MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Unicode version

Theorem dipcn 25759
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
dipcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
dipcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
dipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dipcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables  x  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2457 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2457 . . 3  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 eqid 2457 . . 3  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 dipcn.p . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5dipfval 25738 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  =  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4
) ) )
7 dipcn.c . . . . 5  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsxmet 25724 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
9 dipcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
109mopntopon 21067 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
) )
12 dipcn.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
13 fzfid 12085 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1 ... 4 )  e.  Fin )
1411adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1512cnfldtopon 21415 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
17 ax-icn 9568 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
18 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN )
2019nnnn0d 10873 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN0 )
21 expcl 12186 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
2217, 20, 21sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 20296 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( _i ^
k ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
2414, 14cnmpt1st 20294 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2514, 14cnmpt2nd 20295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
267, 9, 3, 12smcn 25734 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .sOLD `  U )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( .sOLD `  U )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 20301 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
297, 9, 2vacn 25730 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 20301 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( x ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
324, 7, 9, 12nmcnc 25732 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
)  e.  ( J  Cn  K ) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( normCV `  U )  e.  ( J  Cn  K ) )
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 20298 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
3512sqcn 21503 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
37 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) )  ->  (
z ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 20297 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3912mulcn 21496 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 20301 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 21500 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .sOLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4315a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
44 4cn 10634 . . . . 5  |-  4  e.  CC
45 4ne0 10653 . . . . 5  |-  4  =/=  0
4612divccn 21502 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  4
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
4744, 45, 46mp2an 672 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  4 ) )  e.  ( K  Cn  K )
4847a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
4 ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
49 oveq1 6303 . . 3  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  ( z  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 20297 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .sOLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K ) )
516, 50eqeltrd 2545 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511    x. cmul 9514    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   ^cexp 12168   sum_csu 13519   TopOpenctopn 14838   *Metcxmt 18529   MetOpencmopn 18534  ℂfldccnfld 18546  TopOnctopon 19521    Cn ccn 19851    tX ctx 20186   NrmCVeccnv 25603   +vcpv 25604   BaseSetcba 25605   .sOLDcns 25606   normCVcnmcv 25609   IndMetcims 25610   .iOLDcdip 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737
This theorem is referenced by:  ipasslem7  25877  occllem  26347
  Copyright terms: Public domain W3C validator