=  Y )
113112necomd 2702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  ->  Y  =/=  y )
114113ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  =/=  y )
115109, 110, 111, 114leneltd 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <  Y )
116115stoic1a 1651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  y  <_  Y )
117106, 107ltnled 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  < 
y  <->  -.  y  <_  Y ) )
118116, 117mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  <  y
)
119106, 107, 108, 118ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1208, 9syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
121120, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
122121adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
1232, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
125 1red 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  RR )
126124, 125readdcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
127120adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR )
12886simp3d 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  <  B )
12925, 127, 80, 128ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( B  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1308oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )
13128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
13261, 131, 57, 54divdird 10420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
1334, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
134 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
135 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
136135, 28mulcomi 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
137136oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
13828, 32pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
139 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
140 divdiv1 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  /  pi )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( pi  x.  2 ) ) )
14128, 138, 139, 140mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
14228, 32dividi 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
143142oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
144137, 141, 1433eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2
)
145 halflt1 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  <  1
146144, 145eqbrtri 4445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  <  1
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  <  1 )
148133, 134, 123, 147ltadd2dd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
149132, 148eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
150130, 149syl5eqbr 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
151150adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
15256, 122, 126, 129, 151lttrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
153152adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  1 ) )
154 btwnnz 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
155105, 119, 153, 154syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
156104, 155pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
15734, 156eqneltrd 2538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ )
15826halfcld 10857 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
159 sineq0 23341 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
160158, 159syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
161157, 160mtbird 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
162161neqned 2634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
16334oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
16443adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =  ( Y  -  pi ) )
166165oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  +  pi )  =  ( ( Y  -  pi )  +  pi ) )
16761, 131npcand 9989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  pi )  +  pi )  =  Y )
168166, 167eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( A  +  pi ) )
169168oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
17049recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
171170, 131, 57, 54divdird 10420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
172131mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
173172eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =  ( pi  x.  1 ) )
174 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 131mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 ) )
176173, 175oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  /  ( pi  x.  2 ) ) )
177 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
180177, 174, 131, 178, 179divcan5d 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  1 )  /  (
pi  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
181176, 180eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2 ) )
182181oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
183169, 171, 1823eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
184183adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
185125rehalfcld 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
18651, 56, 185, 88ltadd1dd 10223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
187184, 186eqbrtrd 4446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
18856, 122, 185, 129ltadd1dd 10223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
189130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
190189oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
191181oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
192132, 191eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
193192oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  pi )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
194177halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
19596, 194, 194addassd 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1961772halvesd 10858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
197196oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
198195, 197eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
199190, 193, 1983eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
200199adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
201188, 200breqtrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
202 btwnnz 11012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  /\  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ZZ )
203164, 187, 201, 202syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
204163, 203eqneltrd 2538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  e.  ZZ )
205 coseq0 37310 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
206158, 205syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
207204, 206mtbird 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
208207neqned 2634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
209162, 208jca 534 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 ) )
210209ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ( A (,) B
)  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) )
21121, 210jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    \ cdif 3439   {csn 4002   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635    mod cmo 12093   sincsin 14094   cosccos 14095   picpi 14097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
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