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Theorem dirkercncflem1 32086
Description: If  Y is a multiple of  pi then it belongs to an open inerval  ( A (,) B ) such that for any other point  y in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a  |-  A  =  ( Y  -  pi )
dirkercncflem1.b  |-  B  =  ( Y  +  pi )
dirkercncflem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem1.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Distinct variable groups:    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4  |-  A  =  ( Y  -  pi )
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 pire 22955 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
52, 4resubcld 9923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR )
65rexrd 9572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
8 dirkercncflem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Y  +  pi )
92, 4readdcld 9552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR )
109rexrd 9572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR* )
118, 10syl5eqel 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
12 pipos 22957 . . . . . 6  |-  0  <  pi
13 ltsubpos 9980 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  ( Y  -  pi )  <  Y ) )
1412, 13mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
154, 2, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
161, 15syl5eqbr 4413 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  Y )
17 ltaddpos 9978 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  Y  <  ( Y  +  pi ) ) )
1812, 17mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
194, 2, 18syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
2019, 8syl6breqr 4420 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  <  B )
217, 11, 2, 16, 20eliood 31732 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A (,) B ) )
22 eldifi 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
23 elioore 11498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  RR )
2524adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  RR )
2625recnd 9551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  CC )
27 2cnd 10543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  e.  CC )
28 picn 22956 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  e.  CC )
30 2ne0 10563 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  =/=  0 )
323, 12gt0ne0ii 10024 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  =/=  0 )
3426, 27, 29, 31, 33divdiv1d 10286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  pi )  =  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
35 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
36 2rp 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
38 pirp 22958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
4037, 39rpmulcld 11211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
41 mod0 11922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
422, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4335, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
44 peano2zm 10842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4745zred 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
491, 5syl5eqel 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5049, 40rerpdivcld 11222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5240rpred 11195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR )
5440rpne0d 11200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5554adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5625, 53, 55redivcld 10307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5752recnd 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5857, 54dividd 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  1 )
5958eqcomd 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
6059oveq2d 6230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
612recnd 9551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6261, 57, 57, 54divsubdird 10294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
6360, 62eqtr4d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
642, 52resubcld 9923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6528mulid2i 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
6665eqcomi 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( 1  x.  pi )
67 1lt2 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  2
68 1re 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
69 2re 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
7068, 69, 3, 12ltmul1ii 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi ) )
7167, 70mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi )
7266, 71eqbrtri 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
744, 52, 2, 73ltsub2dd 10100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  -  pi ) )
7574, 1syl6breqr 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  A )
7664, 49, 40, 75ltdiv1dd 11248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7763, 76eqbrtrd 4400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7877adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7949adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR )
8040adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
8122adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
827adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR* )
8311adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR* )
84 elioo2 11509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <  B ) ) )
8582, 83, 84syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) )
8681, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )
8786simp2d 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  <  y )
8879, 25, 80, 87ltdiv1dd 11248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
8948, 51, 56, 78, 88lttrd 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9124ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  e.  RR )
922ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
9340ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
94 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  <  Y )
9591, 92, 93, 94ltdiv1dd 11248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9661, 57, 54divcld 10255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9796adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
98 1cnd 9541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  CC )
9997, 98npcand 9866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10099eqcomd 2400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
101100adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
10295, 101breqtrd 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
103 btwnnz 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10446, 90, 102, 103syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10543ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1062ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
10725adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  y  e.  RR )
10880adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
10925adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  e.  RR )
1102ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
111 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <_  Y )
112 eldifsni 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  =/=  Y )
113112necomd 2663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  ->  Y  =/=  y )
114113ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  =/=  y )
115109, 110, 111, 114leneltd 31695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <  Y )
116115stoic1a 1619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  y  <_  Y )
117106, 107ltnled 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  < 
y  <->  -.  y  <_  Y ) )
118116, 117mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  <  y
)
119106, 107, 108, 118ltdiv1dd 11248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1208, 9syl5eqel 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
121120, 40rerpdivcld 11222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
122121adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
1232, 40rerpdivcld 11222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
125 1red 9540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  RR )
126124, 125readdcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
127120adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR )
12886simp3d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  <  B )
12925, 127, 80, 128ltdiv1dd 11248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( B  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1308oveq1i 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )
13128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
13261, 131, 57, 54divdird 10293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
1334, 40rerpdivcld 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
134 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
135 2cn 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
136135, 28mulcomi 9531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
137136oveq2i 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
13828, 32pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
139 2cnne0 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
140 divdiv1 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  /  pi )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( pi  x.  2 ) ) )
14128, 138, 139, 140mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
14228, 32dividi 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
143142oveq1i 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
144137, 141, 1433eqtr2i 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2
)
145 halflt1 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  <  1
146144, 145eqbrtri 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  <  1
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  <  1 )
148133, 134, 123, 147ltadd2dd 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
149132, 148eqbrtrd 4400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
150130, 149syl5eqbr 4413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
151150adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
15256, 122, 126, 129, 151lttrd 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
153152adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  1 ) )
154 btwnnz 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
155105, 119, 153, 154syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
156104, 155pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
15734, 156eqneltrd 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ )
15826halfcld 10718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
159 sineq0 23018 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
160158, 159syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
161157, 160mtbird 299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
162161neqned 2595 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
16334oveq1d 6229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
16443adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =  ( Y  -  pi ) )
166165oveq1d 6229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  +  pi )  =  ( ( Y  -  pi )  +  pi ) )
16761, 131npcand 9866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  pi )  +  pi )  =  Y )
168166, 167eqtr2d 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( A  +  pi ) )
169168oveq1d 6229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
17049recnd 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
171170, 131, 57, 54divdird 10293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
172131mulid1d 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
173172eqcomd 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =  ( pi  x.  1 ) )
174 2cnd 10543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 131mulcomd 9546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 ) )
176173, 175oveq12d 6232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  /  ( pi  x.  2 ) ) )
177 1cnd 9541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
180177, 174, 131, 178, 179divcan5d 10281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  1 )  /  (
pi  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
181176, 180eqtrd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2 ) )
182181oveq2d 6230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
183169, 171, 1823eqtrd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
184183adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
185125rehalfcld 10720 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
18651, 56, 185, 88ltadd1dd 10098 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
187184, 186eqbrtrd 4400 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
18856, 122, 185, 129ltadd1dd 10098 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
189130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
190189oveq1d 6229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
191181oveq2d 6230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
192132, 191eqtrd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
193192oveq1d 6229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  pi )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
194177halfcld 10718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
19596, 194, 194addassd 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1961772halvesd 10719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
197196oveq2d 6230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
198195, 197eqtrd 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
199190, 193, 1983eqtrd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
200199adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
201188, 200breqtrd 4404 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
202 btwnnz 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  /\  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ZZ )
203164, 187, 201, 202syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
204163, 203eqneltrd 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  e.  ZZ )
205 coseq0 31865 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
206158, 205syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
207204, 206mtbird 299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
208207neqned 2595 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
209162, 208jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 ) )
210209ralrimiva 2806 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ( A (,) B
)  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) )
21121, 210jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742    \ cdif 3399   {csn 3957   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426   RR*cxr 9556    < clt 9557    <_ cle 9558    - cmin 9736    / cdiv 10141   2c2 10520   ZZcz 10799   RR+crp 11157   (,)cioo 11468    mod cmo 11915   sincsin 13820   cosccos 13821   picpi 13823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-pi 13829  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-limc 22374  df-dv 22375
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