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Theorem dirge 15741
Description: For any two elements of a directed set, there exists a third element greater than or equal to both. (Note that this does not say that the two elements have a least upper bound.) (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dirge.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
dirge  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, X

Proof of Theorem dirge
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirge.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
2 dirdm 15738 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
31, 2syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  X  =  U. U. R )
43eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. U. R ) )
53eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  U. U. R ) )
64, 5anbi12d 710 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R
) ) )
7 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. U. R  =  U. U. R
87isdir 15736 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
98ibi 241 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
109simprrd 758 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
)
11 codir 5377 . . . . . 6  |-  ( ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
1210, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
13 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y R x  <->  A R x ) )
1413anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  z R x ) ) )
1514exbidv 1701 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x ( y R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  z R x ) ) )
16 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R x  <->  B R x ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( A R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  B R x ) ) )
1817exbidv 1701 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( E. x ( A R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
1915, 18rspc2v 3205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  ( A. y  e.  U. U. R A. z  e.  U. U. R E. x ( y R x  /\  z R x )  ->  E. x ( A R x  /\  B R x ) ) )
2012, 19syl5com 30 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
216, 20sylbid 215 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
22 reldir 15737 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DirRel  ->  Rel  R )
23 relelrn 5226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  R  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2422, 23sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2524ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  ran  R ) )
26 ssun2 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
27 dmrnssfld 5251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
2826, 27sstri 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ran  R  C_ 
U. U. R
2928, 3syl5sseqr 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ran  R  C_  X
)
3029sseld 3488 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e.  X ) )
3125, 30syld 44 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  X ) )
3231adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  x  e.  X )
)
3332ancrd 554 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  -> 
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
3433eximdv 1697 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
35 df-rex 2799 . . . 4  |-  ( E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x )  <->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3634, 35syl6ibr 227 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3721, 36syld 44 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
38373impib 1195 1  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    u. cun 3459    C_ wss 3461   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    _I cid 4780    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991    o. ccom 4993   Rel wrel 4994   DirRelcdir 15732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-dir 15734
This theorem is referenced by:  tailfb  30170
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