MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Unicode version

Theorem dipcn 24053
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
dipcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
dipcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
dipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dipcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables  x  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2441 . . 3  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 eqid 2441 . . 3  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 dipcn.p . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5dipfval 24032 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  =  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4
) ) )
7 dipcn.c . . . . 5  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsxmet 24018 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
9 dipcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
109mopntopon 19973 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
) )
12 dipcn.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
13 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1 ... 4 )  e.  Fin )
1411adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1512cnfldtopon 20321 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
17 ax-icn 9337 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
18 elfznn 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
1918adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN )
2019nnnn0d 10632 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN0 )
21 expcl 11879 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
2217, 20, 21sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 19202 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( _i ^
k ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
2414, 14cnmpt1st 19200 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2514, 14cnmpt2nd 19201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
267, 9, 3, 12smcn 24028 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .sOLD `  U )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
2726adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( .sOLD `  U )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 19207 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
297, 9, 2vacn 24024 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
3029adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 19207 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( x ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
324, 7, 9, 12nmcnc 24026 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
)  e.  ( J  Cn  K ) )
3332adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( normCV `  U )  e.  ( J  Cn  K ) )
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 19204 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
3512sqcn 20409 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
37 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) )  ->  (
z ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 19203 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3912mulcn 20402 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 19207 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 20406 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4315a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
44 4cn 10395 . . . . 5  |-  4  e.  CC
45 4ne0 10414 . . . . 5  |-  4  =/=  0
4612divccn 20408 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  4
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
4744, 45, 46mp2an 667 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  4 ) )  e.  ( K  Cn  K )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
4 ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
49 oveq1 6097 . . 3  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  ( z  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 19203 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K ) )
516, 50eqeltrd 2515 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    x. cmul 9283    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   4c4 10369   NN0cn0 10575   ...cfz 11433   ^cexp 11861   sum_csu 13159   TopOpenctopn 14356   *Metcxmt 17760   MetOpencmopn 17765  ℂfldccnfld 17777  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787    tX ctx 19092   NrmCVeccnv 23897   +vcpv 23898   BaseSetcba 23899   .sOLDcns 23900   normCVcnmcv 23903   IndMetcims 23904   .iOLDcdip 24030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-grpo 23613  df-gid 23614  df-ginv 23615  df-gdiv 23616  df-ablo 23704  df-vc 23859  df-nv 23905  df-va 23908  df-ba 23909  df-sm 23910  df-0v 23911  df-vs 23912  df-nmcv 23913  df-ims 23914  df-dip 24031
This theorem is referenced by:  ipasslem7  24171  occllem  24641
  Copyright terms: Public domain W3C validator