MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdi Structured version   Unicode version

Theorem dipsubdi 24271
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipsubdir.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
ipsubdir.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipsubdi  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipsubdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )
213com13 1192 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )
433com12 1191 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )
5 ipsubdir.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ipsubdir.3 . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
7 ipsubdir.7 . . . . . 6  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
85, 6, 7dipsubdir 24270 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( B M C ) P A )  =  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )
94, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( B M C ) P A )  =  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )
109fveq2d 5716 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( * `  (
( B P A )  -  ( C P A ) ) ) )
11 phnv 24236 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
12 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  U  e.  NrmCVec )
135, 6nvmcl 24049 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B M C )  e.  X )
14133com23 1193 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B M C )  e.  X )
15143adant3r3 1198 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( B M C )  e.  X
)
16 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
175, 7dipcj 24134 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B M C )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
1911, 18sylan 471 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
205, 7dipcl 24132 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
21203adant3r1 1196 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( B P A )  e.  CC )
225, 7dipcl 24132 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
23223adant3r2 1197 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( C P A )  e.  CC )
24 cjsub 12659 . . . . . 6  |-  ( ( ( B P A )  e.  CC  /\  ( C P A )  e.  CC )  -> 
( * `  (
( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) ) )
265, 7dipcj 24134 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
27263adant3r1 1196 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
285, 7dipcj 24134 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
29283adant3r2 1197 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
3027, 29oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
* `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3125, 30eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3211, 31sylan 471 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3310, 19, 323eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
342, 33sylan2 474 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301    - cmin 9616   *ccj 12606   NrmCVeccnv 23984   BaseSetcba 23986   -vcnsb 23989   .iOLDcdip 24117   CPreHil OLDccphlo 24234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-t1 18940  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ph 24235
This theorem is referenced by:  siilem1  24273  ip2eqi  24279
  Copyright terms: Public domain W3C validator