MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith Structured version   Unicode version

Theorem dirith 22778
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to  N. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. See http://metamath-blog.blogspot.com/2016/05/dirichlets-theorem.html for an informal exposition. This is Metamath 100 proof #48. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dirith  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) }  ~~  NN )
Distinct variable groups:    A, p    N, p

Proof of Theorem dirith
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10636 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  NN0 )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (ℤ/n `  N
)  =  (ℤ/n `  N
)
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )
74, 5, 6znzrhfo 17980 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) : ZZ -onto-> ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) )
8 fofn 5622 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) : ZZ -onto-> ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  ->  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  Fn  ZZ )
93, 7, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )  Fn  ZZ )
10 prmz 13767 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
12 fniniseg 5824 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  Fn  ZZ  ->  ( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( p  e.  ZZ  /\  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) ) )
1312baibd 900 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )  Fn  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) )
149, 11, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) )
15 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
174, 6zndvds 17982 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  <->  N  ||  ( p  -  A ) ) )
183, 11, 16, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  <->  N  ||  ( p  -  A ) ) )
1914, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
N  ||  ( p  -  A ) ) )
2019rabbi2dva 3558 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( Prime  i^i  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } ) )  =  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) } )
21 eqid 2443 . . 3  |-  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  =  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )
22 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 )
234, 21, 6znunit 17996 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A )  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
242, 15, 23syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A )  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2522, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) ) )
26 eqid 2443 . . 3  |-  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) " {
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  =  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )
274, 6, 1, 21, 25, 26dirith2 22777 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( Prime  i^i  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } ) )  ~~  NN )
2820, 27eqbrtrrd 4314 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) }  ~~  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    i^i cin 3327   {csn 3877   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   "cima 4843    Fn wfn 5413   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ~~ cen 7307   1c1 9283    - cmin 9595   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646    || cdivides 13535    gcd cgcd 13690   Primecprime 13763   Basecbs 14174  Unitcui 16731   ZRHomczrh 17931  ℤ/nczn 17934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-rpss 6360  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-o1 12968  df-lo1 12969  df-sum 13164  df-ef 13353  df-e 13354  df-sin 13355  df-cos 13356  df-tan 13357  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-numer 13813  df-denom 13814  df-phi 13841  df-pc 13904  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-divs 14447  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-ga 15808  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-od 16032  df-gex 16033  df-pgp 16034  df-lsm 16135  df-pj1 16136  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-cyg 16355  df-dprd 16477  df-dpj 16478  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-rnghom 16806  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-0p 21148  df-limc 21341  df-dv 21342  df-ply 21656  df-idp 21657  df-coe 21658  df-dgr 21659  df-quot 21757  df-log 22008  df-cxp 22009  df-em 22386  df-cht 22434  df-vma 22435  df-chp 22436  df-ppi 22437  df-mu 22438  df-dchr 22572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator