MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdir Structured version   Unicode version

Theorem dipsubdir 26325
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipsubdir.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
ipsubdir.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipsubdir  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem dipsubdir
StepHypRef Expression
1 idd 25 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( A  e.  X  ->  A  e.  X ) )
2 phnv 26291 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
3 neg1cn 10713 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
4 ipsubdir.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
64, 5nvscl 26083 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X )
73, 6mp3an2 1348 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X )
82, 7sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X )
98ex 435 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( B  e.  X  ->  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X ) )
10 idd 25 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( C  e.  X  ->  C  e.  X ) )
111, 9, 103anim123d 1342 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X  /\  C  e.  X ) ) )
1211imp 430 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B )  e.  X  /\  C  e.  X
) )
13 eqid 2429 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 ipsubdir.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
154, 13, 14dipdir 26319 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B )  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B ) ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( ( -u 1 ( .sOLD `  U
) B ) P C ) ) )
1612, 15syldan 472 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C ) ) )
17 ipsubdir.3 . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
184, 13, 5, 17nvmval 26099 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )
192, 18syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) )
20193adant3r3 1216 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )
2120oveq1d 6320 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) P C ) )
224, 5, 14dipass 26322 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  ( -u 1  x.  ( B P C ) ) )
233, 22mp3anr1 1357 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  ( -u
1  x.  ( B P C ) ) )
244, 14dipcl 26187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B P C )  e.  CC )
25243expb 1206 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B P C )  e.  CC )
262, 25sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B P C )  e.  CC )
2726mulm1d 10069 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( -u 1  x.  ( B P C ) )  =  -u ( B P C ) )
2823, 27eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  -u ( B P C ) )
29283adantr1 1164 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( -u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C )  =  -u ( B P C ) )
3029oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  +  ( (
-u 1 ( .sOLD `  U ) B ) P C ) )  =  ( ( A P C )  +  -u ( B P C ) ) )
314, 14dipcl 26187 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
32313adant3r2 1215 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A P C )  e.  CC )
33243adant3r1 1214 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B P C )  e.  CC )
3432, 33negsubd 9991 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A P C )  + 
-u ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
352, 34sylan 473 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  +  -u ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
3630, 35eqtr2d 2471 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A P C )  -  ( B P C ) )  =  ( ( A P C )  +  ( ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) P C ) ) )
3716, 21, 363eqtr4d 2480 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A M B ) P C )  =  ( ( A P C )  -  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859   -ucneg 9860   NrmCVeccnv 26039   +vcpv 26040   BaseSetcba 26041   .sOLDcns 26042   -vcnsb 26044   .iOLDcdip 26172   CPreHil OLDccphlo 26289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-ip 15161  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-hom 15167  df-cco 15168  df-rest 15271  df-topn 15272  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-topgen 15292  df-pt 15293  df-prds 15296  df-xrs 15350  df-qtop 15355  df-imas 15356  df-xps 15358  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-mulg 16618  df-cntz 16913  df-cmn 17358  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cld 19956  df-ntr 19957  df-cls 19958  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-t1 20252  df-haus 20253  df-tx 20499  df-hmeo 20692  df-xms 21257  df-ms 21258  df-tms 21259  df-grpo 25755  df-gid 25756  df-ginv 25757  df-gdiv 25758  df-ablo 25846  df-vc 26001  df-nv 26047  df-va 26050  df-ba 26051  df-sm 26052  df-0v 26053  df-vs 26054  df-nmcv 26055  df-ims 26056  df-dip 26173  df-ph 26290
This theorem is referenced by:  dipsubdi  26326  siilem1  26328
  Copyright terms: Public domain W3C validator