Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dipfval 26350
 Description: The inner product function on a normed complex vector space. The definition is meaningful for vector spaces that are also inner product spaces, i.e. satisfy the parallelogram law. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
dipfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem dipfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.7 . 2
2 fveq2 5870 . . . . 5
3 dipfval.1 . . . . 5
42, 3syl6eqr 2505 . . . 4
5 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10 CV CV
6 dipfval.6 . . . . . . . . . 10 CV
75, 6syl6eqr 2505 . . . . . . . . 9 CV
8 fveq2 5870 . . . . . . . . . . 11
9 dipfval.2 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl6eqr 2505 . . . . . . . . . 10
11 eqidd 2454 . . . . . . . . . 10
12 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12
13 dipfval.4 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . 11
1514oveqd 6312 . . . . . . . . . 10
1610, 11, 15oveq123d 6316 . . . . . . . . 9
177, 16fveq12d 5876 . . . . . . . 8 CV
1817oveq1d 6310 . . . . . . 7 CV
1918oveq2d 6311 . . . . . 6 CV
2019sumeq2sdv 13782 . . . . 5 CV
2120oveq1d 6310 . . . 4 CV
224, 4, 21mpt2eq123dv 6358 . . 3 CV
23 df-dip 26349 . . 3 CV
24 fvex 5880 . . . . 5
253, 24eqeltri 2527 . . . 4
2625, 25mpt2ex 6875 . . 3
2722, 23, 26fvmpt 5953 . 2
281, 27syl5eq 2499 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1 9545  ci 9546   cmul 9549   cdiv 10276  c2 10666  c4 10668  cfz 11791  cexp 12279  csu 13764  cnv 26215  cpv 26216  cba 26217  cns 26218  CVcnmcv 26221  cdip 26348 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-sum 13765  df-dip 26349 This theorem is referenced by:  ipval  26351  ipf  26364  dipcn  26371
 Copyright terms: Public domain W3C validator