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Theorem dirkercncflem1 37965
Description: If  Y is a multiple of  pi then it belongs to an open inerval  ( A (,) B ) such that for any other point  y in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a  |-  A  =  ( Y  -  pi )
dirkercncflem1.b  |-  B  =  ( Y  +  pi )
dirkercncflem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem1.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Distinct variable groups:    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4  |-  A  =  ( Y  -  pi )
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 pire 23413 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
52, 4resubcld 10047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR )
65rexrd 9690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
8 dirkercncflem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Y  +  pi )
92, 4readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR )
109rexrd 9690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR* )
118, 10syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
12 pipos 23415 . . . . . 6  |-  0  <  pi
13 ltsubpos 10106 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  ( Y  -  pi )  <  Y ) )
1412, 13mpbii 215 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
154, 2, 14syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
161, 15syl5eqbr 4436 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  Y )
17 ltaddpos 10104 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  Y  <  ( Y  +  pi ) ) )
1812, 17mpbii 215 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
194, 2, 18syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
2019, 8syl6breqr 4443 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  <  B )
217, 11, 2, 16, 20eliood 37595 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A (,) B ) )
22 eldifi 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
23 elioore 11666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  RR )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  RR )
2524adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  RR )
2625recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  CC )
27 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  e.  CC )
28 picn 23414 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  e.  CC )
30 2ne0 10702 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  =/=  0 )
323, 12gt0ne0ii 10150 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  =/=  0 )
3426, 27, 29, 31, 33divdiv1d 10414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  pi )  =  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
35 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
36 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
38 pirp 23416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
4037, 39rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
41 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
422, 40, 41syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4335, 42mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
44 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4745zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
491, 5syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5049, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5240rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR )
5440rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5625, 53, 55redivcld 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5752recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5857, 54dividd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  1 )
5958eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
6059oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
612recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6261, 57, 57, 54divsubdird 10422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
6360, 62eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
642, 52resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6528mulid2i 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
6665eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( 1  x.  pi )
67 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  2
68 1re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
69 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
7068, 69, 3, 12ltmul1ii 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi ) )
7167, 70mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi )
7266, 71eqbrtri 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
744, 52, 2, 73ltsub2dd 10226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  -  pi ) )
7574, 1syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  A )
7664, 49, 40, 75ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7763, 76eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7877adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7949adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR )
8040adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
8122adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
827adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR* )
8311adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR* )
84 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <  B ) ) )
8582, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) )
8681, 85mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )
8786simp2d 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  <  y )
8879, 25, 80, 87ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
8948, 51, 56, 78, 88lttrd 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9124ad2antlr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  e.  RR )
922ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
9340ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
94 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  <  Y )
9591, 92, 93, 94ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9661, 57, 54divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
98 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  CC )
9997, 98npcand 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10099eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
101100adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
10295, 101breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
103 btwnnz 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10446, 90, 102, 103syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10543ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1062ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
10725adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  y  e.  RR )
10880adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
10925adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  e.  RR )
1102ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
111 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <_  Y )
112 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  =/=  Y )
113112necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  ->  Y  =/=  y )
114113ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  =/=  y )
115109, 110, 111, 114leneltd 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <  Y )
116115stoic1a 1655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  y  <_  Y )
117106, 107ltnled 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  < 
y  <->  -.  y  <_  Y ) )
118116, 117mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  <  y
)
119106, 107, 108, 118ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1208, 9syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
121120, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
1232, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
125 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  RR )
126124, 125readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
127120adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR )
12886simp3d 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  <  B )
12925, 127, 80, 128ltdiv1dd 11395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( B  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1308oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )
13128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
13261, 131, 57, 54divdird 10421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
1334, 40rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
134 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
135 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
136135, 28mulcomi 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
137136oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
13828, 32pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
139 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
140 divdiv1 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  /  pi )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( pi  x.  2 ) ) )
14128, 138, 139, 140mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
14228, 32dividi 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
143142oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
144137, 141, 1433eqtr2i 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2
)
145 halflt1 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  <  1
146144, 145eqbrtri 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  <  1
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  <  1 )
148133, 134, 123, 147ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
149132, 148eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
150130, 149syl5eqbr 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
151150adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
15256, 122, 126, 129, 151lttrd 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
153152adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  1 ) )
154 btwnnz 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
155105, 119, 153, 154syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
156104, 155pm2.61dan 800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
15734, 156eqneltrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ )
15826halfcld 10857 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
159 sineq0 23476 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
160158, 159syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
161157, 160mtbird 303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
162161neqned 2631 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
16334oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
16443adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =  ( Y  -  pi ) )
166165oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  +  pi )  =  ( ( Y  -  pi )  +  pi ) )
16761, 131npcand 9990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  pi )  +  pi )  =  Y )
168166, 167eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( A  +  pi ) )
169168oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
17049recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
171170, 131, 57, 54divdird 10421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
172131mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
173172eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =  ( pi  x.  1 ) )
174 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 131mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 ) )
176173, 175oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  /  ( pi  x.  2 ) ) )
177 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
180177, 174, 131, 178, 179divcan5d 10409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  1 )  /  (
pi  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
181176, 180eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2 ) )
182181oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
183169, 171, 1823eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
184183adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
185125rehalfcld 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
18651, 56, 185, 88ltadd1dd 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
187184, 186eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
18856, 122, 185, 129ltadd1dd 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
189130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
190189oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
191181oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
192132, 191eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
193192oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  pi )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
194177halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
19596, 194, 194addassd 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1961772halvesd 10858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
197196oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
198195, 197eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
199190, 193, 1983eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
200199adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
201188, 200breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
202 btwnnz 11012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  /\  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ZZ )
203164, 187, 201, 202syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
204163, 203eqneltrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  e.  ZZ )
205 coseq0 37739 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
206158, 205syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
207204, 206mtbird 303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
208207neqned 2631 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
209162, 208jca 535 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 ) )
210209ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ( A (,) B
)  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) )
21121, 210jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635    mod cmo 12096   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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