Theorem dirdm 10354

Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dirdm	|- (D e. Dir -> dom D = U.U.D)

Proof of Theorem dirdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 2767	. . . 4 |- dom D C_ (dom D u. ran D)
2		dmrnssfld 4205	. . . 4 |- (dom D u. ran D) C_ U.U.D
3	1, 2	sstri 2626	. . 3 |- dom D C_ U.U.D
4	3	a1i 8	. 2 |- (D e. Dir -> dom D C_ U.U.D)
5		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.U.D = U.U.D
6	5	isdir 10352	. . . . . 6 |- (D e. Dir -> (D e. Dir <-> ((Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D) /\ ((D o. D) C_ D /\ A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.D(xDz /\ yDz)))))
7	6	ibi 652	. . . . 5 |- (D e. Dir -> ((Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D) /\ ((D o. D) C_ D /\ A.x e. U.U.DA.y e. U.U.DE.z e. U.U.D(xDz /\ yDz))))
8	7	simplld 348	. . . 4 |- (D e. Dir -> (Rel D /\ ( _I |` U.U.D) C_ D))
9	8	simprd 352	. . 3 |- (D e. Dir -> ( _I |` U.U.D) C_ D)
10		dmss 4156	. . . 4 |- (( _I |` U.U.D) C_ D -> dom ( _I |` U.U.D) C_ dom D)
11		dmresi 4257	. . . 4 |- dom ( _I |` U.U.D) = U.U.D
12	10, 11	syl5ssr 2662	. . 3 |- (( _I |` U.U.D) C_ D -> U.U.D C_ dom D)
13	9, 12	syl 12	. 2 |- (D e. Dir -> U.U.D C_ dom D)
14	4, 13	eqssd 2633	1 |- (D e. Dir -> dom D = U.U.D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   u. cun 2591   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991  Dircdir 10348

This theorem is referenced by:  dirref 10355  dirge 10357  istoset2 14628  tailf 15633  tailmap 15636  filnetlem5 15644  filnet 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-dir 10350

Copyright terms: Public domain