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Theorem dirge 15713
Description: For any two elements of a directed set, there exists a third element greater than or equal to both. (Note that this does not say that the two elements have a least upper bound.) (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dirge.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
dirge  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, X

Proof of Theorem dirge
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirge.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
2 dirdm 15710 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
31, 2syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  X  =  U. U. R )
43eleq2d 2530 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. U. R ) )
53eleq2d 2530 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  U. U. R ) )
64, 5anbi12d 710 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R
) ) )
7 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. R  =  U. U. R
87isdir 15708 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
98ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
109simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
) )
1110simprd 463 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
)
12 codir 5378 . . . . . 6  |-  ( ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
1311, 12sylib 196 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
14 breq1 4443 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y R x  <->  A R x ) )
1514anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  z R x ) ) )
1615exbidv 1685 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x ( y R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  z R x ) ) )
17 breq1 4443 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R x  <->  B R x ) )
1817anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( A R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  B R x ) ) )
1918exbidv 1685 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( E. x ( A R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
2016, 19rspc2v 3216 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  ( A. y  e.  U. U. R A. z  e.  U. U. R E. x ( y R x  /\  z R x )  ->  E. x ( A R x  /\  B R x ) ) )
2113, 20syl5com 30 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
226, 21sylbid 215 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
23 reldir 15709 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DirRel  ->  Rel  R )
24 relelrn 5227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  R  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2523, 24sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2625ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  ran  R ) )
27 ssun2 3661 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
28 dmrnssfld 5252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
2927, 28sstri 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ran  R  C_ 
U. U. R
3029, 3syl5sseqr 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ran  R  C_  X
)
3130sseld 3496 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e.  X ) )
3226, 31syld 44 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  X ) )
3332adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  x  e.  X )
)
3433ancrd 554 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  -> 
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
3534eximdv 1681 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
36 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x )  <->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3735, 36syl6ibr 227 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3822, 37syld 44 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
39383impib 1189 1  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    u. cun 3467    C_ wss 3469   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    _I cid 4783    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993    |` cres 4994    o. ccom 4996   Rel wrel 4997   DirRelcdir 15704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-dir 15706
This theorem is referenced by:  tailfb  29785
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