MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith Structured version   Unicode version

Theorem dirith 24230
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to  N. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. See http://metamath-blog.blogspot.com/2016/05/dirichlets-theorem.html for an informal exposition. This is Metamath 100 proof #48. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dirith  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) }  ~~  NN )
Distinct variable groups:    A, p    N, p

Proof of Theorem dirith
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10925 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  NN0 )
32adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (ℤ/n `  N
)  =  (ℤ/n `  N
)
5 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )
6 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )
74, 5, 6znzrhfo 19049 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) : ZZ -onto-> ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) )
8 fofn 5812 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) : ZZ -onto-> ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  ->  ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  Fn  ZZ )
93, 7, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )  Fn  ZZ )
10 prmz 14597 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1110adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
12 fniniseg 6018 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) )  Fn  ZZ  ->  ( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( p  e.  ZZ  /\  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) ) )
1312baibd 917 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) )  Fn  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) )
149, 11, 13syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
) ) )
15 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
1615adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
174, 6zndvds 19051 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  <->  N  ||  ( p  -  A ) ) )
183, 11, 16, 17syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  p )  =  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  <->  N  ||  ( p  -  A ) ) )
1914, 18bitrd 256 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  e.  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  <-> 
N  ||  ( p  -  A ) ) )
2019rabbi2dva 3676 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( Prime  i^i  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } ) )  =  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) } )
21 eqid 2429 . . 3  |-  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  =  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )
22 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 )
234, 21, 6znunit 19065 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A )  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
242, 15, 23syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A )  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) )  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2522, 24mpbird 235 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) `  A
)  e.  (Unit `  (ℤ/n `  N ) ) )
26 eqid 2429 . . 3  |-  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N
) ) " {
( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )  =  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } )
274, 6, 1, 21, 25, 26dirith2 24229 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( Prime  i^i  ( `' ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) " { ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  N ) ) `  A ) } ) )  ~~  NN )
2820, 27eqbrtrrd 4448 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  { p  e.  Prime  |  N  ||  ( p  -  A
) }  ~~  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    i^i cin 3441   {csn 4002   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   "cima 4857    Fn wfn 5596   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ~~ cen 7574   1c1 9539    - cmin 9859   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937    || cdvds 14283    gcd cgcd 14442   Primecprime 14593   Basecbs 15084  Unitcui 17802   ZRHomczrh 19002  ℤ/nczn 19005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-rpss 6585  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-o1 13532  df-lo1 13533  df-sum 13731  df-ef 14099  df-e 14100  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-numer 14655  df-denom 14656  df-phi 14683  df-pc 14750  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-qus 15366  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-ga 16895  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-od 17120  df-gex 17121  df-pgp 17122  df-lsm 17223  df-pj1 17224  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-cyg 17448  df-dprd 17562  df-dpj 17563  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-quot 23112  df-log 23371  df-cxp 23372  df-em 23783  df-cht 23886  df-vma 23887  df-chp 23888  df-ppi 23889  df-mu 23890  df-dchr 24024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator