MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdir Structured version   Unicode version

Theorem dipsubdir 26487
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipsubdir.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
ipsubdir.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipsubdir  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem dipsubdir
StepHypRef Expression
1 idd 25 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( A  e.  X  ->  A  e.  X ) )
2 phnv 26453 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
3 neg1cn 10720 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
4 ipsubdir.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
64, 5nvscl 26245 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X )
73, 6mp3an2 1348 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X )
82, 7sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X )
98ex 435 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( B  e.  X  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X ) )
10 idd 25 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( C  e.  X  ->  C  e.  X ) )
111, 9, 103anim123d 1342 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
1211imp 430 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X  /\  C  e.  X
) )
13 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 ipsubdir.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
154, 13, 14dipdir 26481 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B ) ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B ) P C ) ) )
1612, 15syldan 472 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C ) ) )
17 ipsubdir.3 . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
184, 13, 5, 17nvmval 26261 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )
192, 18syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) )
20193adant3r3 1216 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )
2120oveq1d 6320 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) P C ) )
224, 5, 14dipass 26484 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  ( -u 1  x.  ( B P C ) ) )
233, 22mp3anr1 1357 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  ( -u
1  x.  ( B P C ) ) )
244, 14dipcl 26349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B P C )  e.  CC )
25243expb 1206 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B P C )  e.  CC )
262, 25sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B P C )  e.  CC )
2726mulm1d 10077 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( -u 1  x.  ( B P C ) )  =  -u ( B P C ) )
2823, 27eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  -u ( B P C ) )
29283adantr1 1164 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  -u ( B P C ) )
3029oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  +  ( (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C ) )  =  ( ( A P C )  +  -u ( B P C ) ) )
314, 14dipcl 26349 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
32313adant3r2 1215 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A P C )  e.  CC )
33243adant3r1 1214 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B P C )  e.  CC )
3432, 33negsubd 9999 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A P C )  + 
-u ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
352, 34sylan 473 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  +  -u ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
3630, 35eqtr2d 2464 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  -  ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  +  ( ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) P C ) ) )
3716, 21, 363eqtr4d 2473 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    - cmin 9867   -ucneg 9868   NrmCVeccnv 26201   +vcpv 26202   BaseSetcba 26203   .sOLDcns 26204   -vcnsb 26206   .iOLDcdip 26334   CPreHil OLDccphlo 26451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-t1 20328  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ginv 25919  df-gdiv 25920  df-ablo 26008  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-vs 26216  df-nmcv 26217  df-ims 26218  df-dip 26335  df-ph 26452
This theorem is referenced by:  dipsubdi  26488  siilem1  26490
  Copyright terms: Public domain W3C validator