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Theorem dirkercncflem1 31839
Description: If  Y is a multiple of  pi then it belongs to an open inerval  ( A (,) B ) such that for any other point  y in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a  |-  A  =  ( Y  -  pi )
dirkercncflem1.b  |-  B  =  ( Y  +  pi )
dirkercncflem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
dirkercncflem1.ymod0  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Distinct variable groups:    y, Y    ph, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4  |-  A  =  ( Y  -  pi )
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 pire 22829 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
52, 4resubcld 9994 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR )
65rexrd 9646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2535 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
8 dirkercncflem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Y  +  pi )
92, 4readdcld 9626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR )
109rexrd 9646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  pi )  e.  RR* )
118, 10syl5eqel 2535 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
12 pipos 22831 . . . . . 6  |-  0  <  pi
13 ltsubpos 10051 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  ( Y  -  pi )  <  Y ) )
1412, 13mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
154, 2, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  pi )  <  Y )
161, 15syl5eqbr 4470 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  Y )
17 ltaddpos 10049 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( 0  <  pi  <->  Y  <  ( Y  +  pi ) ) )
1812, 17mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
194, 2, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  pi ) )
2019, 8syl6breqr 4477 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  <  B )
217, 11, 2, 16, 20eliood 31485 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A (,) B ) )
22 eldifi 3611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
23 elioore 11570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  e.  RR )
2524adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  RR )
2625recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  CC )
27 2cnd 10615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  e.  CC )
28 picn 22830 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  e.  CC )
30 2ne0 10635 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
2  =/=  0 )
323, 12gt0ne0ii 10096 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  pi  =/=  0 )
3426, 27, 29, 31, 33divdiv1d 10358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  pi )  =  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
35 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
36 2rp 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
38 pirp 22832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR+ )
4037, 39rpmulcld 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
41 mod0 11985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )  -> 
( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
422, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4335, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
44 peano2zm 10914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ )
4745zred 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  RR )
491, 5syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5049, 40rerpdivcld 11294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5240rpred 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR )
5440rpne0d 11272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  =/=  0 )
5625, 53, 55redivcld 10379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
5752recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
5857, 54dividd 10325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  1 )
5958eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( 2  x.  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
6059oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
612recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6261, 57, 57, 54divsubdird 10366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  -  ( ( 2  x.  pi )  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
6360, 62eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  =  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
642, 52resubcld 9994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
6528mulid2i 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
6665eqcomi 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( 1  x.  pi )
67 1lt2 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  2
68 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
69 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
7068, 69, 3, 12ltmul1ii 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi ) )
7167, 70mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  < 
( 2  x.  pi )
7266, 71eqbrtri 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
744, 52, 2, 73ltsub2dd 10172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  -  pi ) )
7574, 1syl6breqr 4477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  (
2  x.  pi ) )  <  A )
7664, 49, 40, 75ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( 2  x.  pi ) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7763, 76eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( A  /  ( 2  x.  pi ) ) )
7949adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR )
8040adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
8122adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( A (,) B ) )
827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  e.  RR* )
8311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR* )
84 elioo2 11581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <  B ) ) )
8582, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) ) )
8681, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <  B ) )
8786simp2d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  A  <  y )
8879, 25, 80, 87ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( A  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
8948, 51, 56, 78, 88lttrd 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  e.  RR )
922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
9340ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
94 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
y  <  Y )
9591, 92, 93, 94ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
9661, 57, 54divcld 10327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
98 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  CC )
9997, 98npcand 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( Y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
10099eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
10295, 101breqtrd 4461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )
103 btwnnz 10946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  -  1 )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  -  1 )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10446, 90, 102, 103syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
10543ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1062ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
10725adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  y  e.  RR )
10880adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR+ )
10925adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  e.  RR )
1102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
111 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <_  Y )
112 eldifsni 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  -> 
y  =/=  Y )
113112necomd 2714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } )  ->  Y  =/=  y )
114113ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  ->  Y  =/=  y )
115109, 110, 111, 114leneltd 31448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  y  <_  Y )  -> 
y  <  Y )
116115stoic1a 1592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  y  <_  Y )
117106, 107ltnled 9735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  < 
y  <->  -.  y  <_  Y ) )
118116, 117mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  Y  <  y
)
119106, 107, 108, 118ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
y  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1208, 9syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
121120, 40rerpdivcld 11294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
1232, 40rerpdivcld 11294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
125 1red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
1  e.  RR )
126124, 125readdcld 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
127120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  B  e.  RR )
12886simp3d 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
y  <  B )
12925, 127, 80, 128ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( B  /  ( 2  x.  pi ) ) )
1308oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )
13128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
13261, 131, 57, 54divdird 10365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
1334, 40rerpdivcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  e.  RR )
134 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
135 2cn 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
136135, 28mulcomi 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
137136oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
13828, 32pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
139 2cnne0 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
140 divdiv1 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( pi  /  pi )  /  2
)  =  ( pi 
/  ( pi  x.  2 ) ) )
14128, 138, 139, 140mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( pi  /  (
pi  x.  2 ) )
14228, 32dividi 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
143142oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  /  pi )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
144137, 141, 1433eqtr2i 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2
)
145 halflt1 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  2 )  <  1
146144, 145eqbrtri 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi 
/  ( 2  x.  pi ) )  <  1
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  <  1 )
148133, 134, 123, 147ltadd2dd 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
149132, 148eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
150130, 149syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( B  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
15256, 122, 126, 129, 151lttrd 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
153152adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  <  (
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  1 ) )
154 btwnnz 10946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  /\  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
155105, 119, 153, 154syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  /\  -.  y  <  Y )  ->  -.  ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
156104, 155pm2.61dan 791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
15734, 156eqneltrd 2552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ )
15826halfcld 10790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
159 sineq0 22892 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
160158, 159syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( y  /  2
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
161157, 160mtbird 301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( sin `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
162161neqned 2646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
16334oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
16443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
1651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =  ( Y  -  pi ) )
166165oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  +  pi )  =  ( ( Y  -  pi )  +  pi ) )
16761, 131npcand 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  pi )  +  pi )  =  Y )
168166, 167eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( A  +  pi ) )
169168oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
17049recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
171170, 131, 57, 54divdird 10365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  / 
( 2  x.  pi ) ) ) )
172131mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( pi  x.  1 )  =  pi )
173172eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =  ( pi  x.  1 ) )
174 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 131mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 ) )
176173, 175oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  /  ( pi  x.  2 ) ) )
177 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
17932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
180177, 174, 131, 178, 179divcan5d 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  x.  1 )  /  (
pi  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
181176, 180eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( pi  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( 1  /  2 ) )
182181oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
183169, 171, 1823eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
184183adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
185125rehalfcld 10792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
18651, 56, 185, 88ltadd1dd 10170 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( A  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
187184, 186eqbrtrd 4457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
18856, 122, 185, 129ltadd1dd 10170 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( B  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
189130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
190189oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  +  pi )  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
191181oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( pi  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
192132, 191eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  pi )  /  (
2  x.  pi ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
193192oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  pi )  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
194177halfcld 10790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
19596, 194, 194addassd 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
1961772halvesd 10791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
197196oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
198195, 197eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2
) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
199190, 193, 1983eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
200199adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( B  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
201188, 200breqtrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )
202 btwnnz 10946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  e.  ZZ  /\  ( Y  /  (
2  x.  pi ) )  <  ( ( y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  /\  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( Y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  1 ) )  ->  -.  ( (
y  /  ( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ZZ )
203164, 187, 201, 202syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( y  / 
( 2  x.  pi ) )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ )
204163, 203eqneltrd 2552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( ( ( y  /  2 )  /  pi )  +  (
1  /  2 ) )  e.  ZZ )
205 coseq0 31618 . . . . . . 7  |-  ( ( y  /  2 )  e.  CC  ->  (
( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
206158, 205syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0  <->  (
( ( y  / 
2 )  /  pi )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ZZ ) )
207204, 206mtbird 301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  ->  -.  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =  0 )
208207neqned 2646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 )
209162, 208jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) )  -> 
( ( sin `  (
y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  (
y  /  2 ) )  =/=  0 ) )
210209ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ( A (,) B
)  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) )
21121, 210jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A (,) B )  /\  A. y  e.  ( ( A (,) B )  \  { Y } ) ( ( sin `  ( y  /  2 ) )  =/=  0  /\  ( cos `  ( y  / 
2 ) )  =/=  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    \ cdif 3458   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   2c2 10592   ZZcz 10871   RR+crp 11231   (,)cioo 11540    mod cmo 11978   sincsin 13781   cosccos 13782   picpi 13784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
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